Chuyên đề Sự đối xứng hai bên trong hình học, khái niệm điểm và đường trung tâm - Bồi dưỡng HSG Toán hình THCS

 Chuyên đề 20: Sự đối xứng hai bên trong Hình học, khái niệm điểm và đường trung tâm
 Người viết: Nguyễn Thanh Dũng
 I. Lý thuyết 
 Bạn đọc chú ý đây là một cách nhìn nhận riêng của tác giả về hình học phẳng, có thể từ 
đó sẽ là cơ sở cho việc xây dựng định lí hay hệ thống liên quan hình học sau này. Tuy rằng 
bài viết này chưa đưa ra được định lí hay tính chất nào thực sự đặc biệt về sự đối xứng hai 
bên hay yếu tố trung tâm cùng với mối liên hệ của chúng, tuy nhiên sẽ cố gắng đưa ra một số 
định nghĩa, ví dụ, các bài toán thú vị cũng như các đề thi Quốc tế, dựa trên đó phân tích để 
thấy sự đối xứng hai bên, yếu tố trung tâm và các mối quan hệ cần tới khi giải bài toán có 
tính đối xứng, hay có nhiều yếu tố trung tâm !
 Định nghĩa 1: Xét một tam giác ABC, xét một đường thẳng d đi qua A, ta gọi d là 
đường thẳng trung tâm thứ nhất (tùy vào bài toán mà đường trung tâm thứ nhất có thể là 
đường cao, đường kính qua A của (ABC),đường trung tuyến, phân giác). Hai điểmB, C là 
hai điểm có tính điểm đối xứng hai bên đối với đường thẳng trung tâm d gọi là cặp điểm liên 
hợp thứ nhất, A gọi là điểm trung tâm thứ nhất, đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC 
gọi là đường tròn trung tâm thứ nhất.
 A
 O
 d
 B C
 Lấy một họ các điểm ở hai bên đường thẳngd, họ điểm này chia làm hai phần có số 
lượng điểm như nhau và có kiến trúc hình thành như nhau. Thế thì ta thu được một hình  
có tính chất đối xứng hai bên. Hình  gọi là hình đối xứng hai bên qua đường thẳng trung 
tâm d.
 Định nghĩa 2: Hai điểm A và A’ gọi là liên hợp (hai bên)nếu chúng được xây dựng 
với tính chất tương tự nhau, ta gọi chúng là cặp điểm liên hợp {A, A’}.
 Định nghĩa 3: Mỗi điểm trung tâm liên hợp với chính nó. A
 P
 Y
 X N
 M F
 O
 Q E G
 H
 B D S C
 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), có trực tâm H, trọng tâm G. Các đường cao BF, CE 
cắt (O) tại P, Q, các trung tuyến BN, CM. Thế thì ta có một hệ thống như sau:
1, Hệ thống điểm trung tâm có sẵn: O, G, H, A, trung điểm S của BC, D là chân đường 
caođỉnh A.
2, Hệ thống đường trung tâm có sẵn: đường thẳng EulerOH, đường thẳng BC, đường cao 
AH, trung tuyến AS, đường tròn Euler, đường tròn (ABC). 
3, Cặp điểm liên hợp: {B, C}, {E, F}, {M, N}, {P, Q}. 
4, Cặp đường thẳng liên hợp: {AB, AC}, {BF, CE}, {BN, CM}, {MQ; NP}, {MF, NE}
5, Cặp đường tròn liên hợp: {(BEH), (CFH)}; {(AMQ),(ANP)}
6, Các điểm trung tâm mới: Gọi X là giao của MF với NE và Y là giao của (AMQ) với (ANP), 
vì (AMQ) với (ANP) liên hợp nên hai điểm X, Y được tạo ra là các điểm trung tâm. 
Câu hỏi: Vậy X, Y liên hệ gì với các điểm trung tâm ở “1”? 
Trả lời: Kết quả sau khi vẽ hình khá là bất ngờ: Y nằm trên đường trung tâm OA và X nằm 
trên đường thẳng trung tâm Euler! 
