Chuyên đề Sự tương giao đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất - Đại số 12

 Giải tích 12 | 
 GIẢI TÍCH 12. 
 CHUYÊN ĐỀ TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT TRÊN BẬC 
 NHẤT 
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 
1. Lý thuyết chung 
Đồ thị hai hàm số y f() x và y g() x cắt nhau khi và chỉ khi phương trình f()() x g x có nghiệm. 
Khi đó: 
- Số nghiệm chính là số giao điểm. 
- Nghiệm chính là hoành độ giao điểm. 
- Nếu x0 là một nghiệm thì giao điểm tương ứng có tọa độ là x00;() f x (hoặc x00;() g x , tùy chọn 
dựa vào hàm số nào đơn giản hơn, gọn hơn cho việc giải quyết bài toán) 
2. Dạng toán tìm điều kiện của tham số thỏa mãn điều kiện nào đó về số giao điểm của đồ thị 
hàm bậc nhất trên bậc nhất 
Chú ý: 
- Đối với các bài toán không chứa tham số thì chỉ cần đưa về giải phương trình, từ đó thực hiện tiếp 
các bước để giải bài toán. 
 ax b
- Trong các bài toán, hàm số bậc nhất trên bậc nhất có dạng y , nếu xuất hiện tham số ở hệ 
 cx d
số c thì cần chú ý xét riêng trường hợp c 0. 
- Việc giải quyết các bài toán về số giao điểm của đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất thường dựa 
trên một số cơ sở sau: 
 ax b
a. Sự tương giao của đồ thị hàm yc 0 với đường thẳng y kx n 
 cx d
 ax b
Phương trình hoành độ giao điểm là: kx n 
 cx d
 f( x ) Ax2 Bx C 0 (1)
Phương trình này tương đương với d , 
 x 
 c
trong đó A kc, B kd nc a, C nd b . 
Xét số giao điểm của 2 đồ thị, ta có các trường hợp sau: 
Trường hợp 1: A 0 . Khi đó sẽ có không quá 1 giao điểm: 
 1 Giải tích 12 | 
Trường hợp 2: A 0 , đặt B2 4 AC . Khi đó sẽ có không quá 2 giao điểm: 
 0
- Có 2 giao điểm . 
 f x12 .0 f x 
 0
 0 
- Có 1 giao điểm hoặc f x12 0; f x 0 . 
 f x12 .0 f x 
 f x 0; f x 0
 12 
 0 0
- Không có giao điểm 0 hoặc hoặc . 
 f x12 .0 f x f( x12 ) f ( x ) 0
c. Sự tương giao của đồ thị hai hàm số và y Ax2 Bx C( A 0) . 
Các phương pháp thường dùng khi gặp dạng này: 
 f()() x g m
 d
- Cô lập tham số, đưa về hệ d , lập bảng biến thiên của hàm số y f() x trên \{} , 
 x c
 c
từ đó xét sự tương giao với đường thẳng y g() m để tìm tham số. 
 d
- Quy đồng đưa về phương trình bậc 3 (ẩn x) với điều kiện x . Từ đó dẫn tới bài toán tương giao 
 c
của hàm số bậc 3 
3. Dạng toán tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất cắt đường thẳng 
tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện hình học 
Các bước giải thường dùng: ax b
 yc 0 
 cx d
- Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để có 2 giao điểm. Bước này đã có trong mục 2c ở trên. 
- Bước 2: Gọi hoành độ các giao điểm là xx12, . Khi đó xx12, là 2 nghiệm của phương trình bậc hai 
 B C
Ax2 Bx C 0 trong bước 1 nên theo định lí Vi-et ta có xx và xx . 
 12 A 12 A
- Bước 3: Biểu diễn các điều kiện hình học thành các biểu thức của xx12 và xx12 rồi thay tương ứng 
 B C
xx , xx vào để giải tìm tham số. 
 12 A 12 A
Chú ý: Sau khi tìm được tham số, nên thử lại, cho dù các phép biến đổi và lập luận có tương đương 
hay không. 
 3 Giải tích 12 | 
 Lời giải 
Chọn B 
 x 3 1 17
Phương trình hoành độ giao điểm x 1 x2 x 4 0 x 
 x 12
 1 17 3 17 1 17 3 17 
Khi đó AB ;,; 
 2 2 2 2 
Vậy AB 17; 17 AB 34 . 
