Chuyên đề Số vô tỉ, căn bậc hai số học Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 6. SỐ VÔ TỈ. CĂN BẬC HAI SỐ HỌC 
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 
1. Số vô tỉ 
a) Ví dụ mở đầu: 
Cho hình vuông ABCD cạnh 1 cm. Vẽ hình vuông ACMN . 
Ta có diện tích của hình vuông là x2 
Mặt khác diện tích hình vuông gấp hai lần diện tích hình vuông . Do đó x2 = 2 . 
Người ta chứng minh được là không có số hữu tỉ nào mà bình phương bằng 2 và tính được 
 x = 1,414213562.... Đây là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Ta gọi những số như thế là 
số vô tỉ. 
b) Khái niệm: Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. 
Ví dụ: 2,71828... là số vô tỉ. 
Tập hợp các số vô tỉ được kí hiệu là I . 
2. Khái niệm về căn bậc hai số học 
a) Định nghĩa: Căn bậc hai số học của một số a không âm, kí hiệu là a , là số x không âm 
sao cho xa2 = . 
Như vậy, trong ví dụ trên thì cạnh của hình vuông có diện tích bằng 2cm2 là 2 cm 
Chú ý: Số âm không có căn bậc hai. 
b) Tính chất: Với hai số dương bất kì a và b 
+) Nếu ab= thì ab= và ngược lại. 
+) Nếu ab thì ab và ngược lại. 
3. Tính căn bậc hai số học bằng máy tính cầm tay. 
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI. 
Dạng 1. Tính căn bậc hai. 
I. Phương pháp giải: 
Các phép toán trong tập hợp các số vô tỉ cũng có các tính chất tương tự các phép toán trong tập 
hợp các số hữu tỉ. 
Để thực hiện phép tính có chứa căn bậc 2 , ta có thể làm như sau: 
Bước 1. Tính các giá trị căn bậc hai ( có thể dùng định nghĩa hoặc máy tính) 
Bước 2. Thực hiện đúng thứ tự phép tính. 
II. Bài toán. 
Mức nhận biết 
Bài 1. Tìm căn bậc hai số học của: 
a) 4 . b) −5 c) 0 d) 81 9 25 5 15 64 8
c) 1 == d) 1 == 
 16 16 4 49 49 7
Bài 9. Tính 
a) 1, 44 b) 6, 25 c) 1, 21 d) 1, 96 
Lời giải: 
a) 1,, 44= 1 2 b) 6,, 25= 2 5 c) 1,, 21= 11 d) 1,, 96= 1 4 
Bài 10. Tính 
a) (−5)2 b) (−2)4 c) − 400 d) − 72 
Lời giải: 
a) (−5)2 = 25 = 5 ; b) (−2)4 = 16 = 4 ; 
c) −400 = − 20 ; d) −772 = − 
Mức vận dụng 
Bài 11. Tính 
 2 3
a) (32 ) b) (22 ) c) 3,., 2 0 2 d) 1,, 722− 1 5 
Lời giải: 
 2 32
a) (392 ) = b) (223) ==( 2) 8 
c) 3,.,,, 2 0 2== 0 64 0 8 d) 17,,,,,,22− 15 = 289 − 225 = 064 = 08 
Bài 12. Tính 
 0, 04 0, 36 2
a) b) c) (2,, 8− 0 5) 
 0, 49 2, 25
Lời giải: 
 0, 04 4 2 0, 36 36 6 2 22
a) == b) = = = c) (2,,,, 8− 0 5) =( 2 3) = 2 3 
 0, 49 49 7 2, 25 225 15 5
Bài 13. Thực hiện phép tính: 
a) A =49 − 25 +( − 1)2 b) B =36 −( − 3)2 + 16 
Lời giải: 
 a) b) 
 A =7 − 5 + 1 B =6 − 3 + 4 
 A = 3 B = 7 
 1
Bài 14. Thực hiện phép tính: A..=36 3 16 − + 2 
 9
Lời giải: 
 b) Độ dài cạnh của hình vuông có diện tích 625m2 là: 625= 25 m 
Bài 19. Để lát sân gạch có diện tích 100m2 , người ta đã dùng vừa đủ 1600 viên gạch hình vuông 
cùng cỡ. Hỏi mỗi viên gạch có độ dài cạnh là bao nhiêu, biết rằng diện tích các mạch ghép là 
không đáng kể? 
