Chuyên đề Số vô tỉ, khái niệm về căn bậc hai, số thực môn Toán 7

 BÀI 8. SỐ VÔ TỈ. KHÁI NIỆM VỀ CĂN BẬC HAI. SỐ THỰC 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nhận biết được sự tồn tại của số thập phân vô hạn tuần hoàn, từ đó hiểu được khái niệm số vô 
 tỉ. 
 + Nắm được khái niệm về căn bậc hai của một số không âm. 
 + Biết được tập số thực là tên gọi chung cho tập số hữu tỉ và tập số vô tỉ. Từ đó thấy được sự phát 
 triển các tập số từ đến ,  và . 
 + Nắm được ý nghĩa của trục số thực. 
  Kĩ năng 
 + Nhận biết được số vô tỉ. Phân biệt được dạng đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit. 
 + Tính được căn bậc hai của một số không âm (bằng định nghĩa và máy tính bỏ túi) và sử dụng 
 đúng kí hiệu . 
 + Có kĩ năng so sánh số các số thực và biểu diễn số thực trên trục số. 
 Trang 1 
 các số hữu tỉ. 
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA 
 Số vô Số thập phân vô hạn không tuần hoàn Ví dụ: 2 1,41421... 
 tỉ 
 SỐ Số thập phân 1 5
 Ví dụ: 1; 0,5; 1,25 
 THỰC hữu hạn 2 4
 Số a
 a, b , b 0 
 hữu tỉ 
 b
 Số thập phân 1
 vô hạn tuần hoàn Ví dụ: 0,33333... 
 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Nhận biết mối quan hệ giữa các tập số 
 Phương pháp giải 
Để nhận biết mối quan hệ giữa các tập số, ta cần: 1
 Ví dụ: Các số 2;2; ; 2 thuộc tập hợp số nào 
 2
 trong các tập số: ;;  ; 
Hiểu được khái niệm các tập số và sử dụng đúng các Xét số 2 , ta có: 2 ; 2 ; 2  ; 2 . 
kí hiệu: Xét số 2, ta có: 2 ;2 ;2  ;2 . 
 : thuộc; 1 1 1 1 1
 Xét số , ta có: ; ;  ; . 
 : không thuộc; 2 2 2 2 2
 : con (được chứa). Xét số 2 , ta có: 2 ; 2 ; 2  ; 2 . 
Nắm vững mối quan hệ giữa các tập hợp số: 
     . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Điền các kí hiệu ,, vào các ô trống: 
 a) 0, 33  ; b) 0,52 41  ; c) 2 ; 
 d) 3 ; e)  ; f)  . 
Hướng dẫn giải 
 a) 0, 33  ; b) 0,5241  ; c) 2 ; 
 d) 3  ; e)  ; f)  . 
Ví dụ 2. Điền dấu x vào ô thích hợp trong bảng sau: 
 Trang 3 
Dạng 2: Tìm căn bậc hai của một số cho trước và tìm một số biết căn bậc hai của nó 
Bài toán 1. Tìm căn bậc hai của một số cho trước 
 Phương pháp giải 
Để tìm căn bậc hai của một số cho trước ta cần: 
Cách 1. Sử dụng định nghĩa căn bậc hai: Căn bậc Ví dụ: Tìm căn bậc hai của: 
hai của số a không âm là số x sao cho x2 a . a) 4. b) 5. 
 c) 0. 
Chú ý: Hướng dẫn giải 
 2
Số dương có hai căn bậc hai là hai số đối nhau, số a) Ta có 22 4 và 2 4 . 
âm không có căn bậc hai. 
 Vậy căn bậc hai của 4 là 4 2 và 4 2 . 
Khi viết a ta phải có a 0 và a 0 . 
 b) Do 5 là số âm nên 5 không có căn bậc hai. 
 c) Số 0 có căn bậc hai là 0. 
Cách 2. Sử dụng máy tính bỏ túi nếu đề bài cho Ví dụ. Tính 3 . 
phép. 
 Ta ấn liên tiếp các nút sau: 3 
Nút dấu căn bậc hai: . Máy tính hiện kết quả là 1,732050808. 
 Vậy 3 1,73 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 
 hai). 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của: 
 9
 a) 25. b) 0,0001. c) . d) 6 . 
 25
Hướng dẫn giải 
a) Căn bậc hai của 25 là 25 5 và 25 5 . 
b) Căn bậc hai của 0,0001 là 0,0001 0,01 và 0,0001 0,01. 
 9 9 3 9 3
c) Căn bậc hai của là và . 
 25 25 5 25 5
d) Do 6 0 nên không tồn tại căn bậc hai của 6 . 
Chú ý : Không viết 25 5 do a 0 với a 0 
 9 2
Ví dụ 2. Tính 100; ; 5 ; 52 ; 
 4
Hướng dẫn giải 
Vì 102 100 nên 100 10 . 
 2
 3 9 9 3
Vì nên . 
 2 4 4 2
 Trang 5 
 1
 x 3 2 4 19 5 7 3,5 0,5 
 2
Chú ý: 
 x là số không âm a sao cho a2 x . 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Tìm căn bậc hai của: 
 4
 a) 9. b) 0,12 . c) . d) 36 . 
