Chuyên đề Tam giác cân Toán 7

 BÀI 6. TAM GIÁC CÂN 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nắm được định nghĩa về tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều. 
 + Nắm được các tính chất và dấu hiệu nhận biết của tam giác cân, tam giác đều. 
  Kĩ năng 
 + Biết vẽ một tam giác cân, tam giác vuông cân và tam giác đều. 
 + Nhận biết và chứng minh được một tam giác là tam giác cân, tam giác vuông cân và tam giác 
 đều. 
 + Vận dụng các tính chất của tam giác cân, tam giác vuông cân và tam giác đều để tính số đo góc, 
 chứng minh các góc hay các cạnh bằng nhau. 
 Trang 1 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Nhận biết tam giác cân, tam giác đều 
 Phương pháp giải 
Dựa vào dấu hiệu nhận biết của tam giác cân, tam Ví dụ: Cho tam giác ABC cân đỉnh A . Gọi BD,CE 
giác đều. lần lượt là phân giác trong góc B, C của tam giác 
1. Một tam giác là tam giác cân nếu: ABC. Chứng minh rằng tam giác ADE là tam giác 
- Tam giác có hai cạnh bằng nhau. cân. 
- Tam giác có hai góc bằng nhau. 
2. Một tam giác là tam giác đều nếu: 
- Tam giác có ba cạnh bằng nhau. 
- Tam giác có ba góc bằng nhau. 
- Tam giác cân có một góc bằng 60°. 
 Hướng dẫn giải 
 Phân tích: Có hai cách để chứng minh ∆ADE cân 
Bước 1. Xác định cặp cạnh (góc) bằng nhau của 
tam giác cần chứng minh thông qua phân tích dữ là ta chứng minh AD AE hoặc ADE AED . 
kiện bài toán. Ta có thể chứng minh cặp góc (cạnh) bằng nhau 
 qua việc xét cặp tam giác bằng nhau. 
 +) Nếu chứng minh AD AE ta có thể ghép vào 
 cặp tam giác ∆ADB và ∆AEC. 
 +) Cách còn lại khó khăn hơn vì ADE; AED chỉ là 
 góc của ∆ADE. 
Bước 2. Chứng minh cặp cạnh (góc) tương ứng 1
 Ta có: ABD DBC ABC (do BD là phân giác 
bằng nhau và kết luận. 2
 1
Quá trình chứng minh, có thể cần dựng thêm đường của ABC ); ACE ECB ACB (do CE là phân 
 2
phụ. giác của ACB ). 
 Mà ∆ABC cân đỉnh A nên AB AC 
 và ABC ACB ABD ACE . 
 Xét ∆ADB và ∆AEC có 
 BAD CAE (góc chung), AB AC, ABD ACE 
 Do đó ADB AEC g.. c g . 
 Suy ra AD AE (cặp cạnh tương ứng). 
 Vậy ∆ADE cân tại A. 
 Trang 3 
Xét ∆ABD và ∆ECD có 
 AB EC (chứng minh trên), 
 BAD CED 60 , DA DE (chứng minh trên). 
Do đó ABD ECD c.. g c . 
Suy ra DB DC (hai cạnh tương ứng), 
 ADB CDE (hai góc tương ứng). (1) 
Theo chứng minh trên, ta có ADE  60 ADC CDE  60 . 
Do đó từ (1), ta có ADC ADB  60 BDC  60 . 
Vậy tam giác BCD có DB DC và BDC 60  nên ∆BCD đều. 
Định hướng: 
 DB DC
Cần chứng minh 
 BDC 60 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Chọn đáp án đúng từ câu 1 đến câu 2 
Câu 1: Tam giác cân là tam giác 
 A. có hai đường cao bằng nhau. 
 B. có hai đường trung tuyến bằng nhau. 
 C. có hai cạnh bằng nhau. 
 D. có hai tia phân giác trong bằng nhau. 
Câu 2: Cho tam giác ABC cân đỉnh A có các đường trung tuyến BD, CE. Tam giác nào dưới đây là tam 
giác cân? 
 A. ∆ABD. B. ∆BCE. C. ∆ADE. D. ∆BDE. 
Câu 3: Cho tam giác ABC có A 100  , C  40 . 
a) Chứng minh rằng tam giác ABC cân. 
b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD AB . Chứng minh rằng tam giác BCD là tam giác 
vuông. 
Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC có AD là phân giác trong góc A D BC . Đường thẳng qua D song 
song với AB cắt AC tại I, đường thẳng qua D song song với AC cắt AB tại K. Chứng minh rằng ∆IDK là 
tam giác cân. 
