Chuyên đề Số nguyên môn Toán Lớp 6

 CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6: SỐ NGUYÊN
 Chuyên đề 1. TẬP HỢP CÁC SỐ NGUYÊN 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 1. Kiến thức cơ bản
 a) Tập hợp các số nguyên:
 Tập hợp ...; 3; 2; 1; 0;1; 2; 3;... gồm có số 0, các số 1; 2; 3; ... (số nguyên dương)
 và các số -1; -2; -3; ... (số nguyên âm) được gọi là tập hợp các số nguyên, kí hiệu là Z. 
 Nhận xét: Mọi số tự nhiên đều là số nguyên hay  . 
 b) Trục số nguyên:
 ... -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... 
 Điểm biểu diễn số nguyên a trên trục gọi là điểm a. 
 c) Số đối:
 Trên trục số, hai điểm -2 và 2 cách đều điểm gốc 0 về hai phía. Ta nói -2 và 2 là hai số 
 đối nhau. Số đối của a kí hiệu là –a. 
 d) Thứ tự trong Z:
 Trên trục số, điểm a nằm bên trái điểm b thì a a. 
 Ta luôn có: Số nguyên âm < 0 < số nguyên dương. 
 Với hai số nguyên a, b bất kì ta luôn có hoặc a b. 
 Nếu a lớn hơn b hoặc a = b thì ta viết ab . 
 Với a, b, c , nếu a < b và b < c thì a < c ( tính chất bắc cầu). 
 e) Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là |a|, là khoảng cách từ điểm a đến gốc 0.
 • Nếu a0 thì a 0. 
 • Nếu a0 thì a a. 
 • Nếu a0 thì a a. 
 Nhận xét: Với mọi a , ta có: | a | 0. 
 55 *
 nguyên không dương (nhỏ hơn hoặc bằng 0) Z là tập hợp các số nguyên dương. 
 **
 Vậy ZN . 
Ví dụ 2. Khẳng định sau là đúng hay sai? Nếu ab thì ab . 
 Giải 
Khẳng định “Nếu ab thì ab ” là sai. 
Chẳng hạn: Với a = 3; b = -7 thì a > b, tuy nhiên, vì a 3; b 7 7 nên 
a b. 
Nhận xét: Để chứng tỏ một khẳng định nào đó là sai, ta chỉ cần đưa ra một ví dụ cụ thể 
nào đó mà khẳng định sai. Ví dụ như thế được gọi là phản ví dụ. 
Ví dụ 3: Tìm x, y , biết: 
a) x 35 . b) x y1 . 
 Giải 
a) Ta có: |-3| = 3.
 Do đó: x 35 x 5–3 x2 x2 hoặc x2 . 
 Đôi khi ta viết gộp là: x2 .
b) Vì x 0 và y 0 nên ta có hai trường hợp: 
 • x1 và y0 : 
 Ta có: x 1 x 1 hoặc x1 . 
 y 0y 0 . 
 • x0 và y1 : 
 Ta có: x 0 x 0
 |y| = 1 y = 1 hoặc y = -1. 
 Vậy bài toán trên có bốn đáp số sau đây: 
 57 2.2. Khẳng định sau đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng.” Nếu a thì |a| *
 “. 
2.3. Tìm các giá trị thích hợp của chữ số a sao cho: 
 a) a00 801. b) 560 56a . c) a99 649 6a0 .
2.4. Hãy viết số nguyên âm: 
 a) Nhỏ nhất có một chứ số.
 b) Lớn nhất có một chữ số.
 c) Nhỏ nhất có 10 chữ số khác nhau.
 d) Lớn nhất có 10 chữ số khác nhau.
2.5. Chứng tỏ rằng: Với mọi số nguyên a, ta đều có: |a| a . 
2.6. Chứng tỏ rằng: Với a và |x| = a thì suy ra x = a hoặc x = - a. 
2.7. Chứng tỏ rằng: Với a và |x| = |a| thì suy ra x = a hoặc x = - a. 
2.8. Tìm x , biết: 
 a) x 23 17 . 
 b) 5 . x 20 . 
