Chuyên đề Số nguyên tố và số chính phương - Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ VÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 
 A, LÝ THUYẾT 
1, Số nguyên tố: 
Tìm các ước của 2; 3; 4; 5; 6 
Các số 2; 3; 5 chỉ có hai ước là 1 và chính nó nên gọi là số nguyên tố, còn 4 và 6 có nhiều hơn hai ước nên gọi 
là hợp số 
Đ/N: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó 
 Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước 
Chú ý: Số 0, 1 không là số nguyên tố cũng không là hợp số 
 Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhât, các số nguyên tố còn lại đều là số lẻ 
Các số nguyên tố < 20 là 2; 3; 5;7; 11; 13; 17; 19 
 B, LUYỆN TẬP 
 DẠNG 1: TÌM SỐ NGUYÊN TỐ 
Bài 1: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số: 
a, 3.4.5+6.7 b, 5.7.9.11-2.3.4.7 c, 3.5.7+11.13.17 d, 16354+67541 
HD: 
 a, Ta có: 3.4.5+ 6.7 = 3( 4.5 + 2.7) 3, Vậy tổng trên là hợp số 
 b, Ta có: 5.7.9.11− 2.3.4.7 = 7( 5.9.11 − 2.3.4) 7, Vậy tổng trên là hợp số 
 c, Ta có : 16354+ 67541 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, Vậy tổng trên là hợp số 
Bài 2: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số: 
a, 5.6.7+8.9 b, 5.7.9.11.13-2.3.7 c, 5.7.11+13.17.19 d, 4253+1422 
HD : 
 a, Ta có : 5.6.7+ 8.9 = 3( 5.2.7 + 8.3) 3 , Vậy tổng trên là hợp số 
 b, Ta có : 5.7.9.11.13− 2.3.7 = 7( 5.9.11.13 − 2.3) 7 , Vậy tổng trên là hợp số 
 c, Ta có : 5.7.11 là 1 số lẻ, và 13.17.19 cũng là 1 số lẻ, Nên tổng là số chẵn 2=> Là hợp số 
 d, Ta có : 4253+ 1422 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, Vậy tổng trên là hợp số 
Bài 3: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số: 
a, 17.18.19.31+11.13.15.23 b, 41.43.45.47+19.23.29.31 c, 987654+54321 
HD : 
 a, Ta có: 17.18.19.31+ 11.13.15.23 = 3( 17.6.19.31 + 11.13.5.23) 3 , là hợp số 
 b, Ta có: 41.43.45.47 là số lẻ, 19.23.29.31 là số lẻ, nên tổng là số chẵn nên là hợp số 
 c, Ta có : 987654+ 54321 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, là hợp số 
Bài 4: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số: 
a, 5.31.19.101+62.131.1989.17 b, 23.161.121.19-13.157.22.17 c, 123456789+729 
Bài 5: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số: 
a, 5.7.8.9.11-132 b, 4.5.6+9.13 c, 7.11.13-5.6.7 d, 17.19.23+23.25.27 
Bài 6: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số: 
a, 11.13.17-121 b, 15+3.40+8.9 c, 5.7.9-2.5.6 d, 90.17-34.40+12.51 
Bài 7: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số: 
a, 2010+4149 b, 5+ 5234 + 5 + 5 c, 7.8.9.10-2.3.4.5 d, 200722+ 2010 
HD : 
 d, Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 
Bài 8: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số: 1.2.3. n + 1 
HD : 
 Xét n =3 = 1.2.3 + 1 = 7 là số nguyên tố 
 Xét n =4 = 1.2.3.4 + 1 = 25 là hợp số. Vậy không kết luận được 
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 1 
Bài 20: Các số sau đây là số nguyên tố hay hợp số: 
a, 1111(2000 số 1) b, 1010101 c, 311141111 
HD: 
 a, Số 111....1 (2000 số 1) chia hết cho 11 nên là hợp số 
 b, Số 1010101= 101.10001 101 nên là hợp số 
 c, Số 311141111=+ 311110000 31111 chia hết cho 31111 nên là hợp số 
Bài 21: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 
a, nn2 +12 là số nguyên tố b, 36n + là số nguyên tố 
HD : 
 a, Ta có : n2 +12 n = n( n + 12) , Vì n+12 1 = n( n + 12) có thêm 2 ước là n và n+2 
 Để nn( +12) là số nguyên tố thì n=1 = n2 + 12 n = 13 (thỏa mãn) 
 b, Nếu n =0 = 3n + 6 = 7 là số nguyê tố 
 Nếu n 0 = 3n + 6 3 là hợp số 
Bài 22: Tìm số nguyên tố p sao cho: 
a, p+2, p+4 cũng là số nguyên tố b, p+10, p+14 là số nguyên tố 
