Chuyên đề Sự chia hết của số nguyên - Bồi dưỡng HSG Toán 8

 CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHẤT CHIA HẾT
 Tỉnh, thành phố Năm học
HSG Thanh Chì 2018-2019
HSG Như Xuân 2020-2021
HSG Chuyên KHTN 2014-2015; 
HSG Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2015-2016
HSG Vũng Tàu 2020-2021
HSG Bến Tre 2020-2021
HSG Ân Thi 2017-2018
HSG Nghi Lộc 2017-2018
HSG Lục Nam 2016-2017
Olympic Mỹ Đức 2018-2019
HSG Thành Phố Bắc Ninh 2020-2021
HSG Thuận Thành Bắc Ninh 2018-2019
HSG Gia Lâm 2020-2021
HSG Yên Phong Bắc Ninh 2016
HSG An Nhơn 2016-2017
HSG Chí Linh 2018-2019
HSG Phú Xuyên 2018-2019
 1 tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn (kể từ trái sang phải) chia hết cho 11.
12. Đồng dư thức
a) Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c ( c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng 
dư với b theo modun c , ký hiệu là a  b mod c 
b) Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z ta có:
- a  a mod m 
- a  b mod m b  a mod m 
- a  b mod m ;b  c mod m a  c mod m 
- a  b mod m ;c  d mod m a c  b d mod m 
- a  b mod m ;c  d mod m a.c  b.d mod m 
- a  b mod m an  bn mod m 
13. Phương pháp chứng minh quy nạp
Muốn chứng minh một khẳng định An đúng với mọi n 1,2,3,... ta chứng minh như sau:
- Khẳng định A1 đúng
- Giả sử Ak đúng với k 1, ta cũng suy ra khẳng định Ak 1 đúng
Kết luận: Khẳng định An đúng với mọi n 1,2,3,...
14. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
Muốn chứng minh khẳng định P đúng ta làm như sau
- Giả sử P sai
- Từ giả sử sai ta suy ra điều vô lý
- Điều vô lý đó chứng tỏ rằng P không sai, tức là P đúng.
B. Bài tập và các dạng toán
 Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết
- Để chứng minh biểu thức A n chia hết cho số m, ta phân tích A n thành nhân tử, trong đó 
có 1 nhân tử là m A(n)m 
 3 Vậy n3 11n6
 mn(m2 n2 ) mn (m2 1) (n2 1) = mn(m 1)(m 1) mn(n 1)(n 1)
c) Ta có:  
 6 6
Vậy mn(m2 n2 )6
 m3 5m m3 m 6m m(m 1)(m 1) 6m
d) Ta có:  
 6
 6
Vậy m3 5m6 .
 Bài 3: Chứng minh với mọi n lẻ thì 
a. A n2 4n 38 b. B n3 3n2 n 348
c. C n12 n8 n4 1512 d. D n4 10n2 9384
 Lời giải
a) Ta có: n2 4n 3 (n 1)(n 3)
Vì n là số lẻ nên n 1 và n 3 là tích của hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8
b) n3 3n2 n 3 (n 3)(n 1)(n 1)
 n 2k 1 (n 3)(n 1)(n 1) 2k(2k 2)(2k 4) 8k(k 1)(k 2) 48(k N)
Vì n lẻ, đặt 
 6
Vậy B n3 3n2 n 348
c) n12 n8 n4 1 (n8 1)(n4 1) (n4 1)2 (n4 1) (n2 1)2 (n2 1)2 (n4 1)
 16. k k 1 .(n2 1)2 .(n4 1) 24.22.22.2 512
   .
 4  
 2 2
 22 chan 2 chan 2
Vậy C n12 n8 n4 1512
d) Ta có: n4 10n2 9 (n4 n2 ) (9n2 9) n2 (n 1)(n 1) 9(n 1)(n 1) (n 3)(n 1)(n 1)(n 3)
Đặt n 2k 1 k Z 
D (2k 2)2k(2k 2)(2k 4) 16k(k 1)(k 1)(k 2) D384
 
 24
Vậy D n4 10n2 9384
 Bài 4: 
Chứng minh rằng số A n3 (n2 7)2 36n5040,n N
 Lời giải
 5 B16.24 384.
 Bài 8: 
Chứng minh rằng với mọi n lẻ thì A n8 n6 n4 n2 1152n N
 Lời giải
Ta có: 1152 = 9.27 = 32.27
 A n2 (n6 n4 n2 1) n2[(n4 n2 ) (n2 1] n2 (n2 1)(n4 1) n2 (n2 1)2 (n2 1)
 A [ n(n-1)(n+1)]2 (n2 1) A9(1)
 
 3 9
Vì n lẻ nên n 1 và n 1 là 2 số chẵn liên tiếp có 1 số chia hết cho 4 tích 2 số chẵn chia 
hết cho 8, mặt khác n2 + 1 là số chẵn chia hết cho 2 A82.2 27 (2) 
Từ (1)(2) A27.32 (dpcm)
 Bài 9: 
Cho m, n là hai số chính phương lẻ liên tiếp. CMR: mn m n chia hết 192
 Lời giải
Đặt m (2k 1)2 ;n (2k 1)2 (k Z)
 A (m 1)(n 1) 2k 1 2 1 2k 1 2 1 (4k 2 4k)(4k 2 4k) 16k 2 (k 1)(k 1)
Ta đi chứng minh A chia hết cho 64 và 3
 A (k 1).k .k(k 1) A16.2.2 64; A 16k (k 1)k(k 1) A3 A64.3 192
   