2.9. Tìm x , biết: 
 a) x 14 và x0 . 
 b) x 23 và x0 . 
2.10. Tìm x , biết: 
 a) x5 . 
 b) 12 x 15 . 
2.11. Cho các tập hợp: 
 A { x | 3 x 7};Bx { |3x7};Cx||x|5} { . 
 Hãy tìm các tập hợp: A B; B C; C  A. 
2.12. Tìm x, y , biết: 
 59 Chuyên đề 2. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC SỐ NGUYÊN 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 1. Kiến thức cơ bản
 a) Để cộng hai số nguyên cùng dấu, ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt trước
 kết quả dấu của chúng.
 b) Cộng hai số nguyên khác dấu:
 Nếu hai số đối nhau thì tổng của chúng bằng 0.
 Nếu hai số không đối nhau thì ta tính hiệu hai giá trị tuyệt đối (số lớn trừ số nhỏ) và
 đặt trước kết quả dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
 c) Hiệu của hai số nguyên a và b là tổng của a với số đối của b: a–b a b .
 d) Tính chất của phép cộng số nguyên: Với mọi số nguyên a, b và c, ta có:
 • Tính chất giao hoán:ab ba .
 • Tính chất kết hợp:a bc ab c .
 • Cộng với số 0:a00aa .
 • Cộng với số đối: a a 0.
 2. Nâng cao
 a) Với hai số nguyên a và b, ta có: a > b a b 0;a b a-b 0.
 b) Giá trị tuyệt đối của một tổng hai số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt
 đối của chúng: |a b| |a| |b|, với mọi a, b và ab a b khi
 và chỉ khi a và b cùng dấu hoặc khi a = 0, hoặc khi b = 0.
 c) Giá trị tuyệt đối của một hiệu hai số nguyên lớn hơn hoặc bằng hiệu các giá trị tuyệt
 đối của chúng: |a b| |a| |b| , với mọi a, b và a–b a b khi
 và chỉ khi ab0 hoặc ab0 .
II. MỘT SỐ VÍ DỤ
 Dạng 1. Chứng minh các tính chất
 Ví dụ 1. Chứng tỏ rằng a – b và b – a là hai số đối nhau. 
 Giải 
 Để chứng minh a – b và b – a là hai số đối nhau ta chứng minh tổng của chúng bằng 0. 
 61 • Ở cách 1, ta đã cộng các số cùng dấu với nhau trước. Cách này có ưu điểm là hạn
 chế việc nhầm dấu .
 • Ở cách 2, ta kết hợp từng nhóm có tổng là các số tròn trăm. Cách này có ưu điểm
 là có thể nhẩm ra kết quả.
 Ví dụ 4. Tính hợp lý : Q 48 48 174 74 .
 Giải 
 Cách 1: 
 Q 48 | 126 | 74 48 126 74 100.
 Cách 2: 
 Vì 48 174 0 nên | 48 174 | 48 174 174 48.
 Do đó: 
 Q 48 174 48 74 48 48 174 74 0 100 100.
 Nhận xét: Trong cách 2, ta đã sử dụng tính chất đã chứng minh ở trên để bỏ dấu 
 ngoặc. Sau khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta kết hợp thành từng nhóm có kết quả là số 
 trong trăm. Dùng cách này ta có thể nhẩm được kết quả. 
Dạng 3. Tìm số chưa biết 
 Ví dụ 5. Tìm chữ số a, biết: a5 85 150 .
 Giải 
 Áp dụng quy tắc cộng hai số nguyên cùng dấu, ta có: 
 a5 85 a5 85 
 Suy ra: a5 85 150 hay a5 85 150 a5 150 85 65 .
 Vậy a = 6. 
 Ví dụ 6. Tìm x , biết: 
 a) | x 1 | 3 17 b) | x| 4 3 .
 Giải
 63 III. BÀI TẬP
 2.15. Tính hợp lí: 
 a) 57 159 47 169.
 b) 2012 596 201 496 301.
