Chuyên đề Số nguyên tố - Toán Lớp 6

 CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ 
BỒI DƯỠNG HSG TOÁN THCS
 4 
 Nếu n là hợp số: Giả sử có 2 cách phân tích n ra thừa số nguyên tố khác nhau: 
 n = p.q.r.... 
 n = p’.q’.r’.... 
 Trong đó p, q, r ..... và p’, q’, r’.... là các số nguyên tố và không có số nguyên tố nào 
 cũng có mặt trong cả hai phân tích đó (vì nếu có số thoả mãn điều kiện như trên, ta có thể 
 chia n cho số đó lúc đó thường sẽ nhỏ hơn n, thương này có hai cách phân tích ra thừa số 
 nguyên tố khác nhau, trái với giả thiết của quy nạp). 
 Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết p và p’ lần lượt là các số nguyên tố nhỏ 
 nhất trong phân tích thứ nhất và thứ hai. 
 Vì n là hợp số nên n’ > p2 và n > p’2 
 Do p = p’ => n > p.p’ 
 Xét m = n - pp’ < n được phân tích ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất ta 
 thấy: 
 p | n => p | n – pp’ hay p | m 
 p’| n => p’| n – pp’ hay p’| m 
 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố ta có: 
 m = n - pp’ = pp’ . P.Q ... với P, Q ∈ P ( P là tập các số nguyên tố) 
  pp’ | n = pp’ | p.q.r ... => p’ | q.r ... => p’ là ước nguyên tố của q.r ... 
 (Chú ý: kí hiệu p | n là n chia hết cho p) 
 Mà p’ không trùng với một thừa số nào trong q,r ... (điều này trái với gỉa thiết quy 
 nạp là một số nhỏ hơn n đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất). 
 Vậy, điều giả sử không đúng, n không thể là hợp số mà n phải là số nguyên tố 
 (Định lý được chứng minh). 
 III/ CÁCH NHẬN BIẾT SỐ NGUYÊN TỐ 
 Cách 1: 
 Chia số đó lần lượt cho các nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; 7... 
 Nếu có một phép chia hết thì số đó không nguyên tố. 
 Nếu thực hiện phép chia cho đến lúc thương số nhỏ hơn số chia mà các phép chia 
 vẫn có số dư thì số đó là nguyên tố. 
 Cách 2: 
 Một số có hai ước số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố 
 Cho học sinh lớp 6 học cách nhận biết 1 số nguyên tố bằng phương pháp thứ nhất 
 (nêu ở trên), là dựa vào định lý cơ bản: 
 Ước số nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số a là một số khôngvượt quá a . 
 6 
 VI/ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐẶC BIỆT 
 1) Định lý Đirichlet 
 Tồn tại vô số số nguyên tố p có dạng: 
 p = ax + b (x ∈ N, a, b là 2 số nguyên tố cùng nhau). 
 Việc chứng minh định lý này khá phức tạp, trừ một số trường hợp đặc biệt. 
 Ví dụ: Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố dạng: 2x – 1; 3x – 1; 4x + 3; 6x + 5..... 
 2) Định lý Tchebycheff 
 Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có ít nhất một số nguyên tố 
 (n > 2). 
 3) Định lý Vinogradow 
 Mọi số lẻ lớn hơn 33 là tổng của 3 số nguyên tố. 
 Các định lý 2 và 3 ta có thể giới thiệu cho học sinh tham khảo và sử dụng để giải 
 một số bài tập. 
 B/ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 
 Dạng 1: Sử dụng phương pháp phân tích thành thừa số 
 Bài 1. Tìm n∈ N* để: 
 a) n4 + 4 là số nguyên tố. b) n2003+n 2002 +1 là số nguyên tố. 
 Lời giải 
 a) Ta có: 
 n4+4(=n4+4n2+4)4−n2=(n2+2)2−(2)n2=(n2+22)(+nn2+22)− n. 
 Nếu n4 + 4 là số nguyên tố thì n2 −2n+21=⇔n= 1. 
 Thử lại: Với n =1 thì n4 +45= là số nguyên tố. 
 Vậy, với n=1 thì n4 + 4 là số nguyên tố. 
 b) Ta có: n2003+n 2002+1=nn 2(2001 −1)+nn (2001 −1)+n2 +n+ 1 . 
 Với n >1 ta có: 
 2001− 3−2 ++ 2003+ 2002 +2 ++ 2 ++>
 n1n1nn1 do đó: (nn1)(nn1) và nn11 nên 
 n2003+n 2002 +1 là hợp số. 
