Chuyên đề Tập hợp các số hữu tỉ Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 1: TẬP HỢP CÁC SỐ HỮU TỈ 
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 
1. Khái niệm số hữu tỉ và biểu diễn số hữu tỉ trên trục số 
a) Khái niệm 
 a
Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số với a, b , b 0 . 
 b
Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là . 
 a a
* Chú ý: Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối.Số đối của số hữu tỉ là − 
 b b
* Nhận xét: Các số thập phân đã biết đều viết được dưới dạng phân số thập phân nên chúng 
đều là các số hữu tỉ.Số nguyên, hỗn số cũng là các số hữu tỉ. 
b) Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số 
* Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số: Tương tự như với số nguyên, ta có thể biểu diễn mọi số hữu 
tỉ trên trục số. 
* Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ a được gọi là điểm . 
* Nhận xét: Trên trục số, hai điểm biểu diễn hai số hữu tỉ đối nhau và −a nằm về hai phía 
khác nhau so với điểm O và có cùng khoảng cách đến O 
2.Thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ 
* Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bất kì bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai 
phân số đó 
* Với hai số hữu tỉ bất kỳ ab, ta luôn có hoặc ab= hoặc ab hoặc ab . 
* Cho ba số hữu tỉ abc,,. 
 Nếu ab và bc thì ac ( tính chất bắc cầu). 
* Trên trục số, nếu ab thì điểm a nằm trước điểm b . 
Chú ý: 
 ✓ Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương 
 ✓ Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm; 
 Số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm. 
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI. 
Dạng 1. Nhận biết các số hữu tỉ và biểu diễn số hữu tỉ trên trục số 
I. Phương pháp giải: 
 a
* Muốn xác định xem một số có là số hữu tỉ hay không, ta hãy biến đổi xem số đó có dạng 
 b
với a, b ; b 0 hay không. 
* Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số: 
 1 Bài 5 . Điền các kí hiệu ,, vào ô trống cho đúng (điền tất cả các khả năng có thể): 
 1 3
 a) 11 ..... b) − 26 ..... c) ..... d) − ..... 
 5 4
 Lời giải: 
 a) Có thể điền b) Có thể điền c) Có thể điền d) Có thể điền 
 ,, , 
*Thông hiểu 
Bài 6. Các số hữu tỉ sau là âm hay dương? 
 5 4 −3 −14 5
 a) − ; b) ; c) ; d) ; e) . 
 7 −9 −8 9 −8
 Lời giải: 
 Số hữu tỉ dương là: . 
 Số hữu tỉ âm là: ; ; ; . 
Bài 7. Các số hữu tỉ sau là âm hay dương? 
 −3 2 0
 a) − ; b) ; c) −4 ; d) ; 
 5 9 −3
 Lời giải: 
 −3
 a) − là số hữu tỉ dương 
 5
 b) là số hữu tỉ dương 
 c) là số hữu tỉ âm 
 0
 d) = 0 không là số hữu tỉ âm cũng không phải số hữu tỉ dương 
 −3
 11− 7 5 1 1
Bài 8. Tìm số đối của các số: ,−− 4, ,0, , , . 
 2 6 7 3 2
 Lời giải: 
 11 7 5 1 1
Số đối của lần lượt là −,4, ,0, , − , − . 
 2 6 7 3 2
 13−
Bài 9. Tìm số đối của các số:3 ;(− 5) ; ; −( − 8). 
 24−
 Lời giải: 
 13− 13
Số đối của 3 ;(− 5) ; ; −( − 8)lần lượt là: −3 ;5; − ; − 8 
 24− 24
Bài 10. Dãy số nào dưới đây cùng biểu diễn một số hữu tỉ 
 −36 −−5 10 2−− 7 14 9− 6 3
a) −0,3; ; b) 5; ; c) ;; d) ;; 
 10 20 −12 13 13 26 12− 8 4
 3 434343 1.434343 1
b) == 
 868686 2.434343 2
 434343 1.m
Vậy dạng chung của số hữu tỉ là với mm ,0  
 868686 2.m
Bài 14. Điền số thích hợp vào chỗ trống: 
 -1
 -1 0 1 1
 2 3
 Lời giải: 
 -1 -1 0 1 1
 2 -1 3 1 4
 -1
 3 2 3
*Vận dụng 
 5 4 3
Bài 15. Biểu diễn số hữu tỉ − ;; trên trục số. 
 4 4 5
 Lời giải: 
 5
 Biểu diễn số hữu tỉ − 
 4
 -5
 4
 -2 1
 -1 0 2 3 
 4
 Biểu diễn số hữu tỉ =1 
 4
 -2 -1 0 1 2 3 4 
 3
 Biểu diễn số hữu tỉ 
 5
 3
 5
 -2 0 1 2 3 4
 -1 
Bài 16. Tìm số nguyên x để các số sau là số hữu tỉ: 
 x 5 −5
a) b) c) 
 7 x 2x
 Lời giải: 
 5 20m + 11
 b) Số hữu tỉ x = là số âm khi: 
 −2019
 20m +− 11 11
 x= 0 20 m + 11 0 m 
 −2019 20
 a −5
Bài 20. Cho số hữu tỉ: x = . Với giá trị nào của a thì: 
 2
a) x là số dương 
b) x là số âm 
c) không là số dương và cũng không là số âm. 
