Chuyên đề Thiết diện và các bài toán liên quan - Hình học 11

 DẠNG 3: THIẾT DIỆN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN-CÓ GIẢI CHI TIẾT 
Phương pháp: 
Để xác định thiết diện của mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d 
với một hình chóp ta thực hiện theo một trong hai cách sau: 
 d
 b
 O
 I
 α a
Cách 1. Tìm tất cả các đường thẳng vuông góc với , khi đó sẽ song song hoặc chứa các 
đường thẳng này và ta chuyển về dạng thiết diện song song như đã biết ở ( dạng 2, §2 
chương II). 
Cách 2. Ta dựng mặt phẳng như sau: 
Dựng hai đường thẳng ab, cắt nhau cùng vuông góc với trong đó có một đường thẳng đi 
qua , khi đó chính là mặt phẳng mp a, b . 
Câu 130: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ABC . Gọi 
 P là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC . Thiết diện của và hình chóp là: 
 A. Hình thang vuông. B. Tam giác đều. C. Tam giác cân. D. Tam giác vuông. 
Hướng dẫn giải: 
Gọi I là trung điểm của AC , kẻ IH SC . 
 Ta có BI AC, BI  SA BI  SC . 
 Do đó SC BIH hay thiết diện là tam giác BIH . 
 Mà BI SAC nên BI IH hay thiết diện là tam giác 
vuông. 
 Chọn D. 
Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnha 12 , gọi P là mặt phẳng qua B và vuông góc với 
AD. Thiết diện của và hình chóp có diện tích bằng 
 A. 36 2 . B. 40 . C. 36 3 D. 36 . 
Hướng dẫn giải: 
 Thiết diện là tam giác BCE , với E là trung điểm của AD . Gọi F là trung điểm của BC . 
tam giác ABC đều và tam giác SBC c n tại S suy ra IK vu ng góc với MN và PQ dó đó 
MNPQ là h nh thang c n. 
Chọn đá án A. 
Câu 4: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA SB SC b ( ab 2
). Gọi G là trọng tâm ABC . Xét mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với SC tại điểm C1 
nằm giữa vàC . Diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng là 
 a23 b 2 a 2 a23 b 2 a 2 a23 b 2 a 2 a23 b 2 a 2
 A. S . B. S . C. S . D. S . 
 4b 2b 2b 4b
Hướng dẫn giải: 
 Kẻ AI SC AIB  SC . Thiết diện là tam giác AIB . 
 2 2 2
 2 a b b a 2 2
 Ta có AI ACsin ACS a 1 cos ACS a 1 4 b a 
 22ab b
Gọi J là trung điểm của AB . Dễ thất tam giác cân 
tại I , suy ra IJ AB. 
 a
IJ AI2 AJ 2 3 b 2 a 2 . 
 2b
Do đó: 
 13a2 b 2 a 2
S AB. IJ . 
 24b
Chọn A. 
Câu 5: Tam giác có BC 2 a , đường cao AD a 2 . Trên đường thẳng vuông góc với 
 ABC tại , lấy điểm sao cho SA a 2 . Gọi EF, lần lượt là trung điểm của SB và . 
Diện tích tam giác AEF bằng? 
 3 3 1 3
 A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 
 4 6 2 2
Hướng dẫn giải: 
Do AD BC, SA  BC BC  SAD BC  AH EF  AH 
 1
 S EF. AH 
 AEF 2
 1
Mà EF BC a . Do H là trung điểm SD AH a 
 2
 1
 Sa2 
 AEF 2
 2 2 2 2
 33 ab 3 ab 33 ab 33 ab 
 A. .. B. .. C. . D. . 
 4 a 4 a 16 a 8 a
Hướng dẫn giải: 
Gọi N là trung điểm của BC . 
 SB SC BC SN
 BC SAN . 
 AB AC BC AN
 MP
Theo bài ra BC P . 
 P// SAN
Kẻ MI//,// AN MK SA Thiết diện của P và tứ diện 
 SABC là KMI. 
 ABC a 3
 là hai tam giác đều cạnh a AN SM SA SAN là tam giác đều cạnh 
 SBC 2
a 3 3a b 3 3 a b 2
 KMI là tam giác đều cạnh ...S 
 2 2aaKMI 16
Chọn đá án C. 
Câu 9: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a 12 , AP là đường cao của tam giác ACD . Mặt phẳng 
 P qua B vuông góc với cắt mp ACD theo đoạn giao tuyến có độ dài bằng ? 
 A. 9 B. 6 C. 8 D. 7 
Hướng dẫn giải: 
Ta có : CD AP, CD  BP CD  APB BG  CD 
Tương tự : AD CM, AD  BM AD  BCM AD  BG 
Suy ra : BG ABC BG  AP 
Kẻ KL đi qua trọng tâm G của ACD và song song với 
CD AP KL P chính là mặt phẳng BKL 
 2
 ACD  BKL KL CD 8 
 3
Có thể nói nhanh theo tính chất tứ diện đều: 
Gọi là trọng tâm thì là tâm và 
BG () ACD 
Trong mp() ACD kẻ qua đường thẳng song song với 
 cắt AC, AD lần lượt tại KL, 
Ta có (BKL ) ( ACD ), AP  KL AP  ( BKL ) . Vậy 
()()P BKL 
 . 
