Chuyên đề Thể tích của hình hộp chữ nhật Toán 8

 THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT 
 A. BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN
 1. ĐƯỜNG THẲNG VUƠNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VUƠNG GĨC.
 Ví dụ 1: Quan sát hình hộp chữ nhật ở hình 84: 
 - AA cĩ vuơng gĩc với AD hay khơng? Vì sao?
 - AA cĩ vuơng gĩc với AB hay khơng? Vì sao?
  Giải 
 Ta lần lượt cĩ: 
 - AA cĩ vuơng gĩc với AD, bởi ADD A là hình chữ nhật.
 - AA cĩ vuơng gĩc với AB, bởi ABB A là hình chữ nhật.
  Tổng kết và mở rộng: 
 1. Khi đường thẳng AA vuơng gĩc với hai đường thẳng cắt nhau AD và AB trong mặt phẳng ABCD 
 ta nĩi AA vuơng gĩc với mặt phẳng ABCD và kí hiệu AA  ABCD .
 2. Khi một trong hai mặt phẳng chứa một đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng cịn lại thì người ta nĩi
 hai mặt phẳng đĩ vuơng gĩc với nhau, ví dụ AA B B  ABCD bởi mặt phẳng AA B B chứa đường
thẳng AA vuơng gĩc với ABCD .
  Nhận xét: Nếu một đường thẳng vuơng gĩc với một mặt phẳng tại điểm A thì nĩ vuơng gĩc với mọi
 đường thẳng đi qua A và nằm trong mặt phẳng đĩ.
 Ví dụ 2: Tìm trên hình 84:
 - Các đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng ABCD .
 - Các mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng ()ABCD .
  Giải 
 Ta lần lượt cĩ: 
 - Các đường thẳng AA , BB , CC , DD vuơng gĩc với mặt phẳng ABCD .
 - Các mặt phẳng A ABB , B BCC , C CDD , D DAA vuơng gĩc với mặt phẳng ABCD .
 2. CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT.
 Với hình hộp chữ nhật cĩ ba kích thước a, b, c ta cĩ: 2 2 2
. Diện tích xung quanh: Sxq 4 a 4.3 36 cm . 
 2 2 2
. Diện tích tồn phần: Satp 6 6.3 54 cm 
. Thể tích: Va 3 3 3 27 cm 3 . 
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 
Dạng tốn 1: QUAN HỆ VUƠNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 
VÍ DỤ 1: Hình 87. 
 1. Gấp hình a) theo các nét đã chỉ ra thì cĩ được một hình hộp chữ nhật hay khơng? 
 2. Kí hiệu các đỉnh hình hộp gấp được như hình b). 
 a) Đường thẳng BF vuơng gĩc với mặt phẳng nào? 
 b) Hai mặt phẳng AEHD và CGHD vuơng gĩc với nhau, vì sao? 
 Hướng dẫn: Ta lần lượt: 
 . Với câu 2), sử dụng các định nghĩa về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian. 
 Giải 
a) Ta cĩ: 
 ABFE và BCGF là các hình chữ nhật. 
Suy ra, BF AB và BF BC . 
Lại cĩ: 
 AB và BC đều thuộc ABCD và cắt nhau tại B. 
Do đĩ: 
 BF ABCD . 
Tương tự BF EFGH . 
Vậy, BF vuơng gĩc với hai mặt phẳng ABCD và EFGH . 
b) Ta cĩ: 
 AEHD  CGHD . 
Lại cĩ, AD cùng vuơng gĩc với hai đường thẳng DC và DH CGHD và AD CGHD . c) Tứ giác BC1 1 DA là hình gì? Vì sao? 
 Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa hình lập phương. 
 Giải 
a) Ta cĩ: 
 AA1 A 1 B 1, vì AA 1 B 1 B là hình chữ nhật 
 AA1 A 1 D 1, vì AA 1 D 1 D là hình chữ nhật
 AA1  A 1 B 1 C 1 D 1 . 
Chứng minh tương tự, ta cũng cĩ: 
BB1 A 1 B 1 C 1 D 1 CC1 A 1 B 1 C 1 D 1 DD1 A 1 B 1 C 1 D 1 
Vậy tồn tại 4 đường thẳng AA1,,, BB 1 CC 1 DD 1 vuơng gĩc với mặt phẳng ABCD1 1 1 1 
b) Ta cĩ : 
 AB1 1 BBCC 1 1 
 ABCD1 1 1 1  BBCC 1 1 . 
