Chuyên đề Sự đồng quy của ba trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 34.1. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN, 
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 
1. Đường trung tuyến của một tam giác 
 A
 B M C 
− Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung 
tuyến (xuất phát từ đỉnh hoặc ứng với cạnh ) của . 
− Đường thẳng cũng gọi là đường trung tuyến của . 
− Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến. 
2. Tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến 
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm). 
Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó. 
3. Vị trí của trọng tâm: 
 2
Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi 
 3
 AG BG CG 2
qua đỉnh ấy: === 
 AD BE CF 3
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI. 
Dạng 1. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác 
I. Phương pháp giải: 
Sử dụng linh hoạt các tỉ số liên quan đến trọng tâm tam giác. 
II. Bài toán. 
Bài 1. Chọn câu sai: 
A. Trong một tam giác có ba đường trung tuyến. 
B. Các đường trung tuyến của tam giác cắt tại một điểm. 
C. Giao của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó. 
D. Một tam giác có hai trọng tâm. 
Lời giải 
 1 AG 2 2 2 1
 = AG = AD GD = AD − AG = AD − AD = AD 
 AD 3 3 3 3
 2
 AD
 AG
 =3 = 2 =AG2. GD 
 1
 GD AD
 3
Bài 5. Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G . Tính độ dài đoạn AG ? 
Lời giải 
 AM
 A
 G
 C
 B M
 2
Vì là trọng tâm của tam giác và là đường trung tuyến, nên AG= AM (Tính 
 3
 2
chất ba đường trung tuyến của tam giác), do đó: AG ==.9 6cm . 
 3
Bài 6. Cho ABC, BC = a, CA = b, AB = c. Kẻ trung tuyến AM. Đặt AM = m . 
 a 
 b+ c − a b + c
Chứng minh rằng m 
 22a
Lời giải 
 A
 c b
 ma
 B a C
 M
Với AMB ta có: AM+ MB AB (1) 
Với AMC ta có: AM+ MC AC (2) 
Cộng từng vế của (1) và ( 2) ta được: 2AM+( MB + MC) AB + AC 
 b+− c a
Hay 2m+ a b + c m 
 a a 2
 bc+
Chứng minh tương tự ta có m 
 a 2
 3 Bài 9. Cho tam giác có hai đường trung tuyến BP, CQ cắt nhau tại . Trên tia đối của 
tia . PB . lấy điểm E sao cho PE = PG . Trên tia đối của tia QG lấy điểm F sao cho 
QF = QG . Chứng minh: 
a) GB == GE , GC GE ; b) EF = BC và EF// BC . 
Lời giải 
 ABC G
 A
 ABC M
 F E
 Q P
 G
 B C
a) Vì là trọng tâm nên BG == 2 GP , CG 2 GQ . 
Lại có PE == PG , QF QG nên GE == 2 GP , GF 2 GQ . 
Do đó BG == GE , CG GF . 
b) Suy ra GBC = GEF (c.g.c) 
Từ đó ta có và GEF= GBC 
 EF / / BC . 
Bài 10. Cho tam giác có hai đường trung tuyến AD, BE cắt nhau tại . Trên tia 
đối của tia DG lấy điểm sao cho D là trung điểm của đoạn thẳng MG. Trên tia đối của tia 
 EG lấy điểm N sao cho là trung điểm GN . Chứng minh: 
a) GN == GB , GM GA ; b) AN = MB và AN / / MB . 
Lời giải 
 C
 M N
 D E
 G
 B A
a) Vì là trọng tâm nên BG == 2 GE , A G 2 GD . 
Lại có GN== 2 GE , GM 2 GD .( , lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng MG , ) 
Do đó 
b) Suy ra GBM = GNA (c.g.c) 
 5 A
 E
 M
 B D C G
 AM ABC
 E
Theo đề bài ta có AD = DE nên C thuộc MD là đường trung tuyến của tam giác AEM (1) 
Mặt khác ta có BC = 2 CD và BC = CM nên CM = 2 CD (2) 
Từ và suy ra là trọng tâm của . 