 Với n = 1 thì n2003+n 2002 +13= là số nguyên tố. 
 Bài 2. 
 a) Tìm các số nguyên số p để 2p + 1 là lập phương của một số tự nhiên. 
 b) Tìm các số nguyên tố p để 13p + 1 là lập phương của một số tự nhên. 
 Lời giải 
 a) Giả sử 2p+1=n3 (với n∈ N); n là số lẻ nên n=2m+1 ( m∈ N), khi đó 
 2p+1= (2m+ 1)3⇒p=m (4m2+ 6m+3) . 
 8 
 Suy ra 12+n+ 4n là hợp số. 
 Vậy m = 1 tức là n = 3k. 
 Bài 6. Cho abcd,,,∈ N * thỏa mãn ab= cd . Chứng minh rằng: A=an+bn+cn+dn là hợp 
 số với mọi n∈ N. 
 Lời giải 
 Giả sử (a, b) = t, khi đó: a=ta1, c= tc1 với (,)1ac11= . 
 Từ ab = cd suy ra ab1= cd1⇒ b c1. 
 Đặt: b=kc1⇒ cd1= a1. kc1⇒ d=ka1. 
 nnnnnnnn nn nnnnnn
 Khi đó: A=a+b+c+d=ta1+kc1+tc1+ka1=(k+ta)(1+c1) . 
 Vì ktac,,,11∈ N* nên A là hợp số. 
 nn(+1)
 Bài 7. Tìm tất cả các số nguyên tố p dạng −1 ( n ≥1). 
 2
 Lời giải 
 Ta có: 
 nn(+1) n2 +n−2(n−1)(n+ 2)
 p =−1 == . 
 222
 Với n = 2 ta có p = 2. 
 Với n = 3 ta có p = 5. 
 n 1
 Với n > 3 thì 1và n+2 >1 nên p là hợp số. 
 2
 nn(+1)
 Vậy với n = 2, n = 3 thì p là số nguyên tố có dạng −1. 
 2
 ab
 Bài 8. Tìm tất cả các số có hai chữ số ab sao cho là số nguyên tố. 
 ab−
 Lời giải 
 Vì a,b có vai trò như nhau nên có thể giả sử a > b. 
 ab
 Giả sử = p với p là số nguyên tố.* 
 ab−
 Suy ra ab p⇒ a p hoặc bp ⇒ p∈{2,3,5,7}. 
 a+p=p2a=p2−p
 Từ * ta có ab = ap - bp (a+ppb)(−) = p2 ⇔⇔ 
 pb−=1 b=p−1
 Với p = 2 ta có ab = 21 hoặc ab =12 . 
 Với p = 3 ta có ab = 62 hoặc ab = 26 . 
 Với p = 5 và p = 7 ta có a có 2 chữ số (loại). 
 Vậy các số ab cần tìm là 12, 21, 26, 62. 
 10 
 Ví dụ minh họa: 
 Bài 1. Tìm tất cả số nguyên tố p sao cho p + 2 và p + 4 là các số nguyên tố. 
 Lời giải 
 Với p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 không phải là các số nguyên tố. 
 Với p = 3 thì p + 2 = 5 và p + 4 = 7 là các số nguyên tố. 
 Với p > 3 mà p là số nguyên tố nên p có dạng p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 
 Nếu p=3k+1 thì p+23=k+3= 33( k+ 1) 3 không là số nguyên tố. 
 Nếu p = 3k + 2 thì p+43=k+ 633=( k+23) không là số nguyên tố; 
 Vậy với p = 3 thì p + 2 và p + 4 là số nguyên tố. 
 Bài 2. Tìm tất cả số nguyên tố p sao cho p + 2; p + 6; p + 8; p + 14 đều là các số nguyên tố. 
 Lời giải 
 Trường hợp 1: p = 5k mà p nguyên tố nên p = 5, khi đó: 
 p + 2 = 7; p + 6 = 11; p + 8 = 13; p + 14 = 19 đều là số nguyên tố nên p = 5 thỏa mãn bài toán. 
 Trường hợp 2: p = 5k + 1, khi đó: p + 14 = 5k + 15 = 5(k + 3) có ít nhất là 3 ước 1, 5 và (p + 14) 
 nên p + 14 không là số nguyên tố. 
 Vậy với p = 5k + 1 không có tồn tại p nguyên tố thỏa mãn bài toán 
 Trường hợp 3: p = 5k + 2, khi đó: p + 8 = 5k + 10 = 5(k + 2) có ít nh ất là 3 ước 1, 5 và (p + 10) 
 nên p + 10 không là số nguyên tố. 