 AB1 1 ABCD 1 1 1 1 
 AB1 1 BBCC 1 1 
 ABBA1 1  BBCC 1 1 . 
 AB1 1 ABBA 1 1 
 AB1 1 BBCC 1 1 
 ABCD1 1  BBCC 1 1 . 
 AB1 1 ABCD 1 1 
 AB BBCC1 1 
 ABCD  BBCC1 1 . 
 AB ABCD 
 AB BBCC1 1 
 ABCD1 1  BBCC 1 1 . 
 AB ABCD1 1 
 CD BBCC1 1 
 CDDC1 1  BBCC 1 1 . 
 CD CDDC1 1 
Vậy, tồn tại 6 mặt phẳng ABCD1 1 1 1 , ABBA1 1 , ABCD1 1 , ABCD , ABC1 D 1 , CDDC1 1 vuơng 
gĩc với mặt phẳng BBCC1 1 . 
c) Vì ADD1 A 1 là hình chữ nhật nên: 
 // // //
 AD AD1 1 BC 1 1 AD BC 1 1 BCDA 1 1 là hình bình hành. 
Mặt khác, ta cĩ: 
 BC1 1 CDDC 1 1  BC 1 1 CD 1 BCD 1 1 90 . 
Vậy, hình bình hành BC1 1 DA cĩ một gĩc vuơng nên nĩ là hình chữ nhật. Vậy, thể tích của khối lập phương là : Va 3 9 3 729 m 3 . 
 1
VÍ DỤ 2: Cho hình hộp chữ nhật cĩ chiều dài bằng 6cm, chiều rộng bằng chiều dài và chiều cao gấp 
 2
3 lần chiều rộng. Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật đĩ. 
 Hướng dẫn: Sử dụng các cơng thức cĩ sẵn sau khi cĩ được độ dài của ba kích thước hình hộp chữ 
nhật. 
 Giải 
 Để tính được diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của hình chữ nhật, ta cần biết 
đầy đủ ba kích thước của nĩ là chiều dài, chiều rộng, chiều cao, từ giả thiết ta cĩ: 
 1
 a 6 cm , b a 3 cm , c 3 b 9 cm . 
 2
Khi đĩ: 
. Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là: 
 2
 Sxq 2 abc . 162 cm 
. Diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật là: 
 2
 SStp xq2S d 162 2.6.3 198 cm 
. Thể tích hình hộp chữ nhật là: 
 V abc. . 162 cm3 . 
VÍ DỤ 3: Một cái thùng hình lập phương, cạnh 7dm, cĩ chứa nước với độ sâu của nước là 4dm. Người 
ta thả 25 viên gạch cĩ chiều dài 2dm, chiều rộng 1dm, và chiều cao 0,5dm và thùng. Hỏi nước trong 
thùng dâng lên cách miệng thùng bao nhiêu đêximet? (Giả sử tồn bộ gạch ngập trong nước và chúng 
hút nước khơng đáng kể) 
 Giải 
Thể tích của 25 viên gạch là: V 2.1.0,5 .25 25 dm3 . 
Diện tích đáy thùng là 7.7 49 dm2 . 
Chiều cao của nước dâng lên thêm khi bỏ gạch vào thùng là: 
 V 25
 h 0,51 dm . 
 S 9
Vậy, mực nước trong thùng cách miệng thùng là: 
 7 4 0,51 2, 49 dm . 
VÍ DỤ 4: Một bể nước hình chữ nhật cĩ chiều dài 2m. Lúc đầu bể khơng cĩ nước. Sau khi đổ vào bể 
120 thùng nước, mỗi thùng chứa 20 lít thì mực nước của bể cao 0,8m. 
 a) Tính chiều rộng của bể nước. 
 b) Người ta đổ thêm vào bể 60 thùng nước nữa thì đầy bể. Hỏi bể cao bao nhiêu mét? 
 Giải Giả sử hình lập phương cĩ cạnh bằng a. 
 Trong ABC vuơng cân tại B, ta cĩ: 
 AC2 ABBC 2 2 aa 2 22a 2 ACa 2 . 
 Diện tích mặt chéo ACC1 A 1 được cho bởi: 
 SAA 1.AC 9 2 aa . 2 acm 3 . 