Lời giải: 
Diện tích mỗi viên gạch là : 100:1600= 0,0625 m2 
Đổi 0,0625m22= 625 cm 
Độ dài cạnh của mỗi viên gạch là : 625= 25 cm 
Bài 20. Chứng minh rằng 5 là số vô tỉ. 
Lời giải: 
 m
Giả sử là số hữu tỉ. Khi đó 5 = với (mn,1) = ; mn, * 
 n
Suy ra : mn22= 5 
 m2 5 
 m 5 
Đặt mk= 5 ( k ). Ta có mk22= 25 . Do đó 5nk22= 25 
 =nk225 
 n2 5 
Mà 5 là số nguyên tố nên n 5 
 m
Suy ra chưa tối giản, trái với giả thiết . 
 n
Vậy không là số hữu tỉ, hay là số vô tỉ. 
Dạng 2. Tìm x 
I. Phương pháp giải: Ta sử dụng các tính chất sau: 
+) Nếu xa= thì xa= 2 (với a 0) 
+) Nếu xa2 = (với ) thì xa= hoặc xa=− và ngược lại. 
II. Bài toán. 
Mức nhận biết 
Bài 1. Tìm không âm biết: 
a) x = 4 b) x = 5 
Lời giải: 
 a) x = 4 b) 
 =x 42 =x 52 
 =x 16 ( thoả mãn ) =x 25 ( thoả mãn ) 
Bài 2. Tìm , biết: a) x2 −=10 0 b) 64−=x2 0 
Lời giải: 
 a) b) 
 =x2 10 =x2 64 
 =x 10 hoặc x =− 10 =x 64 hoặc x =− 64 
 =x 8 hoặc x =−8 
Bài 8. Tìm biết: 
a) x +=12 Với x −1 b) x −=13 Với x 1 
Lời giải: 
 a) x +=12 Với b) Với 
 x +14 = x −19 = 
 =x 3( thoả mãn ) =x 10 ( thoả mãn ) 
Bài 9. Tìm biết: 
a) ( x +=1)2 49 b) ( x −=3)2 81 
Lời giải: 
 a) b) 
 x +17 = hoặc x +17 = − x −39 = hoặc x −39 = − 
 =x 6 hoặc x =−8 =x 12 hoặc x =−6 
Bài 10. Tìm biết: 
 3 1
a) x −=1 Với x 1 b) 3−=x Với x 3 
 2 2
Lời giải: 
 a) Với b) Với 
 2 1
 3 3 −x = 
 x −1 = 
 2 4
 9 1
 x −1 = x =3 − 
 4 4
 13 11
 =x ( thoả mãn ) =x ( thoả mãn ) 
 4 4
 x
Mức vận dụng 
Bài 11. Tìm biết: 
 2 4
a) −x +10 = Với x −1 b) 10−x − = Với x 1 
 3 5
Lời giải: 
 a) Với b) Với 
 2 4
 x +1 = 1 −x = 
 3 5
 4 16
 x +1 = 1 −x = 
 9 25
 4 16
 x = −1 x =1 − 
 9 25 5 5 1 1
a) −=21x b) x −= 
 4 12 6 3
Lời giải: 
 a) b) 
 5 5 1 1
 21x = − x = + 
 4 12 3 6
 1 51
 =2 x =x 
 4 12 2
 1 15
 =x :2 =x : 
 4 2 12
 1 6
 =x =x 
 8 5
 1 36
 =x ( thoả mãn ) =x ( thoả mãn ) 
 64 25
Mức vận dụng cao 
Bài 16. Tìm biết: 
 65 26
a) −13x − 1 = Với x 1 b) x +71 + = Với x −7 
 7 21 55
Lời giải: 
 65
 a) −13x − 1 = Với b) Với 
 7 21
 65 26
 13x − 1 = − x +71 + = 
 7 21 55
 13 26
 13x − 1 = x +71 = − 
 21 55
 1 21
 x −1 = x +7 = 
 21 55
 1 1
 x −1 = x +7 = 
 441 2
 442 1
 =x ( thoả mãn ) x +7 = 
 441 4
 −27
 x =x ( thoả mãn ) 
 4
Bài 17. Tìm , biết: 
 2
 2 5
a) 5( 1−x) + 7 = 12 b) 10− 4 x + = 1 
 7
Lời giải: 
 a) 
 b) 
 5( 1 −x)2 = 5 
 2
 2 5
 (11 −x) = 49 x + = 
 7
 11 −x = hoặc 11−x = − 2
 59
 =x 0 hoặc x = 2 x + = 
 74
 53 53
 x + = hoặc x + = − 
 72 72