HD : 
 a, Giả sử với p = 2 là số nguyên tố => p +=24 là hợp số pl= 2( ) 
 Với p = 3 là số nguyên tố = pp +2 = 5, + 4 = 7 đều là số nguyên tố=> p= 3/( t m) 
 Với p 3 = p = 3 k + 1, p + 3 k + 2,( k N ) 
 Nếu pk=+31 giả sử là số nguyên tố = pk +2 = 3 + 1 + 2 3 là hợp số => p=+31 k( l) 
 Nếu pk=+32 giả sử là số nguyên tố => pk+4 = 3 + 2 + 4 3 là hợp số=> p=+32 k( l) 
 Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm 
 b, Giả sử với p = 2 là số nguyên tố = p +10 = 12 2 là hợp số = pl = 2( ) 
 Với p = 3 là số nguyên tố = pp +10 = 13, + 14 = 17 đều là số nguyê tố = p = 3/( t m) 
 Với p 3 = p = 3 k + 1, p = 3 k + 2,( k N ) 
 Nếu pk=+31 giả sử là số nguyên tố = pk +14 = 3 + 1 + 14 3 là hợp số = p =31 k + ( l) 
 Nếu pk=+32 giả sử là số nguyên tố = pk +10 = 3 + 2 + 10 3 là hợp số = p =31 k + ( l) 
 Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm 
Bài 23: Tìm số nguyên tố p sao cho: 
a, p+2, p+6, p+8, p+14 cũng là số nguyên tố b, p+6, p+8, p+12, p+14 cũng là số nguyên tố 
HD : 
 a, Giả sử với p = 2 là số nguyên tố => p +=2 4 2 là hợp số=> pl= 2( ) 
 Với p = 3 là số nguyên tố = p +6 = 9 3là hợp số=> pl= 3( ) 
 Với p = 5 là số nguyên tố => p+2 = 7, p + 6 = 11, p + 8 = 13, p + 14 = 19 đều là số nguyên tố 
 Với p = =+5 pkpkpkpk 5 1, =+ 5 2, =+ 5 3, =+ 5 4,( kN ) 
 Nếu pk=+51 giả sử là số nguyên tố = pk +14 = 5 + 1 + 14 5 là hợp số = p =51 k + ( l) 
 Nếu pk=+52 giả sử là số nguyên tố = pk +8 = 5 + 10 5 là hợp số = p =51 k + ( l) 
 Nếu pk=+53 giả sử là số nguyên tố = pk +2 = 5 + 3 + 2 5 là hợp số = p =53 k + ( l) 
 Nếu pk=+54 giả sử là số nguyên tố = pk +6 = 5 + 4 + 6 5 là hợp số = p =54 k + ( l) 
 Vậy p=5 là số nguyên tố cần tìm 
Bài 24: Tìm số nguyên tố p sao cho: 
a, p+4, p+8 cũng là số nguyên tố b, p+94, p+1994 cũng là số nguyên tố 
HD : 
 b, Giả sử với là số nguyên tố => p +=94 96 là hợp số 
 Với là số nguyên tố = pp +94 = 97, + 1994 = 1997 đều là số nguyên tố=> 
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 3 
Bài 30: Tìm số nguyên tố k để 5k là số nguyên tố 
HD : 
 Thấy 5k luôn có 2 ước là 1 và chính nó 
 Nên kk 15 = là hợp số 
 Để 5k là số nguyên tố thi k=1 
Bài 31: Tìm số nguyên tố p sao cho 5p+7 là số nguyên tố 
HD : 
 Nhận thấy p = 2 là số nguyê tố, và 5p += 7 17 cũng là số nguyên tố 
 Ngoài p = 2 thì p chỉ có thể là p=2 k + 1,( k N ) 
 Nếu p=2 k + 1 = 5 p + 752 =( k + 1) + 710 = k + 122 là hợp số, nên p=+21 k( l) 
 Vậy p=2 là số nguyên tố cần tìm 
Bài 32: Tìm số tự nhiên k để 11k cũng là số nguyên tố 
Bài 33: Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n (n>1) luôn tìm được n số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số 
HD : 
 Chọn số tự nhiên a=+2.3.4.... n .( n 1) 
 Khi đó ta có n số tự nhiên liên tiếp là a+2, a + 3, a + 4,....., a + n , a +( n + 1) đều là hợp số 
 Vì n số trên lần lượt chia hết cho 2,3,4,....,nn ,+ 1 
Bài 34: Tìm 2002 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số 
HD : 
 Chọn a = 2.3.4.....2002.2003 
 Khi đó ta có 2002 số tự nhiên liên tiếp là a+2, a + 3, a + 4,...., a + 2002, a + 2003 đều là hợp số 
 Vì 2002 số trên lần lượt chia hết cho 2,3,4,....,2002,2003 
Bài 35: Tìm các số nguyên tố a sao cho 6a+13 là số nguyên tố và 25 6a + 13 45 
HD : 
 Ta có : Từ 25 đến 45 có 5 số nguyên tố là : 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 
 Nên ta có bảng sau : 
 6a+13 29 31 37 41 43 
 a 3 4 5 
 Mà a là số nguyên tố nên a = 4 (loại) 
Bài 36: Tìm các số nguyên tố a để 2a+7 là các số nguyên tố <20 
Bài 37: Tìm 1 số nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố 
HD : 
 Gọi số nguyên tố cần tìm là p, Nhận thấy p>2 
