Chuyên đề Số nguyên tố, hợp số - Bồi dưỡng HSG Toán THCS

 SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ 
A. KiÕn thøc cÇn nhí
1. Định nghĩa số nguyên tố, hợp số.
1) Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó.
 Ví dụ: 2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19.... 
2) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.
 Ví dụ: 4 có 3 ước số: 1 ; 2 và 4 nên 4 là hợp số. 
3) Các số 0 và 1 không phải là só nguyên tố cũng không phải là hợp số.
4) Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ước số nguyên tố.
2. Một số tính chất.
● Có vô hạn số nguyên tố.
• Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q thì pq= . 
• Nếu tích abc chia hết cho số nguyên tố p thì ít nhất một thừa số của tích abc chia hết cho
số nguyên tố p.
• Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố p thì tích ab không chia hết cho số nguyên
tố p .
● Nếu A là hợp số thì A có ít nhất một ước nguyên tố không vượt quá A.
Chứng minh.Vì n là hợp số nên n= ab với a, b ,1 a b n và a là ước nhỏ nhất của n.
Thế thì na 2. Do đó an .
3. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
• Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một
tích các thừa số nguyên tố.
+ Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số nguyên tố là chính số đó.
+ Mọi hợp số đều phân tích được ra thừa số nguyên tố, phân tích này là duy nhất nếu
không tính thứ tự các thừa số.
Chẳng hạn A= a .b  ...c  , trong đó a, b, c là các số nguyên tố và ,  , ...,  N*
Khi đó số các ước số của A được tính bằng ()()() +1  + 1 ...  + 1
 a +1 − 1 b ++1 − 1 c 1 − 1
Tổng các ước số của A được tính bằng . ...
 a− 1 b − 1 c − 1
4. Số nguyên tố cùng nhau.
Hai số a và b nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi ()a, b= 1.
Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi ()a,b,c= 1 .
Các số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi ()()()a,b= b,c = c,a = 1.
5. Cách nhận biết số nguyên tố.
Cách 1 * Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n.
 *Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 41n . 
 *Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 31n . 
 *Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 61n . 
Chứng minh: 
● Xét m là số nguyên tố lớn hơn 2
 Mỗi số tự nhiên khi chia cho 4 có một trong các số dư 0, 1, 2, 3 do đó mọi số tự nhiên 
đều viết được dưới dạng 4n – 1; 4n ; 4n + 1; 4n + 2 . 
 Do m là số nguyên tố lớn hơn 2 nên không thể chia hết 2 do đó m không có dạng 4n 
và4n + 2. 
 Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng: 
Không phải mọi số có dạng đều là số nguyên tố. 
Chẳng hạn 4. 4 - 1 = 15 không là số nguyên tố . 
● Xét m là số nguyên tố lớn hơn 3
 +) Ta thấy mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều phải có dạng vì nếu có dạng 3k thì 
sẽ chia hết cho 3 nên không thể là số nguyên tố. 
 Không phải mọi số có dạng đều là số nguyên tố. 
Chẳng hạn 3. 5 + 1 = 16 không là số nguyên tố. 
 +) Mỗi số tự nhiên khi chia cho 6 có một trong các số dư 0, 1, 2, 3, 4, 5 do đó mọi số tự 
nhiên đều viết được dưới dạng 6n – 1; 6n ; 6n + 1; 6n + 2 ; 6n + 3 
 Do m là số nguyên tố lớn hơn 3 nên không thể chia hết 2 và 3 do đó m không có dạng 
6n và 6n;6n + 2; 6n + 3. 
 Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đề có dạng: . 
Không phải mọi số có dạng 61n đều là số nguyên tố. 
Chẳng hạn 6. 4 + 1 = 25 không là số nguyên tố. 
* Ví dụ minh họa:
Bài toán 1.Tìm tất cả số nguyên tố p sao cho p + 2 và p + 4 là các số nguyên tố. 
Bài toán 2.Tìm tất cả số nguyên tố p sao cho p + 2; p + 6; p + 8; p + 14 đều là các số nguyên tố. 
 n3 - 1
Bài toán 3.Tìm số tự nhiên n sao cho là số nguyên tố. 
 9
Bài toán 4.Tìm số nguyên tố p sao cho 43p + 1 là lập phương của một số tự nhiên. 
Bài toán 5.Tìm tất cả các số nguyên tố p để p vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố. 
 Dạng 4: Nhận biết số nguyên tố, sự phân bố nguyên tố trong tập hợp số tự nhiên
 Từ 1 đến 100 có 25 số nguyên tố, trong trăm thứ hai có 21 số nguyên tố, trong trăm thứ ba
 có 16 số nguyên tố,  Trong nghìn đầu tiên có 168 số nguyên tố, trong nghìn thứ hai có 
cho p , ta nhận được các số dư là 1, 2, , p −1. Suy ra a.()()() 2 a . 3 a ...() p− 1 a  1.2.3.() p − 1
(mod ) hay (1.2.3...()p− 1) . ap−1  1.2.3...() p − 1 (mod ) 
 Vì (1.2.3...()pp−= 1 ,) 1 nên a p−1 =1(mod ). 
