Chuyên đề Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 
 SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM 
 GIÁC 
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 
1. Đường trung trực của tam giác: 
Định nghĩa: Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh được gọi là đường trung trực 
của tam giác đó. 
Định lí 1: Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó cách đều ba đỉnh 
của tam giác. 
Nhận xét: Vì giao điểm của ba đường trung trực của tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác 
nên là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh tam giác đó. 
Tính chất: ΔABC cân tại A , AM là đường trung tuyến thì nó cũng là đường trung trực của BC 
Cụ thể: 
a) Cho ∆ABC , (d ) là đường trung trực của cạnh BC thì (d ) gọi là đường trung trực của ∆ABC 
ứng với cạnh BC . 
 d 
 A 
 B C 
b) Trong hình sau, điểm O là giao điểm các đường trung trực của ∆ABC. Ta có OA = OB = OC. 
Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. 
 A 
 O 
 B C 
c) ΔABC cân tại A , AM là đường trung tuyến thì cũng là đường trung trực của BC 
 b) ∆ABC là tam giác vuông tại A thì điểm H trùng với điểm A . 
 B 
 I 
 A≡H C 
c) ∆ABC là tam giác tù thì điểm H nằm ngoài tam giác. 
 H 
 K 
 L 
 A 
 B C 
 I 
 3. Bổ sung: 
Tính chất trong tam giác cân: ΔABC cân tại A, AM là đường cao thì nó cũng là đường trung 
trực, đường trung tuyến, đường phân giác. 
 A 
 B M C 
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI. 
 BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC 
Dạng 1. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
I. Phương pháp giải: 
- Dựa vào định nghĩa và sự đồng quy của ba đường trung trực trong tam giác. 
- Sử dụng tính chất giao điểm các đường trung trực trong tam giác thì cách đều ba đỉnh của 
tam giác đó. 
 B. ngoài ∆ABC . 
C. trên 1 cạnh của ∆ABC . 
D. trùng với 1 đỉnh của ∆ABC . 
b) Cho ∆ABC có A = 90° thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác: 
A. nằm trong ∆ABC 
B. nằm ngoài ∆ABC 
C. là trung điểm của cạnh BC 
D. trùng với đỉnh A của ∆ABC 
c) Cho ∆ABC nhọn, giao điểm 3 đường trung trực của tam giác nằm: 
A. trong ∆ABC 
B. ngoài ∆ABC 
C. trên một cạnh của ∆ABC 
D. trùng với một đỉnh của ∆ABC 
 Lời giải: 
a) Cho ∆ABC nhọn, giao điểm 3 đường trung trực của tam giác nằm trong ∆ABC . Chọn đáp 
án B 
b) Cho ∆ABC có A = 90 thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh BC . 
Chọn đáp án C. 
c) Cho ∆ABC nhọn, giao điểm 3 đường trung trực của tam giác nằm trong ∆ABC . Chọn đáp 
án A. 
Bài 3. Cho ΔABC . Vẽ điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C và vẽ đường tròn đi qua 3 đỉnh của 
tam giác trong mỗi trường hợp sau: 
a, ΔABC là tam giác nhọn. 
b, ΔABC vuông tại A . 
c, ΔABC là tam giác tù. 
 Lời giải: 
a, ΔABC là tam giác nhọn. 
b, ΔABC vuông tại A . 
 A 
 C 
 B D E 
 O 
OD là đường trung trực của AB 
suy ra DA = DB, OA = OB . 
Do đó ∆OAD = ∆OBD (c.c.c) 
Tương tự ∆OAE = ∆OCE. 
Bài 6. Cho ∆ABC vuông tại A , đường cao AH . Tia phân giác của các góc BAH và CAH cắt 
 BC lần lượt ở D và E . Gọi O là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC . 
a) Chứng minh rằng đường tròn tâm O , bán kính OA đi qua ba điểm A, D, E . 
b) Tính số đo góc DOE . 
 Lời giải: 
 A 
 O 
 x 
 C
 B D H E 
a) Ta có 
 BAE = BAC − EAC = 900 − EAC (1) 
 AEB = 900 − HAE (2) 
 = ∆
Mà EAC HAE ( gt ), do đó từ (1), (2) suy r BAE = AEB nên AEB cân tại B . 
Vì O là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC nên BO là đường phân giác của 
tam giác cân ABE , do đó BO là đường trung trực của AE , suy ra OA = OE (3) 
Chứng minh tương tự, CO là đường trung trực của AD , suy ra OA = OD (4) 
Từ (3) và (4) suy ra OA = OD = OE . Điều này chứng tỏ ba điểm A, E, D nằm trên đường tròn 
tâm O , bán kính OA hay đường tròn tâm O bán kính OA đi qua 3 điểm A, E, D . 
