Chuyên đề So sánh Toán 6

 HSG TOÁN 6 
 CHUYÊN ĐỀ .SO SÁNH 
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT 
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH 2 LŨY THỪA. 
I. Phương pháp 1: 
Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ. 
- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. 
aamn a 1 mn 
- Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0 ) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn. 
abnnn 0 ab 
II. Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân 
ab và bc thì ac 
a. c bc . c 0 ab 
II. CÁC DẠNG TOÁN 
Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa. 
Dạng 1. III. BÀI TẬP 
Bài 1: So sánh các số sau đây: 
a) 1619 và 825 c) 2711 và 818 e) 7.213 và 216 
b) 523 và 6.522 d) 6255 và 1257 f) 19920 và 200315 
Phân tích: 
Đưa cả hai lũy thừa về cùng cơ số, so sánh hai số mũ, lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn. 
Lời giải 
a) và 
 1 
 HSG TOÁN 6 
Ta có: 5300 (5 3 ) 100 125 100 và 3500 (3 5 ) 100 243 100 
nên 53300 500 (vì 125 243 125100 243 100 ) 
b) 339 và 1121 
Ta có: 3 393 40 (3 4 ) 10 81 10 và 1121 11 20 (11 2 ) 10 121 10 
nên 339 11 21 (vì 8120 121 10 ) 
 1 1
c) và 
 221 535
Ta có: 221 (2 3 ) 7 8 7 và 535 (5 5 ) 7 3125 7 
nên: 2521 35 ( do 877 3125 ) 
 11
Suy ra: 
 2521 35
d) 32n và 23n n * 
 n n
Ta có: 322nn 3 9 và 233nn 2 8 nên: 3223nn (vì 98nn) 
e) 23430 30 30 và 3.2410 
Ta có: 430 2 30 .2 30 (2 3 ) 10 .(2 2 ) 15 8 10 .4 15 8 10 .3 15 8 10 .3 10 .3 (8.3) 10 .3 24 10 .3 
nên:230 3 30 4 30 3.24 10 
f) 111979 và 371320 
Ta có: 
 660 660
111979 11 1980 11 3 1331 660 và 371320 37 2 1369 660 
nên 111979 37 1320 (vì 1331660 1369 660 ) 
 3 
 HSG TOÁN 6 
nên: 10750 73 75 ( vì 2100 .3 150 2 225 .3 150 ) 
e) 291 và 535 
 18
Ta thấy: 291 2 90 2 5 32 18 
 18
và 535 5 36 5 2 25 18 
nên: 2591 35 (do 291 32 18 25 18 5 35 ) 
f) 199010 1990 9 và 199110 
Ta có: 199010 1990 9 1990 9 1990 1 1991.1990 9 
và: 199110 1991.1991 9 
nên 199009 1990 10 1991 10 (do199099 1991 ) 
Bài 4: So sánh các số sau 
a) 11022009 1102 2008 và 11022008 1102 2007 
b) A 20072007 2007 2008 và B 20082009 
Lời giải 
a) và 
Ta có: 11022009 1102 2008 1102 2008 1102 1 1102 2008 .1101 
và 11022008 1102 2007 1102 2007 1102 1 1102 2007 .1101 
suy ra: 11022008 .1101 1102 2007 .1101 
 5 
 HSG TOÁN 6 
b) 251995 863 
Ta có: 215 32468 5 7 78125 
 1993 13951863 12945 1995 863
và: = nên 21995 2 1515 5 7 7 5 863 
 15 1057 10 5
Vậy: 
Bài tập 7: Viết theo từ nhỏ đến lớn: 2100 ;375 và 550 
Lời giải 
Ta có: 
2100 (2 4 ) 25 16 25
 25
375 3 3 27 75 2 100 5 50 3 75 
550 (5 2 ) 25 25 25
Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với 1 số (so sánh hai biểu thức lũy thừa) 
 1315 1 1316 1
Bài 1: So sánh biểu thức A và B 
 1316 1 1317 1
Lời giải 
 13.(1315 1) 13 16 13 13 16 1 12 12
Ta có: 13A 1 
 1316 1 13 16 1 13 16 1 13 16 1
 1316 1 13.(13 16 1) 13 17 13 13 17 1 12 12
và 13B 1 
 1317 1 13 17 1 13 17 1 13 17 1 13 17 1
 12 12 12 12
Vì 11 nên 13AB 13 
 1317 1 13 16 1 1317 1 13 16 1
Vậy AB 
 10100 1 1098 1
Bài 2: So sánh biểu thức A và B 
 1099 1 1097 1
Lời giải 
 7 
 HSG TOÁN 6 
 1 1 1 1
Bài 5: So sánh biểu thức A .... và B 1 
 22 3 2 4 2 100 2
Lời giải 
 1 1 1 1
Ta có: 
 22 2.1 1 2
 1 1 1 1
32 2.3 2 3
 1 1 1 1
42 3.4 3 4
.. 