Bài 3. Cho . Trên đường trung tuyến của tam giác đó, lấy hai điểm DE, sao cho 
 AD == DE EM . Chứng minh là trọng tâm của . 
Lời giải 
 A
 D
 E
 C
 B M
 2
Từ giả thiết AD== DE EM ta có AE= AM . 
 3
Mà thuộc trung tuyến nên là trọng tâm của . 
 2
Bài 4. Cho . Vẽ trung tuyến BM . Trên tia BM lấy hai điểm GK, sao cho BG = BM 
 3
và là trung điểm của BK . Gọi là trung điểm CK; GE cắt AC tại I . Chứng minh: là 
trọng tâm của KGC . 
Lời giải 
 7 A
 E F
 E D
 G
 G
 B C
 AM A ABC M
 22
Gọi là giao điểm của BD và CE BG = BD; CG = CE 
 33
Do BD= CE nên BG== CG; GD GE BGE = CGD(c.g.c) =BE CD 
 11
Ta lại có: BE== AB; CD CA 
 22
Do đó AB= AC ABC cân tại 
Bài 3. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến Gọi K là trung điểm của BM. Trên tia đối của 
tia lấy KA điểm sao cho KE= KA. 
a) Điểm là trọng tâm của tam giác nào? Vì sao? 
b) Gọi là trung điểm của CE. Chứng minh rằng ba điểm AMF, , thẳng hàng. 
Lời giải 
 A
 D
 C
 B K M
 F
 E
Xét ACE , ta có: KA= KE() gt CK là đường trung tuyến 
 2
Mà CM= CK nên là trọng tâm . 
 3
Do là trung điểm của EC() gt nên AF là đường trung tuyến thứ ba của 
Mà là trọng tâm nên đi qua 
Hay ba điểm AMF,, thẳng hàng. 
Bài 4. Cho vuông tại , trung tuyến . Trên tia đối của tia MA lấy điểm sao cho 
 MD = MA. 
a) Tính ABD 
 9 1
Bài 2. Cho , là trung điểm . Trên đoạn lấy điểm sao cho KM = KB . 
 E 2
Điểm H thuộc tia đối của tia MK sao cho BH = 2 BK . Gọi là điểm thuộc cạnh và 
 1
 IC = CA. Đường KI cắt HC ở . 
 3
a) Chứng minh là trọng tâm của HKC và là trung điểm của . 
 ABCIE IC G
b) Tính các tỉ số , . Chứng minh ba điểm HIF, , thẳng hàng ( là trung điểm KC ) 
 IK MC
 ABC M
Bài 3. Cho hai đoạn thẳng và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Gọi MN, lần 
lượt là trung điểm của BC, CD . Đoạn thẳng AM, AN cắt lần lượt tại và . Chứng 
minh: 
a) là trọng tâm của và là trọng tâm của ADC ; 
b) BI == IK KD . 
Bài 4. Cho tam giác , đường trung tuyến . Trên tia đối của tia DB lấy điểm sao cho 
 DE = BD . Gọi PQ, lần lượt là điểm trên BE sao Kcho BP == PQ QE . Chứng minh: 
a) CP, CQ cắt AB, AE tại trung điểm của AB, AE . 
b) CP// AQ và CQ// AP . 
Dạng 3. Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều 
Bài 1. Cho tam giác . . cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho 
 DAE= ABD. Chứng minh rằng DAE= ECB. 
Bài 2. Cho tam giác có các đường trung tuyến và CE bằng nhau. Chứng minh rằng : 
 là tam giác cân. 
Bài 3. Cho có ba đường trung tuyến AM, BN , CP cắt nhau tại . Biết 
 AM == BN CP . Chứng mình đều. 
Bài 4. Cho có ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết 
 AG == BG CG . Chứng minh đều. 
 ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Dạng 1. Sử dụng tính chất trọng tâmBM của tam giác 
Bài 1. AC I
 C
 D
 E
 G
 A
 B
 11