 1800 − AOB 
b) Xét ∆OAB cân tại O ⇒ OAB = OBA = 
 2 
 180°− AOD
Xét ∆OAD cân tại O ⇒ OAD = ODA = 
 2 
 180° − AOB 180° − AOD 
⇒ OAB + OAD = + 
 2 2 
 AOB + AOD 180° 
 = 180° − = 180° − = 90° 
 2 2 
⇒ BAD = 90° 
⇒ ∆ABD vuông tại A . 
Chứng minh tương tự ∆CBD vuông tại C . 
 c) Ta có ∆ABD vuông tại A nên ADB = 90° − ABD 
Ta có ∆BCD vuông tại C nên BDC = 90° − CBD 
⇒ ADO + ODC = 180° −(ABO + CBO) 
 ⇒ ADC = 180° − ABC = 180° − 70° = 110° 
Bài 9. Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại O . Biết rằng điểm O cũng là giao 
điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC . Chứng minh tam giác ABC đều. 
 A 
 F E 
 O 
 B C 
 D 
 Lời giải: 
Cách 1: 
Cho AO cắt BC tại F , BO cắt AC tại E , CO cắt AB tại D . 
Suy ra D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC . 
Vì O là giao điểm 3 đường trung trực nên OD ⊥ AB tại D , OE ⊥ AC tại E , OF ⊥ BC tại F . 
Suy ra AD, BE,CF là 3 đường trung trực của ∆ABC . 
Vì AD đường trung trực của ∆ABC nên AB = AC (1) 
Vì BE đường trung trực của ∆ABC nên BA = BC (2) 
 AP = BM (cmt) 
Do đó, ∆AMP = ∆BNM (c.g.c) 
=> MP = MN (hai cạnh tương ứng) (1) 
Tương tự: ∆AMP = ∆CPN (c.g.c) 
Suy ra MP = PN (2) 
Từ (1) và (2) ta có MP = MN = PN 
Vậy ∆MNP là tam giác đều. 
b) Điểm O là giao điểm các đường trung trực của tam giác đều ABC nên OA = OB = OC đồng 
thời AO, BO, CO cũng lần lượt là các tia phân giác của BAC, ABC, ACB . 
Xét ∆MAO và ∆NBO có: 
 AM = BN (gt) 
  1 1 
 MAO = NBO = BAC = ABC  
 2 2 
   
 OA = OB (cmt) 
⇒ ∆MAO = ∆NBO(c.g.c) ⇒ OM = ON (hai cạnh tương ứng) 
Tương tự : ∆MAO = ∆PCO(c.g.c) ⇒ OM = OP . 
Vậy OM = ON = OP . Do đó O là giao điểm các đường trung trực của ∆MNP . 
Bài 11. Trong một buổi tổng vệ sinh sân trường, 3 tổ cần dọn cỏ và rác của 3 bồn cây A, B, C 
ở 3 góc sân trường. Em hãy giúp 3 tổ chọn một vị trí O để đặt chiếc xe đẩy rác sao cho vị trí 
chiếc xe cách đều 3 bồn cây đó. 
 Lời giải: 
 Vì điểm O cách đều ba điểm A, B, C nên O là giao của ba đường trung trực của tam giác 
 ABC hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 
Để xác định vị trí điểm O ta chỉ cần xác định giao điểm của hai trong ba đường trung trực của 
tam giác ABC . 
Dạng 2. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng 
I. Phương pháp giải: 
Dựa vào định lí, tính chất về đường trung trực và sự đồng quy của ba đường trung trực trong 
tam giác. 
 Từ (1) và (2) suy ra, ba điểm A, E, M thẳng hàng. 
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi G là trọng tâm, O là giao điểm ba đường trung trực 
của tam giác ABC . 
a) Tam giác BOC là tam giác gì? 
b) Chứng minh ba điểm A,O,G thẳng hàng? 
 Lời giải: 
 A 
 O 
 G 
 B C 
a) Do O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên ta có: OA = OB = OC 
Suy ra tam giác BOC là tam giác cân tại O 
b) Do O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên O thuộc đường trung trực 
của BC (1) 
Do G là trọng tâm nên G thuộc đường trung tuyến của BC đi qua A (2) 
Mà tam giác ABC cân tại A nên trung tuyến ứng với cạnh BC cũng là đường trung trực của 
 BC 
Suy ra G thuộc đường trung trực của BC (3) 
Từ (1), (2) và (3) Suy ra ba điểm A,O,G thẳng hàng 
Bài 4. Cho tam giác ABC cân ở A . Gọi M là trung điểm của BC . Các đường trung trực của 
 AB, AC cắt nhau ở E . Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng. 
 Lời giải: 
Chứng minh được: ∆ABM = ∆ACM (c.c.c). 
Từ đó, suy ra AM là đường trung trực của BC . 
Theo tính chất ba đường trung trực của tam giác, ta suy ra điểm E thuộc đường trung trực của 
 BC .