 Vậy với p = 5k + 2 không có tồn tại p nguyên tố thỏa mãn bài toán 
 Trường hợp 4: p = 5k + 3, khi đó: p + 2 = 5k + 5 = 5(k + 1) có ít nh ất là 3 ước 1, 5 và (p + 2) 
 nên p + 2 không là số nguyên tố. 
 Vậy với p = 5k + 3 không có tồn tại p nguyên tố thỏa mãn bài toán 
 Trường hợp 5: p = 5k + 4, khi đó : p + 6 = 5k + 10 = 5(k + 2) có ít nhất là 3 ước 1, 5 và (p + 6) 
 nên p + 6 không là số nguyên tố. 
 Vậy với p = 5k + 4 không có tồn tại p nguyên tố thỏa mãn bài toán 
 Do đó p = 5 là số cần tìm. 
 Bài 3. Tìm tất cả các giá trị của số nguyên tố p để: p + 10 và p + 14 cũng là số nguyên tố. 
 Lời giải 
 + Nếu p = 3 thì p + 10 = 3 + 10 = 13 
 và p + 14 = 3 + 14 = 17 đều là các số nguyên tố 
  p = 3 là giá trị cần tìm 
 + Nếu p ≠ 3 => p có dạng 3k + 1 hoặc dạng 3k – 1 
 * Nếu p = 3k + 1 thì p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) : 3 
 * Nếu p = 3k – 1 thì p + 10 = 3k + 9 = 3(k + 3) : 3 
 Vậy nếu p ≠ 3 thì hoặc p + 10 hoặc p + 14 là hợp số. 
 12 
 gắng trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất về số nguyên tố. Đặc biệt giúp học 
 sinh nắm vững: Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất và nhỏ nhất của tập số nguyên tố. 
 Dựa vào cách viết số nguyên tố dạng a.x + b, (a,b) = 1. Rèn kỹ năng xét các trường 
 hợp có thể xảy ra, phương pháp loại trừ các trường hợp dẫn đến điều vô lý. 
 Qua dạng toán này, giáo viên cần giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgic, tư duy sáng 
 tạo, tính tích cực chủ động khi làm bài. 
 Dạng 3: Nhận biết số nguyên tố, sự phân bố số nguyên tố trong N 
 Bài 1: Cho p là số nguyên tố và một trong 2 số 8p +1 và 8p-1 là 2 số nguyên tố, hỏi số thứ 3 
 (ngoài 2 số nguyên tố, số còn lại) là số nguyên tố hay hợp số? 
 Lời giải 
 Với p = 3 ta có 8p + 1 = 25 là hợp số, còn 8p -1 là số nguyên tố. 
 Với p ≠ 3 ta có 8p -1, 8p, 8p + 1 là 3 số nguyên tố liên tiếp nên có một số chia hết cho 3. 
 Do p là nguyên tố khác 3 nên 8p không chia hết cho 3,do đó 8p- 1 hoặc 8p+1 có một số chia hết 
 cho 3. 
 Vậy số thứ 3 ngoài hai số nguyên tố là hợp số. 
 Bài 2: Nếu p < 5 và 2p + 1 là các số nguyên tố thì 4p + 1 là nguyên tố hay hợp số 
 Lời giải 
 Xét 3 số tự nhiên liên tiếp: 4p; 4p + 1; 4p + 2 
 Trong 3 số ắt có một số là bội của 3 
 Mà p < 5, p ∈ P nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 
 +) Nếu p = 3k + 1 thì 4p = 4(3k + 1) 3Q + 1 = p 
 và 4p + 2 = 4(3k + 1) + 2 p = 3.Q : 3 
 Mặt khác: 4p + 2 = 2(2p +1) = 3Q nên 3Q : 3 
 => 2(2p + 1) : 3; (2;3) = 1 nên (2p + 1) : 3 (trái với giả thiết) 
 +) Nếu p có dạng 3k + 2 
 Khi đó 4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 12k + 9 = 3M : 3 
 => 4p + 1 là hợp số 
 Vậy trong 3 số ắt có một số là bội của 3. 
 Bài 3: Trong dãy số tự nhiên có thể tìm được 1997 số liên tiếp nhau mà không có số 
 nguyên tố nào hay không ? 
 Giải: 
 Chọn dãy số: 
 a1 = 1998! + 2 a1 : 2 
 a2 = 1998! + 3 a2 : 3 
 a3 = 1998! + 4 a3 : 4 
 .................... ........... 
 a1997 = 1998! + 1998 a1997 : 1998