Chuyên đề Tam giác cân, đường trung trực của đoạn thẳng Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 16: TAM GIÁC CÂN 
 ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG 
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 
1. Tam giác cân 
a. Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. 
 A
 B
 C 
 ABC
 ABC cân tại A 
 AB AC
b. Tính chất: Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại một tam giác có hai góc 
ở đáy bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. 
 cân tại BC 
c. Dấu hiệu nhận biết: 
- Tam giác có hai cạnh bằng nhau thì đó là tam giác cân. 
- Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. 
2. Tam giác vuông cân 
a. Định nghĩa: Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau. 
 A
 B C
 ABC
 vuông cân tại A 90 
 AB AC
b. Tính chất: Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng 45o 
 vuông cân tại BC45o 
3. Tam giác đều 
a. Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau 
 ABC
 ABC đều 
 AB BC CA
 1 Bài 1. Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều? Giải thích tại 
sao? 
 E
 D I
 A 80°
 60°
 50°
 B C M F K G H
 Lời giải: 
 a) Xét ABC có: AB== AC BC nên đều 
 Xét ACM có: AC= CM nên cân tại C 
 b) Trong DFK có KDF+ + =180  
 Ta có KFD=180 − − = 50  
 =KF 
 DFK cân tại D . 
 c) Xét IGH có: IG= GH nên cân tại G 
 Mà GIH =60 nên đều 
 Xét EGH có: EG= EH nên cân tại E 
Bài 2. Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều? Giải thích tại 
sao? 
 F
 M
 E
 G L O P N
 D H 
 Lời giải: 
 a) Trong DEH có DE= DH DEH cân tại . 
 Ta có DE= DH; EF= HG 
 DE + EF = DH + HG 
 =DF DG 
 DFG cân tại . 
 b) Ta có MO= MP = PO MPO đều. 
 3 Trong vuông tại A có AB= AC nên vuông cân tại 
 ABC = ACB =45  
 Xét ADC có AC= DC nên cân tại 
 CDA = CAD = x 
 Ta lại có BCA là góc ngoài của 
 BCA = CDA + CAB = x + x = 2 x 
 Do đó 2xx= 45  = 22,5  
Bài 5. Cho tam giác ABD cân tại có A = 40°. Trên tia đối của tia DB lấy điểm sao cho 
 DC= DA. Tính số đo góc ACB . 
 Lời giải: 
 A
 ABC
 40°
 C
 B D C 
 Trong có BAD+ B + ADB =180 
 D 
 B + ADB =180  − BAD = 140  
 Mà B= ADB ( ABD cân tại )
 140
 =B ADB = =70  
 2
 Ta có ADB+ ADC =180  (hai góc kề bù) 
 ADC =110  
 có (gt) cân tại 
 180 −ADC 180  − 110 
 ACB = = =35  
 22
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A , B =30 . Trên cạnh BC lấy M sao cho AM= BM . 
 Chứng minh AMC đều. 
 Lời giải: 
 5 A B
 D
 E
 A F C
 Xét AEF vuông tại có AE= AF vuông cân tại 
 Vì ABC vuông cân tại BC = =45  
 BAC
 Ta lại có: AD là phân giác BAC BAD = CAD = =45  
 2
 Xét ABD ABCcó BDA=180 −( B + BAD) = 90  
 ⊥AD BC ADC =90  
 Xét ADB vuông tại có B= DAB =45  vuông cân tại 
 Xét ADC vuông tại có C= DAC =45  vuông cân tại 
Bài 9. Cho tam giác đều. Trên cạnh AB, BC , CA lần lượt lấy các điểm MNP, , sao cho
 AM== BN CP . ChDứng minh tam giác MNP đều. 
 Lời giải: 
 A
 M
 P
 B N C
 Ta có AB== BC CA và 
 ABC
 AB − AM = BC − BN = CA − CP 
 MB== NC PA . 
 Xét MBN và NCP ta có: 
 BC=( =60 ) (vì đều), BM= CN (cmt), BN= CP (gt) 
 Suy ra MBN = NCP (c.g.c) 
 =MN NP (1) 
 7 A AB= AC
 Nên BC22= 
 Xét và ACE ta có: 
 (cmt) 
 ( cân tại ) 
 DB= CE (gt) 
 Suy ra ABD = ACE (g.c.g) 
 AD = AE ADE cân tại . 
Bài 12. Cho xOy = 120°, điểm thuộAc tia phân giác của . Kẻ AB⊥ Ox ( B Ox ) và 
 AC⊥ Oy (C Oy ). Tam giác ABC là tam giác gì? Tại sao? 
 Lời giải: 
 ABC 
 A
 y
 C
 D
 O B x
 Xét ABO và ABDACO ta có: 
 1 E
 AOB= AOC = xOy =60  (vì OA là tia phân giác của ) 
 2
 ABO= ACO = 90  
 là cạnh chung 
 Suy ra ABO = ACO (ch.gn) 
 AB = AC ABC cân tại . 
 Vì vuông tại B AOB + BAO =90  
 BAO =90  − 60  = 30  
 Mà BAO= CAO(do ABO = ACO) 
 BAC =60  
 Xét cân tại có BAC =60 ABC đều. 
Bài 13. Cho tam giác cân tại ( < 90°). Kẻ BD vuông góc với AC tại , kẻ CE 
 vuông góc với AB tại . 
 9 Bài 14. Cho tam giác ABC cân tại A . Lấy điểm M trên cạnh BC ( MB MC ). Trên tia đối của 
 tia CB lấy điểm N sao cho BM= CN . Đường thẳng qua vuông góc với BC cắt AB 
 tại E . Đường thẳng qua vuông góc cắt AC tại F . 
 a) Chứng minh: EM= FN 
 b) Qua kẻ ED // AC ( D BC ). Chứng minh MB= MD . 
 c) EF cắt tại O . Chứng minh OE= OF . 
 Lời giải: 
 A
 E
 ABC
 C N
 B M D O
 F 
 a) Ta có EBM= ACB ( cân) 
 mà FCN= ACB (đối đỉnh) nên EBM= FCN . 
 E
 Xét BEM và CFN ta có: 
 (cmt) 
 (gt) 
 EMB= FNC ( = 90  ) 
 Vậy BEM = CFN (g.c.g) 
 =EM FN 
 b) Ta có ED // AC = EDM ACB (đồng vị) 
 mà nên EDM= EBM 
 Suy ra EBD cân tại , do đó EB= ED . 
 Xét BME vuông tại M và DME vuông tại , ta có 
 BM= CN
 (cmt); 
 (cmt) 
 Suy ra BME = DME (ch.gn) 
 11 B
 A C
 D
 Vì D đối xứng với điểm B qua AC nên là đường trung trực của 
 Do , C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BD nên AB AD , BC DC 
 Xét ABD và A CBD có: 
 (cmt) 
 (cmt) 
 là cạnh chung 
 Do đó ABD CBD (c.c.c). 
Bài 3. Tam giác ABC vuông tại có C =30 . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho 
 AD AC . Tính số đo góc BDA. 
 Lời giải: 
 B
 30°
 D A C
 Vì AB⊥ DC và nên là đường trung trực của DC 
 =BD BC 
 Suy ra DBC cân tại 
 BDA = C = 30 
 B
Bài 4. Cho góc vuông xOy . Điểm nằm trong góc đó. Vẽ điểm N và P sao cho tia Ox là 
 đường trung trực của MN và Oy là đường trung trực của MP . 
 a) Chứng minh ON= OP . 
 b) Chứng minh ba điểm , O , thẳng hàng. 
 M Lời giải: 
 BD
 AB
 13