 Phần chứng minh dành cho bạn đọc sau khi đã đọc hết chuyên đề này! Bạn đọc có thể 
tự xây dựng mô hình ví dụ như dựa liên hệ tới phân giác, tâm nội tiếp của tam giác. II. Phân tích một số định lí Hình học theo quan điểm đối xứng hai bên
1, Định lí Con bướm: Cho dây cung AB với M là trung điểm. Hai dây cung khác nhau PP’, 
QQ’ và khác AB cùng đi qua M như hình vẽ. Gọi X, Y là giao của P’Q và PQ’ với AB. Khi 
đó, MX=MY.
 Q
 P
 M
 A B
 X Y
 O
 P'
 Q'
 Phân tích: Coi như đường tròn (O) và đường AB là trung tâm, các cặp điểm {P, P’}, {Q, 
Q’} là liên hợp theo kiểu nó là dây cung qua M. Thế thì PQ’ và P’Q là liên hợp, suy ra X, Y là 
liên hợp. Định lí Con bướm phản ảnh tính chất hình học đẹp và đối xứng đó là MX=MY. Tính 
chất này còn đúng khi thay (O) bằng một đường Ellipse. 
2, Định líPascal
 A
 F
 E
 Y
 X Z
 B C
 D
 Như đã phát biểu ở chuyên đề 0, ta có định lí Pascal cho 6 điểm ABCDEF với các 
giao điểm tương ứng là X, Y, Z. Ta xét góc nhìn đối xứng như sau.
Phân tích: Xét tam giác ABC với đường trung tâm thứ nhất là AD. Trên hai cung liên hợp 
AB, AC lấy hai điểm E, F bất kì coi như liên hợp. Khi đó dễ thấy X, Y là liên hợp và XY là 
đường trung tâm. Hơn nữa, Z là giao của {CE, BF} liên hợp nên Z là trung tâm. Định lí cho 
thấy rằng điểm trung tâm Z nằm trên đường trung tâm XY. III.Bài tập minh họa
 1. Phân tích tính đối xứng, tìm ra yếu tố đối xứng và yếu tố trung tâm để giải quyết 
 bài toán đối xứng hai bên. 
Ví dụ 1: (IMO 2004, #1) Cho tam giác nhọn ABCkhông cân tại A. Đường tròn đường kính 
BC cắt các cạnh AB, AC tại M, N tương ứng. Kí hiệu O là trung điểm BC. Phân giác các góc 
BAC,MON cắt nhau tại R. CMR đường tròn ngoại tiếp hai tam giác BMR và CNR có 
điểm chung nằm trên BC.
Phân tích tính đối xứng hai bên: {M, N} có vai trò như nhau nên liên hợp, đường tròn ngoại 
tiếp (BMR), (CNR) có vai trò đối xứng hai bên giống nhau nên liên hợp. O, A là các điểm 
trung tâm,AR là đường thẳng trung tâm nên K là giao của AR với BC cũng là điểm trung tâm.
Dự đoán: Tứ giác trung tâm AMRN có nội tiếp hay không? Điều này liên quan gì tới việc 
chứng minh bài toán. 
 A
 N
 M R
 O
 B K C
Chứng minh bài toán:Ba đường tròn (ABC), (BMR), (CNR) có ba trục đẳng phương là KR, 
BM, CN nên chúng đồng quy tại K. Các tứ giác BMRK, CNRK nội tiếp nên BKR AMR;
CKR ANR , thế nên B, K, C thẳng hàng khi và chỉ khi AMR ANR 1800 . Cho nên 
ta chỉ cần chứng minh AMNR nội tiếp là xong. Vì OR là trung trực của MN và AR là phân 
giác góc A nên R nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN nên tứ giác AMNR nội tiếpW
Nhận xét: Ta đã quy bài toán về yếu tố trung tâm, đó là đường thẳng AR, sau đó giải quyết 
bài toán bằng một tứ giác trung tâm AMNR. 2. Thác triển đối xứng hai bên
 Thác triển đối xứng hai bên tức là từ hình vẽ đã cho ta tạo thêm các cặp điểm, cặp đường 
thẳng, hoặc cặp đường tròn liên hợp. Từ đó tạo mối liên hệ với hình vẽ ban đầu trong giả thiết 
bài toán. Sau đây sẽ là các ví dụ ta xây dựng hình vẽ kiểu như vậy:
Ví dụ 3: (Nguyễn Thanh Dũng) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp 
đường tròn (I). Gọi AD, BE, CF là các phân giác góc A, B, C. Giả sử trung trực của AI, BI, CI 
cắt EF, FD, DE tương ứng tại M, N, P. CMR: M, N, P nằm trên cùng một đường thẳng vuông 
góc với OI. 
