Chuyên đề Số nguyên tố - Bồi dưỡng HSG Toán 8

 CHUYÊN ĐỀ: SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ ó hai ước là 1 và chính nó.
P là số nguyên tố U ( p) 1, p
Ví dụ : 2 ; 3; 5; 7; .
- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn hai ước
Ví dụ : 4; 6; 8; 9; 10;.
2. Các tính chất 
a. Số 0, 1 không phải số nguyên tố cũng không phải hợp số
b. Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất
c. Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất
d. Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn
e. Mọi hợp số đều có thể phân tích ra thừa số nguyên tố và kết quả phân tích đó là duy nhất
f. Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng : 4k 1;6n 1
g. Tập hợp các số tự nhiên bao gồm : Số 0, 1, số nguyên tố, hợp số
h. Nếu a.b chia hết cho p (p là số nguyên tố) thì a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p
i. Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố p thì tích ab không chia hết cho số nguyên tố p
j. Số ước số của hợp số
 n1 n2 nk *
Giả sử n p1 .p2 ....pk (n1,n2 ,...,nk N ) 
 *
 p1, p2 ,......, pk : Số nguyên tố n1,n2 ,......,nk (k N ) 
 số ước số của n là : (n1 1)(n 2 1)(....(nk 1) 
Ví dụ: 100 2 2.52 100 có : (2 1)(2 1) 9 ước.
k. Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố p thì p = q
3. Phương pháp kiểm tra một số là số nguyên tố hay hợp số
a) Chia số đó lần lượt cho các số nguyên tố đã biết từ nhỏ đến lớn
- Nếu có một phép chia hết thì số đó không phải số nguyên tố
 1 Bài 1: Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số
 a) 3.4.5.6 7.8 b) 5.7.9.11 2.3.4.7
 c) 3.5.7 11.13.17 d) 16354 67541
Hướng suy nghĩ : Để kiểm tra một số A là số nguyên tố hay hợp số ta kiểm tra xem A có chia 
hết cho các số nguyên tố không vượt quá A không. Nếu số A lớn hơn p mà chia hết cho số 
nguyên tố p thì A là hợp số. Ngoài ra quan sát các tổng, hiệu trên ta dự đoán các tổng, hiệu 
trên là các hợp số, do đó ta chỉ ra các tổng, hiệu trên chia hết cho một số nguyên tố nhỏ hơn 
là được. Thông thường với các bài tập kiến thức như trên ta thường kiểm tra đến tính chẵn lẻ 
hoặc sử dụng tính chất chia hết của một tổng.
 Lời giải
a) Ta có 3.4.5.6 7.8 4 3.5.6 7.2 chia hết cho 4. Vậy tổng trên là hợp số
b) Ta có 5.7.9.11 2.3.4.7 7 5.9.11 2.3.4 chia hết cho 7. Vậy hiệu trên là hợp số
c) Ta có 3.5.7 11.13.17 là số chẵn lớn hơn 2 nên suy ra tổng trên là hợp số
d) Ta có 16354 67541 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5. Vậy tổng trên là hợp số.
 Bài 2: Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số 
 a) 5.6.7 8.9 b) 5.7.9.11.13 2.3.7
 c) 5.7.11 13.17.19 d) 4253 1422
Hướng suy nghĩ : Quan sát các tổng, hiệu trên ta dự đoán các tổng, hiệu trên là các hợp số, 
do đó ta chỉ cần chỉ ra các tổng, hiệu trên chia hết cho một số nguyên tố nhỏ hơn là được.
 Lời giải
a) Ta có 5.6.7 8.9 3 5.2 8.3 chia hết cho 3. Vậy tổng trên là hợp số
b) Ta có 5.7.9.11.13 2.3.7 7 5.9.11.13 2.3 chia hết cho 7. Vậy hiệu trên là hợp số
c) Ta có 5.7.11 và 13.17.19đều là số lẻ nên tổng của chúng là số chẵn nên chúng là hợp số
d) Ta có 4253 1422 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5. Vậy tổng trên là hợp số.