Câu 10: Cho hình chóp S. ABCD , với đáy là hình thang vuông tại A , đáy lớn AD 8, 
BC 6 , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , SA 6 . Gọi M là trung điểm AB . P là mặt 
phẳng qua và vuông góc với . Thiết diện của và hình chóp có diện tích bằng? 
 A. 10. B. 20 . C. 15. D. 16. 
Hướng dẫn giải: 
Lại có OH ABC OH  BC 
 A
 BC OA 
Vậy  BC OAH 
 BC OH 
 BC AH 1 . 
 AC OB  H
Tương tự  AC OBH BH AC 2 . 
 AC OH 
 H ABC
Từ 1 , 2 suy ra là trực tâm của tam giác . O C
b) Đặt OA a,, OB b OC c 
 I
Ta có BC OB2 OC 2 b 2 c 2 
 B
Tương tự AC a2 c 2, AB a 2 b 2 
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ta có 
 2 2 2 2 2 2
 AB2 AC 2 BC 2 a b () a c b c 
cos A 
 2.AB AC 2 a2 b 2 ( a 2 b 2 )
 a2
 0 suy ra A nhọn. 
 a2 b 2 () a 2 b 2
Tương tự các góc BC, nhọn. 
 211 2 2 2 2 2 2
c) Ta có SABC AI BC OI OA OB OC 
 44
 1 1 1
 OI2 BC 2 OA 2 OB 2 OA 2 OC 2 SSS2 2 2 
 4 4 4 OAB OBC OCA
d) Gọi I là điểm cách đều 4 điểm OABC,,, và G là trọng tâm của tam giác thì ta có : 
MA2 MB 2 MC 2 3 MO 2 
 2 2 2
 MI IA MI IB MI IC 3( MI IO )2 
 IA IB IC IM 3. IO MI 3IG . MI 3 IO . IM OGMI 0 MI  OG ( do IA IB IC 3 IG ) 
Vậy M thuộc mặt phẳng đi qua và vuông góc với OG . 
Câu 12: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ABCD và SA a . 
Gọi IK, lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC . Tính IK . 
 a 2 a 3 a 2 32a
 A. IK B. IK C. IK D. IK 
 2 2 3 2
Hướng dẫn giải:. S
 2
 2 2 aa 2 5 a 5
Ta có IS AI AS a Tương tự ID IC 
 22 2
suy ra 
IS ID IC nên thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác K
 A B
SCD . I
 CD AD
Mặt khác CD SAD 
 CD SA
 CD  SD SCD vuông tại D , lại có K là trung điểm của D C
nên là t m đường tròn ngoại tiếp tam giác , do đó 
KI SCD . 
b) Gọi HK, lần lượt là hình chiếu của B trên AM và AC . Khẳng định nào sau đ y là sai? 
 A. AC BHK . B. BH AC C. A, B đều đúng D. A, B đều sai 
c) Tìm tập hợ điểm H khi M di động. 
 A. thuộc đường tròn đường kính BK . 
 B. thuộc đường tròn đường kính AC. 
 C. thuộc đường tròn đường kính BM. 
 D. thuộc đường tròn đường kính AB. 
d) Tìm vị trí của để đoạn AM lớn nhất. 
 A. MC B. MB 
 C. MH D. MK 
e) Tìm vị trí của để diện tích tam giác BHK lớn nhất. 
 A. là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm bán kính 
 BA. BC
 2 
 2BA22 BC
 B. là các giao điểm của đường tròn đường kính với đường tròn tâm bán
 1.BA BC
 kính 
 2 2BA22 BC
 C. là các giao điểm của đường tròn đường kính với đường tròn tâm bán kính 
 BA. BC
 3 
 2BA22 BC
 D. là các giao điểm của đường tròn đường kính với đường tròn tâm bán kính 
 BA. BC
 2BA22 BC
Hướng dẫn giải:. 
 AB BM A
a) Ta có AB  suy ra các tam giác ABM và 
 AB BC
ABC vuông tại . K
 MC MB
Tiếp theo ta có MC ABM 
 MC AB H
 MC AM hay tam giác ACM vuông tại . B C
 BH AM
b) Ta có BH ACM 
 BH MC M
 BH AC . 
 AC BH 
Vậy  AC BHK . 
 AC BK 
c) Dễ thấy cố định và BHK 900 nên điểm thuộc đường tròn đường kính .Từ đó ta 
có tập hợ các điểm là đường tròn đường kính . 
d) MA2 AB 2 BM 2 mà AB kh ng đỏi nên lớn nhất khi MB lớn nhất 
 BM BC M  C . 
 1 BH2 HK 2 BK 2
e) Ta có S BH. HK kh ng đổi nên 
 BHK 2 4 4
 BK 2 BK
max S BH HK , lúc này HBK vuông cân tại nên BH . 
 BHK 4 2