Phân tích tính đối xứng hai bên: Cặp điểm {B, C}, {E, F} là liên hợp. 
Thác triển đối xứng hai bên: Gọi Y, Z là giao của BE, CF với (O), lưu ý {Y, Z} là cặp điểm 
liên hợp. 
Dự đoán: M, Y, Z thẳng hàng và đó là một đường thẳng trung tâm được sinh ra sau khi thác 
triển hình vẽ. Dễ thấy MA=MI hay là (M ;O) (M ;(I;0)) , trong đó (I;0) là đường tròn 
điểm tâm I, vậy để chứng minh được điều này ta sẽ chỉ ra MA là tiếp tuyến của (O).
 A
 Y
 Z
 E
 F
 O
 M I
 C
 B D
Chứng minh bài toán: Trước hết ta chứng minh M, Y, Z thẳng hàng. Dễ thấy 
 1 1
BYZ AYZ ACB và AZY CZY ABC nên suy ra YZ là trung trực của IA. 
 2 2
Vậy M, Y, Z thẳng hàng. Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác với cát tuyến M-F-E ta được 
MZ EY FI EY S AY.AE.sin EAY AY sin B / 2
 . . 1 (1). Mặt khác, ta có AEY . , 
MY EI FZ EI SAEI AI.AE.sin IAC AI sin A / 2
 FI AI sin A / 2 MZ AY sin B / 2
tương tự ta có . . Nên từ (1) ta được . . 1, hơn nữa 
 FZ AZ sin C / 2 MY AZ sin C / 2
 2 2
sin B / 2 sin ABY AY MZ AY MZ AZ 
 , vậy ta được . 1 , vậy theo định 
sin C / 2 sin ACZ AZ MY AZ MY AY 2 2 2 2
 Vì AL, BK là các tiếp tuyến của 1,2 nên AL AC AK.AK1 ; BK BC BL.BL1 
nên AK, BL là tiếp tuyến của các đường tròn (KLK1);(KLL1) tương ứng. Mặt khác, Gọi Y là 
giao điểm thứ hai của 1,2 thì X, C, Y thẳng hàng, theo tính chất phương tích ta có 
XK.XK1 XC.XY XL.XL1 nên tứ giác KLK1L1 nội tiếp. Vì thế MK, ML là tiếp tuyến của 
đường tròn ngoại tiếp tứ giác KLK1L1 . Do vậy ta có MK=MLW
Nhận xét: Việc thác triển này là khá tự nhiên khi giả thiết bài toán cho ta AL=AC, BK=KC. 
 3. Thác triển yếu tố trung tâm để tạo ra thêm điểm và đường trung tâm
Ví dụ 5: (Nguyễn Thanh Dũng)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), một đường thẳng 
qua (O) song song với BC, cắt AB, AC lần lượt tại F, E. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác 
(BFO) và (CEO) cắt nhau tại điểm thứ 2 là D và cắt BC tại L, K. Gọi M là giao của BE và CF. 
Gọi N là giao của FL và EK. CMR: D, M, N thẳng hàng.
Phân tích tính đối xứng hai bên: {E, F}, {K,L}, {B, C} là các cặp điểm đối xứng hai bên.Các 
điểm D, M, N, O, A là các điểm trung tâm. Dễ nhìn raD, M, Nthẳng hàng thì sẽ nằm trên 
đường thẳng DO.
Thác triển yếu tố trung tâm: Tathác triển hình vẽ theo đường thẳng trung tâm OD, và chứng 
minh bài toán dựa và đường thẳng trung tâm này. 
Dự đoán: Trước hết gọi T là giao của OD với (O), thế thì T có tính chất gì? Theo hình vẽ dễ 
thấy ATCB là thang cân.
 A Q T
 O
 F
 M E
 N
 B C
 K P L
 D