 Bài 3: Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số 
 a) 17.18.19.31 11.13.15.23 b) 41.43.45.47 19.23.29.31
 Lời giải
 3 Bài 6: 
Với mỗi số tự nhiên n thì các số sau là số nguyên tố hay hợp số
 a) n2 12n b) 3n 6
Hướng suy nghĩ : Dự đoán rằng các số trên chỉ là số nguyên tố với một số trường hợp của n, 
dô đó ta thay một số giá trị đặc biệt để kiểm tra. Với các giá trị bất kỳ còn lại ta chứng minh 
nó là hợp số, tức là ta sẽ chứng minh các số đó chia hết cho một số nguyên tố nhỏ hơn nó. 
 Lời giải
a) Ta có n2 12n n n 12 
Dễ thấy n 12 1 n n 12 có thêm hai ước là n và n 12. Do vậy 
- Nếu n 1 n2 12n n n 12 13 là số nguyên tố. 
- Nếu n 1 n2 12n là một hợp số.
b) Nếu n 0 3n 6 7 là số nguyên tố
Nếu n 1 3n 6 chia hết cho 3 nên là hợp số.
 Bài 7: Với mỗi số tự nhiên n thì các số sau là số nguyên tố hay hợp số
 a) A 2n 5 3n 1 b) B n 2 n2 n 7 
 Lời giải
a) Do A 2n 5 3n 1 nên A có hai ước là 2n 5 và 3n 1 
Dễ thấy với n là số tự nhiên nên 2n 5 1. Do đó để A là số nguyên tố thì 3n 1 1 n 0 
Khi đó A 5 là số nguyên tố.
Như vậy nếu n 1 2n 5 1;3n 1 1 A là hợp số.
Vậy nếu n 0 A là số nguyên tố và nếu n 1 A là hợp số.
b) Ta có A là số tự nhiên nên n 2 A n 2 n2 n 7 nên A có hai ước là n 2 và 
 n2 n 7. Dễ thấy n2 n 7 1 để A là số nguyên tố thì n 2 1 n 3 A 17 là số 
nguyên tố. Như vậy khi n 4 thì ta có n 2 1 và n2 n 7 1 A là hợp số
Vậy nếu n 3 thì A là số nguyên tố và nếu n 4 thì A là hợp số.
 Bài 8: Tìm số tự nhiên n, sao cho
 a. (2n 5)(3n 1) là số nguyên tố b. (n 2)(n2 n 7) là số nguyên tố 
 5 Dùng phương pháp hệ số bất định phân tích được : n5 n4 1 (n2 n 1)(n3 n 1)
Ta có : n 1 n2 n 1;n3 n 1 1 là hợp số
 Bài 11: 
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( Tự nhiên ) (a,b) sao cho a4 + 4b4 là số nguyên tố
 Lời giải
Ta có: a4 4b4 (a2 2b2 )2 (2ab)2 (a2 2ab 2b2 )(a2 2ab 2b2 )
+) Nếu cặp số nguyên không cần xét a, b = 0
+) Nếu cặp số tự nhiên, ta phải xét a, b = 0
- Nếu a = 0 thì A = 4a4 ( loại )
- Nếu b = 0 thì A = a4 ( không là số nguyên tố )
- Nếu a,b 1 a2 2ab 2b2 a2 2ab 2b2 1 
Để A là số nguyên tố 
 2 2 2 2 a b 0
 a 2ab 2b 1 (a b) b 1 a b 1 A 5(tm) (a,b) (1,1)
 b 1
 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với p 3, khi đó p là số nguyên tố nên p phải có hai dạng là 
 p 3k 1; p 3k 2 với k là số tự nhiên khác 0, ta có :
+ Nếu p 3k 1 là số nguyên tố, khi đó ta có p 2 3k 1 2 3k 3 chia hết ho 3 nên là hợp 
số, do đó p 3k 1 không thỏa mãn 
+ Nếu p 3k 2 là số nguyên tố, khi đó ta có p 4 3k 2 4 3k 6 chia hết ho 3 nên là hợp 
số, do đó p 3k 2 không thỏa mãn. Vậy p 3 là số nguyên tố cần tìm.
b) p 10; p 14 cũng là số nguyên tố
*) Lời giải 1: Xét dãy số sau p 10; p 12; p 14 là ba số tự nhiên chẵn hoặc lẻ liên tiếp, khi đó 
trong dãy số có 1 số chia hết cho 3
+ Nếu p 2 p 10 12 chia hết cho 3 nên là hợp số. Do đó p 2 không thỏa mãn yêu cầu 
của bài toán.