* Ví dụ minh họa:
Bài toán 1.Tìm số nguyên tố sao cho 21p + chia hết cho . 
Bài toán 2.Cho là số nguyên tố lớn hơn 2 . Chứng minh rằng có vô số số tự nhiên thỏa 
n.2n − 1chia hết cho .
Bài toán 3.Cho p là số nguyên tố, chứng ming rằng số 21p − chỉ có ước nguyên tố có dạng 
21pk + . 
 C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố: 
 a) p + 2 và p + 10.
 b) p + 10 và p + 20.
Bài 2. Chứng minh rằng nếu n và n2 + 2 là các số nguyên tố thì n3 + 2 cũng là số nguyên tố. 
Bài 3. Chứng minh rằng nếu a, a + k, a + 2k ( a,* k N ) là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k 
chia hết cho 6. 
Bài 4. Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24. 
Bài 5. Một số nguyên tố p chia cho 42 có dư là một hợp số r. Tìm r. 
Bài 6. Một số nguyên tố p chia cho 30 có số dư là r. Tìm r biết rằng r không là số nguyên 
tố. 
Bài 7. Chứng minh rằng số 11...1211...1 là hợp số với n 1. 
 nn
Bài 8.Tìm n số sao cho 10101...0101 (n chữ số 0 và n + 1 chữ số 1 xen kẽ nhau) là số nguyên tố. 
Bài 9. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương m,, n p với p nguyên 
tố thỏa mãn: m2019+= n 2019 p 2018
 (Trích đề thi HSG lớp 9 TP. Hà Nội 2017-2018) 
Bài 10. (Trích đề thi HSG TP. Hà Nội năm học 2013-2014) 
 2
 Tìm số tự nhiên n để 25nn−+31− 12 là số nguyên tố 
Bài 11.(Trích đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2019-2020) 
Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương ()x,, y p với là số nguyên tố thỏa mãn 
 x2+ p 2 y 2 =6() x + 2 p . 
Từ đó dễ thấy mn==1 và p2018 = 2, mâu thuẫn. Vậy A chia hết cho p . 
Do mn+ 1 nên từ (1) suy ra mn+ chia hết cho . Khi đó, ta có 
 A 2019 m2018 ( mod p). 
Do chia hết cho và 0 mp nên từ kết quả trên, ta suy ra 2019 chia hết cho , 
hay p = 2019 . Từ đây, dễ thấy m và n khác tính chẵn lẻ, hay mn . 
 673 673
Bây giờ, ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng\(mn3) +=( 3) 2019 2018 , 
hay (m+ n)( m2 − mn + n 2) = 2019 2018 , 
 672 671 671 672
trong đó, B=( m3) −( m 3) ( n 3) +... −( m 3)( n 3) + ( n 3 ) . Do mn nên 
 2
m22− mn + n =( m − n) + mn 1, từ đó ta có m22−+ mn n chia hết cho . Tuy nhiên, 
điều này không thể xảy ra do 
 m2− mn + n 2  3 n 2 ( mod 2019) 
 m22− mn + n  0 ( mod 2019) . 
Vậy không tồn tại các số m,, n p thỏa mãn yêu cầu đề bài. 
 2
Bài 10.Ta có 2n− 6 n + 2 = 2 n( n − 3) + 1 
Vì n(n – 3) chẵn nên n(n – 3) + 1 = 2k +1 với kN  −1. 
 2
Suy ra 52n− 6 n + 2− 12 = 25 2 k + 1 + 1 − 13 13 
 2 2
Vì vậy 52nn−+ 6 2 − 12 nguyên tố hay 52nn−+ 6 2 −= 12 13 
 nên n(n – 3) + 1 = 1 , suy ra n = 0 hoặc n = 3. 
Bài 11.Do 6(x + 2p) chia hết cho 3 nên từ phương trình đã cho ta suy ra x2+ p 2 y 2 
chia hết cho 3. Mặt khác, ta có để ý rằng, với mọi số nguyên a thì a2 chia cho 3 dư 0 
hoặc 1. Do đó, để chia hết cho 3 thì ta phải có x 2 và py22cùng chia hếtt cho 3. 
Suy ra x và py cùng chia hết cho 3. 
Đặt x = 3a với a nguyên dương. Phương trình đã cho có thể được viết lại thành 
9a2+ p 2 y 2 = 18 a + 12 p ( 1) 
Do 9,a2 p 2 y 2 và 18a chia hết cho 9 nên từ phương trình trên, ta suy ra 12p chia hết 
cho 9, tức là p chia hết cho 3. Mà p là số nguyên tố nên p = 3. Khi đó, phương trình 
(1) có thể viết lại thành a22+ y =2 a + 4. 
Hay (ay−1)2 +2 = 5( 2) 
Vì (a − 10)2 nên từ phương trình trên, ta suy ra y2 5 . Do y là số nguyên dương 
nên ta có y 1,2. Bằng phép thử trực tiếp, ta tìm được các cặp số nguyên dương 
(a, y) thỏa mãn phương trình (2) là (3,1) và (2,2). Từ đó suy ra, có hai bộ (x, y, p) 
thỏa mãn yêu cầu đề bài là (9, 1, 3) và (6, 2, 3).