Chuyên đề Sử dụng định nghĩa, tính chất tính tích phân hàm ẩn - Đại số 12

 Giải tích 12| 
 NGUYÊN HÀM – 
 3 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG 
 CHƯƠNG
 CHỦ ĐỀ: NGUYÊNDỤNG HÀM – TÍCH PHÂN HÀM ẨN 
 (SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT TÍNH TÍCH PHÂN HÀM ẨN) 
 DẠNG 1: Dùng định nghĩa, tính chất tích phân 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
1.1. Định nghĩa 
 Cho hàm số f liên tục trên K và ab, là hai số bất kỳ thuộc . Nếu F là một nguyên hàm 
 của trên thì hiệu số F()() b F a được gọi là tích phân của từ a đến b và kí hiệu là 
 b
 f() x dx . Trong trường hợp ab , ta gọi là tích phân của trên đoạn ab; . 
 a
 Fx()b
 Người ta dùng kí hiệu a để chỉ hiệu số F()() b F a . Như vậy Nếu là một nguyên hàm 
 b
 của trên thì f()()()() x dx F xb F b F a . 
 a
 a
1.2. Tính chất 
 a) Giả sử fg, liên tục trên và abc,, là ba số bất kì thuộc . Khi đó ta có 
 a ba b c c
 1) f ( x ) dx 0; 2) f ( x ) dx f ( x ) dx ; 3) fxdx ( ) fxdx ( ) fxdx ( ) 
 a ab a b a
 b b b bb
 4)  fx () gxdx () fxdx () gxdx () ; 5) kf ( x ) dx k f ( x ) dx với kR . 
 a a a aa
 Chú ý là nếu F ()() x f x với mọi xK thì F()() x f x dx 
 b) Với hàm số f liên tục và số thực dương a , ta có hai tính chất sau đây: 
 a
 * Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn  aa;  thì f( x ) dx 0. 
 a
 aa
 * Nếu f là hàm số chẵn trên đoạn  aa;  thì f( x ) dx 2 f ( x ) dx . 
 a 0
 II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. 
 = 
 Giải tích 12| 
 2 22
 f x .sin x + f x .cos x d x f x .sin x d x + f x .cos x d x 1 1 0. 
 0 00
 Câu 5 
 [Mức độ 3] Cho hàm số xác định trên thỏa mãn , , 
 . Tính 
 Lời giải 
 1 ln x 2 C1 khi x 2
Ta có : f x f x dx dx . 
 x 2
 ln 2 x C2 khi x 2
 f 1 133 C1 313 ln x 2 313 khi x 2
 fx . 
 C 133
 f 3 313 2 ln 2 x 133 khi x 2
Vậy P f 4 f 0 ln2 313 ln2 133 180. 
 Câu 6 
 [Mức độ 3] Cho hai hàm số và . Tìm và để 
 là một nguyên hàm của hàm số 
 Lời giải 
Để Fx là một nguyên hàm của fx thì F x f x . 
 x22 x x aa 2 13 11
 2xae xaxbe x 13 x 9 e . 
 a b 9 b 20
 Câu 7 
 [Mức độ 3] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn . Biết 
 rằng . Tính ? 
 Lời giải 
 11 1 ff 0 1 1
 x x x
Ta có efxfxx d efxxefx d ef 1 f 0 e 1. 
 00 0
Suy ra ab 1, 1. Do đó ab2018 2018 2. 
 Giải tích 12| 
 2
 2
Ta có f xd x f x f 2 f 0 . 
 0 
 0
 2
 f 0 
 ff 0 2 2 2 3
Với x 0 và x 2 ta có hệ phương trình . 
 2ff 0 2 0 4
 f 2 
 3
 2
 2
Do đó f xd x f x f 2 f 0 2. 
 0 
 0
 Câu 11 
 [Mức độ 3] Cho hàm số có đạo hàm trên , nhận giá trị dương trên khoảng , 
 thỏa mãn và . Tính giá trị . 
 Lời giải 
Với giả thiết bài toán ta có 
 fx 1 fx 1
 f x f x 1 x ddxx 
 fx 1 x fx 1 x
 1
 1 
 d f x 1 x 2 d 1 x ln f x 2 1 x C (1). 
 fx 
Do f 11 nên 1 0 2 2 CC 2 2 . 
Khi đó f x e 2 1 x 2 2 . Suy ra fe 2 2 3 2 2 . 
 Câu 12 
 [Mức độ 3] Cho hàm số có đạo hàm trên ; , và 
 . Tính giá trị . 
 Lời giải 
Theo giả thiết bài toán ta có 
 f x f x 
 f x x. f x x dd x x x 
 f x f x 
 3
 112
 dd f x x x f x x C . 
 fx 3
 2
 12 133 2 1 2
Do f 11 nên 1 CC . Do đó f x x22 f x x . 
 33 3 3 3 3
 100
Suy ra f 4 . 
 9
 Giải tích 12| 
 Do đó ta có hệ 
 12
 2f x 3 f x 4 f x 6 f x 
 44 xx221
  fx . 
 1354 x2
 2f x 3 f x 9 f x 6 f x 
 44 xx22
 2211 
 Khi đó I f xd x d x . 
 2
 225 4 x 20
 Câu 16 
 [Mức độ 4] Cho hàm số nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục trên khoảng thỏa 
 mãn và . Tính . 
 Lời giải 
 fx 
 22 2
Do f x 3 x 1 f x 0 và fx 0 x 0; nên 2 31x . 
 fx 
 fx 231
 2 dx 31 x dx x x C . 
 f x f x 
 1 1
Do f 1 nên 13 13 1 C C 11 f x . 
 13 xx3 11
 26 42 41
Vậy 26f 1 42 f 2 41 f 3 5 . 
 13 21 41
 Câu 17 
 [Mức độ 4] Cho hàm số thỏa mãn và với mọi 
 . Giá trị của bằng? 
 Lời giải 
 22
 2 f x f x 
Ta có: f x x3 f x x 3 dd x x 3 x 
 22 
 f x 11 f x 
 2
 1 15 1 1 15 4
 f 1 . 
 f x 4 f 2 f 1 4 5
 1
 Câu 18 
 [Mức độ 4] Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn 
 Tính tích phân 
 Lời giải 
 Giải tích 12| 
 1 1
 xc fx . 
 fx xc
Mà f 01 nên c 1. 
 1 1
 1 1
Vậy T f x d x dx ln x 1 ln2. 
 0
 0 0 x 1