Dạng 2: Tính số đo góc, chứng minh các góc bằng nhau 
 Phương pháp giải 
* Sử dụng tính chất của tam giác cân, tam giác đều. Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A. Tính số đo các 
 Trang 5 
Do đó CAB CADcgc .. CD CB (hai cạnh tương ứng) (2) 
Từ (1) và (2) ta có BC CD DB nên ∆BCD là tam giác đều. 
Suy ra CBD 60  hay B 60  . 
Mà ∆ABC vuông tại A nên BC  90  C 90  60  30  . 
Vậy ∆ABC có A 90 , B  60 , C  30 . 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Tam giác ABC là tam giác gì nếu biết A 80  và B : C 1: 4 ? 
Câu 2: Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AD BCD BC và BE ACE AC . Gọi H là giao điểm 
của AD và BE. Biết rằng AH BC , tính số đo BAC . 
 3 1
Câu 3: Tam giác ABC là tam giác gì nếu A B 150  và 2A B 150  ? 
 2 2
Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau 
 Phương pháp giải 
* Sử dụng tính chất: Tam giác cân có hai cạnh bên Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh 
bằng nhau (dành cho hai đoạn thẳng có một đầu AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho 
mút chung). AM AN . Chứng minh rằng CM BN . 
* Gắn các đoạn thẳng cần chứng minh vào hai cạnh 
tương ứng của hai tam giác bằng nhau (có thể áp 
dụng với mọi cặp đoạn thẳng). 
 Hướng dẫn giải 
 Do CM và BN là hai đoạn thẳng không có đầu mút 
Bước 1. Xác định phương pháp chứng minh tương chung nên ta sẽ chứng minh CM BN thông qua 
ứng đối với hai đoạn thẳng. hai tam giác bằng nhau. 
Bước 2. Lập luận và chứng minh. 
 Vì ∆ABC cân đỉnh A nên AB AC và B C . 
 Suy ra AM MB AN NC 
 Lại có AM AN nên BM CN . 
 Xét ∆BCM và ∆CBN có 
 BM CN (chứng minh trên), 
 MBC NCB (chứng minh trên), 
 Trang 7 
Dạng 4: Các bài toán tổng hợp 
 Phương pháp giải 
Sử dụng kết hợp tính chất của tam giác cân, quan hệ song song và một số kết quả đã được chứng minh 
trong các dạng trước đó. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Cho tam giác ABC cân đỉnh A có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng 
 1
 MN// BC và MN BC . 
 2
Hướng dẫn giải 
Do ABC cân đỉnh A nên AB AC và ABC ACB . 
 1 1
Lại do M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên AM BM ABAN, CN AC 
 2 2
Do đó AM AN ∆AMN cân đỉnh A AMN ANM . 
Mà ∆AMN có AMN ANM MAN 180 . 
 180 MAN  A
 AMN ANM  90 . 
 2 2
Mặt khác ABC ACB BAC 180 
 180 BAC  A
 ABC ACB  90 . 
 2 2
 A
Suy ra AMN ABC  90 . Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên MN// BC . 
 2
Qua M dựng đường thẳng song song với AC , cắt cạnh BC tại điểm K. 
 MKB ACB (đồng vị). Mà ABC ACB nên MKB ABC . 
Xét ∆MBK có MKB MBK nên ∆MBK cân đỉnh M MK MB . 
Ta có MK MB MA AN CN . 
Lại có MK// AC nên BMK MAN (đồng vị). 
Xét ∆AMN và ∆MBK có 
 AMN MBK ,, AM MB BMK MAN . 
 Trang 9 
 ĐÁP ÁN 
Dạng 1. Nhận biết tam giác cân, tam giác đều 
Câu 1: Chọn C 
Câu 2: Chọn C 
 1 1
Xét ∆ADE có AE ABAD, AC mà AB AC (do ∆ABC cân), nên AE AD . 
 2 2
Vậy ∆ADE cân tại A. 
Câu 3: 
a) Xét ∆ABC có A B C 180  
 B 180   AC  180  100    40 40 
 B C 40  . 
Do đó, ∆ABC cân đỉnh A. 
b) ∆ABC cân tại A nên AB AC . Mà AB AD (giả thiết) 
 AC AD ∆ACD cân đỉnh A. 
Xét ∆ACD có BAC là góc ngoài đỉnh A 
 ACD ADC BAC 100 . 
 100
Vậy ACD ADC 50 . 
 2
 Trang 11