 Khi đĩ, hình lập phương ABCD. ABC D cĩ: 
 1 1 1 1 
 . Diện tích xung quanh: 
 2 2 2
 Saxq 4 4.3 36 cm . 
 2 2 2
 . Diện tích tồn phần: Satp 6 6.3 54 cm . 
 . Thể tích: Va 3 3 3 27 cm 3 . 
VÍ DỤ 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC1 1 1 D 1 . Biết AB 4 cm , AC 5 cm và AC1 13 cm . Tính 
diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật đĩ. 
 Giải 
 Để tính được diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật, ta cần 
biết đầy đủ ba kích thước của nĩ là chiều dài, chiều rộng, chiều cao. Do vậy, ở đây cần tính thêm BC 
và AA1 . 
 Áp dụng định lí Py-ta-go vào ABC , ta được: 
 BC 52 4 2 3 cm . 
 Từ định nghĩa của hình hộp chữ nhật, ta cĩ: 
 AA1 ABCD  AA 1 AC AAC 1 vuơng tại A. 
 Áp dụng định lí Py-ta-go vào A1 AC , ta được: 
 2 2
 AA1 13 5 12 cm . 
 Khi đĩ: 
 . Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật là: 
 2
 Sxq 2 AB BC . AA1 168 cm 
 . Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật là: 
 2
 Stp S xq2S đ 168 2.4.3 192 cm 
 . Thể tích hình hộp chữ nhật là: 
 3
 V ABBCAA. .1 144 cm . 
VÍ DỤ 8: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D . Biết AB 3 cm , AA 6 cm và S 30 cm2 . Tính 
 1 1 1 1 1 AAC1 1 C
diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật đĩ. 
 Giải o) Cho biết AB 6 cm , BN 4 cm , MQ 5 cm . Tính diện tích tồn phần, thể tích của hình hộp chữ 
nhật và độ dài CM . 
Bài 2: Cho hình lập phương ABCD. EFGH (hình vẽ) 
a) Đường thẳng AB và đường thẳng HG cĩ song song với nhau khơng? 
b) Đường thẳng BH và đường thẳng AG cĩ cắt nhau khơng? 
c) Đường thẳng AG và đường thẳng CE cĩ cắt nhau khơng? 
d) Đường thẳng CE và đường thẳng DF cĩ cắt nhau khơng? 
e) Đường thẳng DF và đường thẳng BH cĩ cắt nhau khơng? 
f) Đường thẳng BH và đường thẳng AE cĩ cắt nhau khơng? 
g) Đường thẳng CH cĩ song song với mặt phẳng ABE khơng? 
h) Đường thẳng BF cĩ vuơng gĩc với mặt phẳng EGH khơng? 
i) Đường thẳng BC cĩ vuơng gĩc với đường thẳng AF khơng? 
j) Mặt phẳng ABCD cĩ vuơng gĩc với mặt phẳng DHG khơng? 
k) Cho biết cạnh của hình lập phương bằng 5cm. Tính diện tích tồn phần, thể tích của hình lập 
phương và độ dài đoạn BH 
Bài 3: Tính các kích thước của hình hộp chữ nhật, biết rằng chúng tỉ lệ với 3, 4, 5 và thể tích của hình 
hộp này là 480cm3 
Bài 4: Diện tích tồn phần của một hình lập phương là 486 cm3 . Thể tích của nĩ là bao nhiêu? 
Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.'''' A B C D . Trên các cạnh AA', DD ', BB ', CC ' lần lượt lấy 
 2 1
các điểm E, F, G, H sao cho AE DF DD '; BG CH CC '. Chứng minh rằng mp(ADHG) 
 3 3
// mp(EFC'B'). 
Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.'''' A B C D . 
a) Chứng minh rằng tứ giác ADC'' B là hình chữ nhật. 
b) Tính diện tích của hình chữ nhật ADC'' B biết: AB 12, AC ' 29, DD ' 16. 
Bài 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.'''' A B C D . 
a) Chứng minh rằng mp DCC D  mp CBB C 
b) Trong số sáu mặt của hình hộp chữ nhật, cĩ bao nhiêu cặp mặt phẳng vuơng gĩc với nhau? 
Bài 8: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.'''' A B C D . Diện tích các mặt ABCD , BCC'' B và 
 2 2 2
DCC'' D lần lượt là 108cm , 72cm và 96cm . 
a) Tính thể tích của hình hộp. 
b) Tính độ dài đường chéo của hình hộp.