 25
Câu 2: Tìm căn bậc hai của các số sau: 
 9
 a) 49. b) 0,25. c) d) 1 
 49
Câu 3: Điền số thích hợp vào ô trống: 
 x 9 16 1 3 2 
 x 2 23 1,1 
Câu 4: Điền số thích hợp vào ô trống: 
 x 3 6 
 x 225 0,0025 
Câu 5: Tính 6; 0,04; 11 bằng cách sử dụng máy tính bỏ túi (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2). 
Dạng 3: Thực hiện phép tính 
 Phương pháp giải 
Các phép toán trong tập hợp các số thực cũng có các tính chất 1 
 Ví dụ. Tính 36. 3. 16 2 
 A 
tương tự các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ. 9 
Để thực hiện phép tính có chứa căn bậc 2, ta có thể làm như 
sau: 
Bước 1. Tính các giá trị căn bậc hai (nếu có) a2 a a 0 Ta có 36 62 6; 16 4 2 4; 
 2
trong phép tính. 1 1 1
 9 3 3
Bước 2. Thực hiện đúng thứ tự phép tính. 1 1
 Suy ra A 6. 3.4 2 6. 12 2 
 3 3
 72 2 2 72
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tính: 
 1 1
 a) ; b) 4 36 81; c) 13 2; 3 d) 13 2 3 3 3 . 
 9 16
Hướng dẫn giải 
 Trang 7 
 Vậy x 3 hoặc x 3 . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tìm x, biết: 
 a) x 1 3 b) x 2 64 0 . 
Hướng dẫn giải 
a) x 1 3 x 1 9 x 10. 
Vậy x 10 . 
b) x2 64 0 x 2 64 x 8 hoặc x 8 
Vậy x 8 hoặc x 8 . 
Ví dụ 2. Tìm x, biết: x 1 3 2 . 
Hướng dẫn giải 
Ta có x 1 3 2 x 1 5 x 1 5 hoặc x 1 5 
 x 6 hoặc x 4 (không thỏa mãn vì x 0 ) . 
 x 36 . 
Vậy x 36 . 
Chú ý: x a thì x a hoặc x a . 
Ví dụ 3. Tìm x, biết: x2 4 x 2 3 0 . 
Hướng dẫn giải 
 xx2 4 2 3 0 x 2 4 0 hoặc x 2 3 0 
 x 2 4 hoặc x 2 3 . 
Với x 2 4 ta có x 2 hoặc x 2 . 
Với x 2 3 ta có x 3 hoặc x 3 . 
Vậy x 2 hoặc x 3 . 
Chú ý: Nếu a. b 0 thì a 0 hoặc b 0 
 Bài tập tự luyện dạng 4 
Câu 1: Các giá trị của biến x thỏa mãn biểu thức x 4 là: 
 A. 2. B. 2 . C. 16. D. 16 . 
Câu 2: Giá trị của biến x thỏa mãn biểu thức x 2 4 là: 
 A. 2. B. 2 . C. 16. D. 16 . 
Câu 3: Tìm x, biết: x 2 16 25 
Câu 4: Tìm x, biết: x 3 3 9 . 
Dạng 5: So sánh hai số 
 Phương pháp giải 
 Trang 9 
Áp dụng tính chất cơ bản sau: Ví dụ: 
 x 0 với mọi x 0 . Dấu “=” xảy ra khi x 0 . 
Mở rộng: 
 x a 0 với mọi x a , dấu “=” khi x a . +) x 3 0 với x 3. 
 Dấu “=” xảy ra khi x 3 0 x 3 
 x b 0 với mọi x b , dấu “=” khi x b +) x 3 0 với x 3. 
 Dấu “=” xảy ra khi x 3 0 x 3 
Min là viết tắt của từ “minimum” nghĩa là giá trị nhỏ nhất. 
Max là viết tắt của từ “maximum” nghĩa là giá trị lớn nhất. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x 1 
Hướng dẫn giải 
Vì x 0 với x 0 nên A x 1 1. 
Dấu “=” xảy ra khi x 0 . 
Vậy minA 1 khi x 0 . 
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: P 1 2 x 3 
Hướng dẫn giải 
Vì x 3 0 với x 3 nên 2x 3 0. 
Do đó P 1 2 x 3 1 
Dấu “=” xảy ra khi x 3 0 x 3. 
 3
Vậy max P . 
 2
 Bài tập tự luyện dạng 6 
Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A, B (giả thiết các căn bậc hai đều có nghĩa). 
 a) A x 2 b) B x 5 3 
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của A, B (giả thiết các căn bậc hai đều có nghĩa). 
 a) A 4 x b) B 5 x 3 
Dạng 7. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên 
 Phương pháp giải 
Tìm điều kiện của x để biểu thức nhận giá trị x
 Ví dụ: Với x 0, x 1, tìm x để A 
nguyên, ta thường làm như sau: x 1
 nhận giá trị là số nguyên. 
Bước 1. Tách phần nguyên. Bước 1. 
Tách tử theo mẫu sao cho A có dạng tổng của một x 1 1 x 1 1 1
 A 1 
số nguyên và một phân số có tử nguyên. x 1 xx 1 1 x 1
 Trang 11