 Ví DỤ 4
 Ví 
 21x 
 Biết rằng đồ thị hàm số y và đồ thị hàm số y x2 x 1 có hai điểm chung, kí hiệu xy, 
 x 11
 , xy22, là tọa độ hai điểm đó. Tìm yy12 . 
 A. yy12 4 . B. yy12 6 . C. yy12 2 . D. yy12 0 . 
 Lời giải 
Chọn A 
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình: 
21x 
 xx2 1 x32 x x 10 (điều kiện x 0) 
 x
 xy 13 
 . 
 xy 11 
Do đó . 
 Ví DỤ 5
 Ví 
 Đồ thị hàm số nào sau đây không cắt trục hoành? 
 21x 
 A. y x32 2 x 4 x 5. B. y . 
 x 2
 C. y x42 23 x . D. y x42 43 x . 
 Lời giải 
Chọn C. 
• là hàm số bậc ba luôn cắt trục hoành ít nhất tại 1 điểm. 
 1
• cắt trục hoành tại điểm M ;0 . 
 2
• Xét phương trình hoành độ giao điểm xx42 2 3 0 phương trình vô nghiệm. 
Vậy đồ thị hàm số không cắt trục hoành. 
 5 Giải tích 12 | 
 Ví DỤ 8 
 Ví 
 Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d:2 y x m cắt đồ thị C của hàm số 
 x 3
 y tại 2 điểm phân biệt? 
 x 1
 A. m 3 . B. m 3. C.  m . D. m 1. 
 Lời giải 
Chọn C 
 x 3
+) Phương trình hoành độ giao điểm của d và là 2xm 1 
 x 1
 x 3 2 x m x 1 2x2 m 1 x m 3 0, 2 
+) Ta có . 
 x 1 x 1
+) d cắt tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt khác 1. 
Hay: 
 2
 0 mm 6 25 0 2
 m 3 16 0 (đúng  m ). 
 2 mm 1 3 0 20
Vậy , luôn cắt tại 2 điểm phân biệt. 
 Ví DỤ 9
 Ví 
 x 2
 Cho hàm số y có đồ thị ()C và đường thẳng d: y x m với là tham số thực. Tìm tất 
 x 1
 cả các giá trị của để d và không có điểm chung? 
 m 2 m 2
 A. . B. m 2 . C. . D. 22 m . 
 m 2 m 2
 Lời giải 
Chọn D 
Phương trình hoành độ giao điểm của và là: 
 x 1
 x 2 1 
 xm 2 
 x 1 x 2 m x 2 m 0 2 
 và không có điểm chung phương trình vô nghiệm phương trình 2 vô nghiệm hoặc 
có nghiệm kép là . 
Phương trình (2) vô nhiệm 0 m 2 m 2 0 2 m 2 . 
Phương trình (2) có nghiệm kép là 1 tương đương với: 
 7 Giải tích 12 | 
 x 2 m x 1 x 3 ( vì  m , thì x 1 không là nghiệm của phương trình) 
 x2 2 mx 3 2 m 0 1 
 x 3
Đường thẳng y x2 m cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt 
 x 1
 Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt 0. 
 2 m 1
 mm 2 3 0 . 
 m 3
Do m  10;10 vậy có 16 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
 Ví DỤ 12
 Ví 
 x 3
 Có bao nhiêu giá trị nguyên của để đường thẳng y x2 m và đồ thị hàm số y có duy 
 x 1
 nhất một điểm chung? 
 A. 2 . B. 0 . C. 1. D. vô số. 
 Lời giải 
Chọn A 
 x 3
Hoành độ giao điểm của đường thẳng y x2 m và đồ thị hàm số y là nghiệm phương trình: 
 x 1
 x 3
xm 2 
 x 1
 x 1
 . 
 x 2 m x 1 x 3
 x 2 m ( x 1) x 3( vì , thì không là nghiệm của phương trình) 
Đường thẳng và đồ thị hàm số có duy nhất một điểm chung 
 Phương trình có nghiệm thực duy nhất 
 2 m 1
 0 mm 2 3 0 . 
 m 3
 Ví DỤ 13
 Ví 
 Tìm để đường thẳng không có điểm chung với đồ thị hàm số 
 m 1 m 1
 A. 31 m . B. 31 m . C. . D. . 
 m 3 m 3
 Lời giải 
Chọn A 
 9