 2 2 3
 Bài 10: 
Cho n là số tự nhiên, chứng minh rằng:
 n5 n4 7n3 5n2 n
a. là số tự nhiên b. B n(n2 1)(3n 2)12
 120 12 24 12 5
 Lời giải
 n5 n4 7n3 5n2 n n5 10n4 35n3 50n2 24n n(n4 10n3 35n2 50n 24)
a) 
 120 12 24 12 5 120 120
 n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)
 120
b) B n(n2 1)(3n 2) n(n 1)(n 1)(3n 2)
 7 A 2n[1.3.5...(2n-1)]2nn N *
Cách 2: Dùng phương pháp quy nạp toán học
+) n 1 A(1) 221
+) Giả sử mệnh đề đúng với n k , tức là ta có: A (k 1)(k 2)...2k2k
+) Ta đi chứng minh đúng với n k 1
 A(k 1) (k 2)(k 3)...(2k 2) 2(2k 1).A(k)2.2k 2k 1(dpcm)
 Bài 15: 
Có bao nhiêu số có 5 chữ số, thỏa mãn: Chia hết cho 3 và có ít nhất 1 số 3
 Lời giải
Ta có: 30000 số có 5 chữ sô chia hết cho 3 (10000 đến 99999 có 90000 số, cách 3 số có 1 số 
chia hết cho 3)
Ta đi đếm số các số chia hết cho 3 mà không chứa chữ số 3 nào
Giả sử: abcde(a 0;0 a,b,c,d,e 9.a,b,c,d,e 3) có 8 cách chọn a, b, c, d có thể chọn 9 cách
Ta có: a b c d e chia hết cho 3
 a b c d3 e 0,6,9
Nếu a b c d3du1 e 2,5,8(du2)
 a b c d3du2 e 1,4,7(du1)
Vậy có 3 cách chọn e. Suy ra có 8.9.9.9.3 = 17496 số chia hết 3 không chứa thừa số 3
Suy ra có: 30000 – 17496 = 12504 số thỏa mãn bài toán.
 Bài 16: 
Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số nguyên lẻ bất kỳ thì hết cho 8.
 Lời giải
Gọi hai số nguyên lẻ bất kỳ là 2x 1 và 2y 1 x, y Z 
Ta có 2x 1 2 2y 1 2 4x2 4x 1 4y2 4y 1
 4x x 1 4y y 1 chia hết cho 8.
 Bài 17: HSG Như Xuân, năm học 2020 - 2021
 9 Ta có: n3 3n2 n 3 n3 n 3n2 3 
 n n2 1 3 n2 1 
 n n 1 n 1 3 n 1 n 1 
 n 1 n 1 n 3 
Vì n lẻ nên.푛 = 2 + 1 ( ∈ 푍)
Do đó n 1 n 1 n 3 2k 1 1 2k 1 1 2k 1 3 2k 2k 2 2k 2 8k k 1 k 1 
Vì k k 1 k 1 là tích của ba số nguyên liên tiếp nên k k 1 k 1 chia hết cho 2 và 3 .
Mà ƯCLN 2,3 1 nên k k 1 k 1 chia hết cho 6 , suy ra 8k k 1 k 1 chia hết cho 48.
Vậy n3 3n2 n 3 chia hết cho 48 với mọi số nguyên lẻ n .
 Bài 21: HSG Nghi Lộc, năm học 2017 - 2018
Chứng minh rằng biểu thức A 75 42017 42016 ... 42 5 25 chia hết cho 42018 .
 Lời giải
Đặt 42017 42016 ... 42 4 1 B
Ta có 4B 42018 42017 ... 43 42 4
 4B B 42018 1
 B 42018 1 :3
Thay B vào A ta có: A 75 42018 1 :3 25 A 25.42018 42018
Vậy A chia hết cho 42018 .
 Bài 22: HSG Lục Nam, năm học 2016 - 2017
 2
Chứng minh rằng n2 3n 1 1 chia hết cho 24 với n là số tự nhiên.
 Lời giải
 2
 B n2 3n 1 1 n2 3n 1 1 n2 3n 1 1 
 n n 3 n2 3n 2 
 11 B n 4 14n3 71n2 154n 120
 n 4 n2 2n3 2n 8n3 8n 24n3 72n2 144n 120
 n2 n2 1 2n n2 1 8n n2 1 24n3 72n2 144n 120
 n2 1 n2 2n 8n n 1 n 1 24n3 72n2 144n 120
 n 1 n 1 n n 2 8n n 1 n 1 24n3 72n2 144n 120
Ta có: n 1 n 1 n n 2 là tích bốn số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 và có tích 2 số
chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8
Mà 3,8 1 và 3.8 24 n 1 n 1 n n 2 24
 n 1 n 1 n3 8 n 1 n 1 n24
 24n3 72n2 144n 12024 B24 .
 Bài 25: HSG Gia Lâm, năm học 2020 - 2021
Chứng minh rằng a3b ab3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b .
 Lời giải
Chứng minh rằng a3b ab3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b .
Xét A a3b ab3 ab a2 1 ab b2 1 
 A ab a 1 a 1 ab b 1 b 1 
Do a 1;a;a 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên ab a 1 a 1 chia hết cho 6
Tương tự : b 1;b;b 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên ab b 1 b 1 chia hết cho 6
Do vậy: A ab a 1 a 1 ab b 1 b 1 chia hết cho 6
Do đó: A a3b ab3 chia hết cho 6.
 Dạng 2: Sử dụng các công thức nâng cao
1. an bn a b a,b Z,a b,n N 
2. an bn  a b a,b Z,a b,n N (với mọi n lẻ)
3. an bn  a b a,b Z,a b,n N (nếu n chẵn)
 Bài 1: Chứng minh rằng:
 51 70 70
a. 2 17 b. 2 3 13
 13