+ Nếu p 3 p 10 p 13; p 14 p 17 đều là số nguyên tố, đó đó p 3 thỏa mãn yêu cầu 
của bài toán.
+ Nếu p 3, khi đó do p là số nguyên tố nên p có hai dạng p 3k 1; p 3k 2 với k là số tự 
nhiên khác 0. Như vậy trong dãy số trên thì p 12 không chia hết cho 3, do đó p 10 hoặc 
 p 14 chia hết cho 3. Do đó p 3 không thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Vậy p 3 là số 
nguyên tố cần tìm. 
*) Lời giải 2: Giả sử với p 2 là số nguyên tố ta có p 10 12 là hợp số. Do đó p 2 không 
thỏa mãn. Với p 3 là số nguyên tố, khi đó p 10 13; p 14 17 đều là số nguyên tố, do đó 
 p 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với p 3, khi đó p là số nguyên tố nên p phải có hai dạng là 
 p 3k 1; p 3k 2 với k là số tự nhiên khác 0, ta có :
+ Nếu p 3k 1 là số nguyên tố, khi đó ta có p 14 3k 15 chia hết ho 3 nên là hợp số, do đó 
 p 3k 1 không thỏa mãn 
+ Nếu p 3k 2 là số nguyên tố, khi đó ta có p 10 3k 12 chia hết ho 3 nên là hợp số, do đó 
 p 3k 2 không thỏa mãn. Vậy p 3 là số nguyên tố cần tìm.
 9 không thỏa mãn bài toán. Với p 5 là số nguyên tố, khi đó 
 p 2 7; p 6 11; p 8 13; p 14 19 đều là số nguyên tố, do đó p 5 thỏa mãn yêu cầu bài 
toán. Với p 5, khi đó p có các dạng p 5k 1; p 5k 2; p 5k 3; p 5k 4 với k là số tự 
nhiên khác 0. Ta xét các trường hợp sau
+ Nếu p 5k 1 là số nguyên tố, khi đó p 14 5k 15 là hợp số, do đó p 5k 1 không thỏa 
mãn yêu cầu bài toán.
+ Nếu p 5k 2 là số nguyên tố, khi đó p 8 5k 10 là hợp số, do đó p 5k 2 không thỏa 
mãn yêu cầu bài toán.
+ Nếu p 5k 3 là số nguyên tố, khi đó p 2 5k 5 là hợp số, do đó p 5k 3 không thỏa 
mãn yêu cầu bài toán.
+ Nếu p 5k 4 là số nguyên tố, khi đó p 6 5k 10 là hợp số, do đó p 5k 4 không thỏa 
mãn yêu cầu bài toán. Vậy p 5 là số nguyên tố cần tìm.
b) p 6; p 8; p 12; p 14 cũng là số nguyên tố
*) Cách 1: Xét dãy số p 6; p 8; p 12; p 14 . Để ý rằng 2, 6, 8, 10, 14 có một số chia hết cho 
5 nên 5 số tự nhiên trong dãy trên chẵn luôn có một số chia hết cho 5
+ Nếu p 2 , khi đó p 6 8 chia hết cho 2 nên là hợp số. Do đó p 2 không thỏa mãn
+ Nếu p 3 , khi đó p 6 9 chia hết cho 3 nên là hợp số. Do đó p 3 không thỏa mãn
+ Nếu p 5 , khi đó p 6 11; p 8 13; p 12 17; p 14 19 đều là các số nguyên tố. Do đó 
 p 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán
+ Nếu p 5 , khi đó do p là số nguyên tố nên p có các dạng:
 p 5k 1; p 5k 2; p 5k 3; p 5k 4 với k là số tự nhiên khác 0. Như vậy trong dãy trên thì 
 p 10 không chia hết cho 5, nên trong các số p 6; p 8; p 12; p 14 có một số chia hết cho 5. 
Do đó p 5 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy p 5 là số nguyên tố cần tìm.
*) Cách 2: Giả sử p 2 là số nguyên tố, khi đó ta có p 6 8 là hợp số, do đó p 2 không 
thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với p 3 là số nguyên tố khi đó p 6 9 là hợp số, do đó p 3 
không thỏa mãn bài toán. Với p 5 là số nguyên tố, khi đó 
 p 6 11; p 8 13; p 12 17; p 14 19 đều là số nguyên tố, do đó p 5 thỏa mãn yêu cầu bài 
 11