 1 1 1 1
1002 99.100 99 100
Lấy vế cộng vế ta có 
 111 1111111 11 199
A .... ... 1 1 
 22 3 2 4 2 100 2 1 2 2 3 3 4 99 100 100 100
Vậy: AB 
Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừ tìm cơ số (số mũ) chưa biết 
Bài 1. Tìm x biết 25 5x 125. 
Lời giải 
Ta có: 25 5xx 3125 525 5 5 2x 5 . 
Do x nên x 3;4 . 
Bài 2. Tìm x biết 27 9x 81. 
Lời giải 
Ta có: 279xx 243 33 3 2 3 5 32x 5 . 
 9 
 HSG TOÁN 6 
 553x 3 18
 3x 3 18 . 
 x 5
Vậy x 0;1;2;3;4;5 
DẠNG 4: Một số bài toán khác. 
Bài 1: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng ba chữ số 1 ; 2 ; 3 với điều kiện mỗi chữ số dùng một 
lần và chỉ một lần ? 
Lời giải 
1. TH không dùng luỹ thừa : Số lớn nhất viết đựơc là 321 
2. TH có dùng luỹ thừa : (Bỏ qua TH cơ số hoặc số mũ bằng 1 và các luỹ thừa tầng vì các giá trị 
này quá nhỏ so với 321) 
* Xét các luỹ thừa có số mũ một chữ số đươc 4 số : 132 ,312 ,123,213 = 213 312 
* Xét các luỹ thừa mà số mũ có hai chữ số được 4 số : 213 ,231,312 ,321 
 21
=> 321 = 3.320 = 3.(32 )10 = 3.910 &231 = 2.230 = 2(23 )10 = 2.810 = 231 3 
So sánh 321 và 213= 3 21 3 9 = (3 3 ) 3 = 27 3 21 3 
Vậy số lớn nhất là 321 . 
Bài 2: 
a. Số 58 có bao nhiêu chữ số ? 
b. Hai số 22003 và 52003 viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số? 
Lời giải 
Bài 1. Phương pháp: So sánh lũy thừa với một số luỹ thừa của 10, từ đó lập luận tìm số chữ số của 
số đó. 
a. 
 11 
 HSG TOÁN 6 
Lời giải 
Ta có: 2m− 2 n = 2562 =88 = 2(2 n m− n − 1)2 = ( 1) 
Dễ thấy mn , ta xét 2 trường hợp: 
Trường hợp 1: Nếu mn−=1 thì từ (1) ta có: 
2nn .(2− 1) = 288 2 = 2 n = 8 và m = 9 . 
Trường hợp 2: Nếu mn− 2 
 −21mn− là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tích ra 
thừa số nguyên tố, còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2, do đó hai vế của (1) mâu thuẫn 
nhau. 
Vậy n = 8 và m = 9 là đáp số duy nhất. 
CHỦ ĐỀ 2: SO SÁNH PHÂN SỐ 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
- Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn 
- Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu 
dương rồi so sánh các tử lại với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn 
Từ lý thyết cơ bản ta rút ra nhận xét sau: 
- Phân số có tử và mẫu là 2 số nguyên cùng dấu thì lớn hơn 0. 
- Phân số có tử và mẫu là 2 số nguyên khác dấu thì nhỏ hơn 0. 
- Hai phân số có cùng mẫu âm, phân số nào có tử lớn hơn thì nhỏ hơn và ngược lại 
II. CÁC DẠNG TOÁN 
PHƯƠNG PHÁP 1: Quy đồng mẫu dương 
Ví dụ 1: So sánh các phân số sau 
 13 
 HSG TOÁN 6 
1− 396 7− 462 −1 36
 = = =
3− 1188 18− 1188 33− 1188 
Mà − 1188 0 và −495 − 462 − 396 36 594 836 
 19 1 −1 1 7 5
Nên 
 −27 −2 33 3 18 12
 21ab
Ví dụ 5: Tìm hai số nguyên ab, sao cho 
 −21 − 9 − 7 − 3
Lời giải 
 6 7ab 9 21
 6 7ab 9 21 
 hay −−−−63 63 63 63 suy ra 
Vậy: a = 1, b = 1 hoặc a = 1, b = 2 hoặc a = 2, b = 2 
PHƯƠNG PHÁP 2: Quy đồng tử dương 
Ví dụ 1: So sánh các phân số: 
 17 51 ; −4 −3;
a) −21và −31 b) 9 và 13 
Lời giải 
 51 51 51 17 51
a);17 = 
 −21
 −63 − 63 − 31 − 21 − 31 
 −4 12 − 3 12 12 12 − 4 − 3
b);;= = 
 9− 27 13 − 52 − 27 − 52 9 13 
Ví dụ 2: So sánh các phân số: 
 7 5
a) và b) −4 và 3 
 421 531 93 −134
Lời giải 
 15