 Lời giải: 
 a −5
a) là số dương khi: 0 aa − 5 0 5 
 2
 a −5
b) là số âm khi: 0 aa − 5 0 5 
 2
 a −5
c) không là số dương và cũng không là số âm khi: =0 aa − 5 = 0 = 5 
 2
 12
Bài 21 . Cho xb= (). Với giá trị nào của b thì: 
 b −5
a) là số hữu tỉ 
b) x =−1 
 Lời giải: 
a) Để là số hữu tỉ thì bb−15 0 15 
 12
b) Ta có : x=− 1 =− 1 12 =−− ( b 5) = b 3 
 b −5
 a − 2
Bài 22. Cho số hữu tỉ xa= () . Với giá trị nào của a thì là số nguyên? 
 5
 Lời giải: 
Số hữu tỉ là số nguyên khi: a−2 5 a − 2 = 5 k ( k ) a = 5 k + 2 
*Vận dụng cao 
 a −5
Bài 23. Cho số hữu tỉ: xa= ( 0) . Với giá trị nguyên nào của a thì x là số 
 a
nguyên? 
 Lời giải: 
 a −55
Ta có: xa= =1 − ( 0) . 
 aa
 7 2x − 6 3
 21D = = − . 
 2xx
 Để D thì 2D và 2D là số chẵn. 
 3 3
 Suy ra và là số lẻ (1) 
 x x
 x Ư(3) 
 x { − 1;1; − 3;3} (2) 
 Từ (1) và (2) ta có x { − 1;1; − 3;3} thỏa mãn điều kiện đề bài 
 x −3
 Vậy khi thì số hữu tỉ D = là số nguyên. 
 2x
Bài 27. Cho số x thỏa mãn x2 = 2 . Hỏi số có là số hữu tỉ không? 
 Lời giải: 
 a
Giả sử là số hữu tỉ : x=;( a , b) = 1; a , b , b 0 
 b
 a2
Ta có: x2=2 = 2 a 2 = 2 b 2 
 b2
Suy ra: a2 2 a 2 a = 2 m( m ) 
Khi đó: 4m2= 2 b 2 2 m 2 = b 2 b 2 2 b 2 
Mà a 2 và b 2 mâu thuẫn với giả sử (ab,1) = 
Vậy không thể là số hữu tỉ. 
 Dạng 2. So sánh các số hữu tỉ 
I. Phương pháp giải: 
+ Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số có cùng mẫu dương: So sánh các tử số, phân số nào có 
tử nhỏ hơn thì phân số đó nhỏ hơn. 
+ So sánh các số trung gian ( 0,1,...); 
+ So sánh với phần hơn hoặc phần bù; 
+ So sánh thương hai số hữu tỉ (khác 0 ) với 1; 
+ Áp dụng tính chất bắc cầu và các bất đẳng thức đã chứng minh trong bài 
II. Bài toán. 
*Nhận biết 
Bài 1. So sánh các số hữu tỉ sau. 
 3 5 −2 −3 4 5 −3 −3
a) và b) và c) và d) và 
 7 7 5 5 −9 −9 −8 8
 Lời giải: 
 9 Bài 4. Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự tăng dần. 
 −−−−−−−5555555
 ;;;;;; 
 9 7 2 4 8 3 11
 Lời giải: 
 5555555−−−−−−− 5555555
Ta có : 
 11987432 119 8 7 4 3 2
Các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: 
 −−−−−−−5555555
 ;;;;;; 
 2 3 4 7 8 9 11
Bài 5. So sánh các số hữu tỉ sau một cách nhanh nhất: 
 −146 1 21 13 2019 2020
a) và ; b) và ; c) và . 
 43 89 23 12 2019 2019
 Lời giải: 
 −−146 1 146 1
a) Ta có: 0 và 0 nên  
 43 89 43 89
 21 13 21 13
b) Ta có: <1 và  1 nên < 
 23 12 23 12
 2019 2020 2019 2020
c) Ta có: =1 và 1 nên  
 2019 2019 2019 2019
*Thông hiểu 
Bài 6. So sánh các số hữu tỉ sau một cách nhanh nhất: 
 1 5 −−17 171717
a) xy= −0,125 và = b) xy==0,75 và c) xy==và 
 −8 4 23 232323
 Lời giải: 
a) 
 −−1 1 1
Ta có: xy= −0,125 = ; = = 
 8− 8 8
Vậy xy= 
b) 
 3 3 5
 Ta có: x =0,75 = mà 
 4 4 4
Vậy xy 
c) 
 11