 Vì p vừa là tổng vừa là hiệu của 2 số nguyên tố nên trong đó phải có 1 số nguyên tố chẵn, 
 Như vậy số chẵn là 2,Khi đó ta có : 
 p= a +22 = b − ( với a, b là các số nguyên tố) 
 = a = p −2, p , b = p + 2 là 2 số lẻ liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3, vậy phải có 1 số bằng 3 
 Nếu a=3 = p = 5, b = 7 
 Nếu p=31 = a = ( l) 
 Nếu b=31 = p = ( l) 
 Vậy số nguyên tố cần tìm là 5 
Bài 38: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 4p+11 là số nguyên tố <30 
Bài 39: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố 
Bài 40: Tìm ba số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng 
Bài 41: Tìm các số nguyên tố a,b,c sao cho a.b.c = 3(a +b+c) 
Bài 42: Tìm số nguyên tố p sao cho p2 +23 có đúng 6 ước dương 
HD: 
 Đặt A= p2 +23( p 2) = A 27, Để A có 6 ước thì 6=2.3=> A= axy. b = ( x + 1)( y + 1) = 6 
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 5 
 DẠNG 2: CHỨNG MINH LÀ HỢP SỐ 
Bài 1: Cho p và 8p-1 là số nguyên tố, chứng minh rằng 8p+1 là hợp số 
HD: 
 Nhẩm thấy p = 3 là số cần tìm 
 Đặt p=3 a + r( r = 0;1;2) 
 Nếu r=03 = p = a là số nguyên tố nên a=1 = p = 3,8 p − 1 = 23 là các số nguyên tố, 
 Thỏa mãn điều kiện đầu bài, Khi đó 8p += 1 25 là hợp số (đpcm) 
 Nếu r=1 = p = 3 a + 1 giả sử là số nguyên tố 
 và 8p− 1 = 8( 3 a + 1) − 1 = 24 a + 7giả sử cũng là số nguyên tố, khi đó: 
 8p+ 1 = 8( 3 a + 1) + 1 = 24 a + 9 3 là hợp số(đpcm) 
 Nếu r=2 = 8 p − 183 =( a + 2) − 124 = a + 153 là hợp số nên rl= 2( ) 
Bài 2: Chứng minh rằng: nếu p là số nguyên tố >3 và 2p+1 là số nguyên tố thì 4p+1 là hợp số 
HD: 
 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p=3 k + 1, p = 3 k + 2( k N ) 
 Nếu pk=+31 là số nguyên tố = 2p + 1 = 6 k + 3 3( l) 
 Nếu pk=+32 là số nguyên tố = 2pk + 1 = 6 + 5 giả sử cũng là số nguyên tố, 
 Khi đó : 4pk+ 1 = 12 + 9 3 là hợp số, (đpcm) 
Bài 3: Cho p là số nguyên tố >3, biết p+2 cũng là số nguyên tố, cmr p+1 chia hết cho 6 
HD : 
 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3, nên p=3 k + 1, p = 3 k + 2,( k N * ) 
 Nếu pk=+31 giả sử là số nguyên tố = p +2 = 3 k + 3 3( l) 
 Nếu pk=+32 giả sử là số nguyên tố = pk +2 = 3 + 4 giả sử cũng là số nguyên tố, 
 Khi đó : p+1 = 3 k + 3 = 3( k + 1) 3 
 Mà p nguyên tố nên 32k + là số lẻ = 3k là số lẻ =>3k là số lẻ=> k là số lẻ=> k+1 là số chẵn 
 = 3(k + 1) 6 (đpcm) 
Bài 4: Cho p và p+4 là số nguyên tố lớn hơn 3, cmr p+8 là hợp số 
HD : 
 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3, nên p có dạng p=3 k + 1, p = 3 k + 2,( k N * ) 
 Nếu p=3 k + 2 = p + 4 = 3 k + 6 3 là hợp số (loại) 
 Nếu pk=+31 giả sử là số nguyên tố = pk +4 = 3 + 5 giả sử cũng là số nguyên tố, 
 Khi đó : pk+8 = 3 + 9 3 là hợp số (đpcm) 
Bài 5: Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 8p2 +1 là 2 số nguyên tố thì 8p2 -1 là hợp số 
HD : 
 Vì pp,82 + 1 là 2 số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3 
 Khi đó ta có : 8p2−+ 1;8 p 2 ;8 p 2 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3 
 Mà 8p22+ 1 3, p  3 = 8 p  3 , Vậy 8p2 − 1 3 hay là hợp số 
Bài 6: Chứng minh rằng nếu p và p+2 là hai số nguyên tố >3 thì tổng của chúng chia hết cho 12 
HD : 
 Đặt A= p +( p +2) = 2 p + 2 = 2( p + 1) 
 Và pp+2 = − 1 + 3 
 Xét 3 số liên tiếp p−+1, p , p 1 phải có 1 số chia hết cho 3 
 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3, nên p không chia hết cho 3, 
 Mặt khác p −13 vì nếu chia hết cho 3 thì p + 2 sẽ chia hết cho 3, như vậy pp+1 3 = 2( + 1) 3 
 Lại có p là số nguyên tố >3 nên p lẻ = p +1 là số chẵn 2 
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 7