 2.16. Tìm giá trị của biểu thức: 
 a) x 37 , biết x = -13. b) x 78 , biết x = -86.
 2.17. Tính x–y , biết rằng: x 20 và y 12 . 
 2.18. Tính tổng các số nguyên x, biết rằng: 
 a) 15 x 17. b) | x | 35.
 2.19. Tìm chữ số a, biết rằng: 
 a) 37 5a 20 b) a9 45 26.
 2.20. Tìm x ∈ , biết: 
 a) x +−()()45 =− 62 + 17 b) x +29 =− 43 +−() 43
 2.21. Tìm x ∈ , biết rằng: 
 a) x + 23 là số nguyên âm lớn nhất
 b) x + 99 là số nguyên âm nhỏ nhất có hai chữ số
 2.23. Tìm x ∈ , biết: 
 a) ()()−1 + 3 +− 5 + 7 + +x = 600
 b) 2+−()()() 4 + 6 +− 8 + +−x =−2000
 2.24. Tìm x ∈ , biết rằng: 9≤−<x 3 11 
 2.25. Tìm giá trị nguyên lớn nhất và nhỏ nhất của x sao cho: 
 1986<+<x 2 2012 
 2.26. Cho 31 số nguyên. Hỏi tổng của 31 số nguyên đó là một số như thế nào nếu: 
 a) Tổng của 3 số bất kì trong chúng là 1 số nguyên âm?
 b) Tổng của 3 số bất kì trong chúng là một số nguyên dương?
 Kết quả trên còn đúng không nếu thay số 31 bằng số 32?
 65 Chuyên đề 3. QUY TẮC DẤU NGOẶC VÀ QUY TẮC CHUYỂN VẾ 
 I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 1. Kiến thức cơ bản
 - Quy tắc dấu ngoặc:
Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “–” đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: 
dấu “+” đổi thành dấu “–” và dấu “–” đổi thành dấu “+” 
 −()abc −+ =−+− abc 
Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước, ta giữ nguyên dấu của các số hạng trong dấu ngoặc. 
 +()abc −+ =−+ abc 
 - Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển vế một số hạng tử từ vế này sang vế kia của một
đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng tử đó: dấu “+” đổi thành “–” và dấu “–” đổi thành dấu “+” 
 abcd−=+ ⇔ acdb =++⇔−=+ acbd
 2. Nâng cao
 - Quy tắc chuyển vế vẫn đúng đối với bất đẳng thức:
 abcd−<+ ⇔ acdb <++⇔−<+ acbd
 -Tổng đại số: Một dãy các phép tính cộng, trừ các số nguyên gọi là một tổng đại
 số. Trong một tổng đại số, ta có thể: 
 Thay đổi tùy ý vị trí của một số hạng kèm theo dấu của chúng. 
 Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý; với chú ý rằng: Nếu trước dấu 
ngoặc là dấu “–” thì phải đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc. 
 abcd−−+ = a −() bcd +− 
 II. MỘT SỐ VÍ DỤ
 Dạng 1. Tính hoặc rút gọn các biểu thức
 Ví dụ 1. Tính hợp lí: 
 a) P =54 +−( 37 + 10 − 54 + 67)
 b) Q =+−−++−−+12345678 − 798081 − +
 Giải 
 a) Áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc, ta có:
 P =−+−+54 37 10 54 67 
 Áp dụng tính chất của tổng đại số, ta có: 
 P =()()54 − 54 +− 37 + 67 + 10 
 67 P= a()() b −− a b a −− c bc 
 Giải 
 Vì abc,,∈ nên áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép 
trừ, ta có: 
 a() b−= a a.. b − a a = ab − a2 ; b() a −= c ba −= bc ab − bc
Do đó: P=() ab −−−− a2 () ab bc bc
 =−−+−ab a2 ab bc bc (quy tắc bỏ dấu ngoặc) 
 =()()ab −+−− ab bc bc a2
 =+−00a2 
 = −a2 
 Vì a ≠ 0 nên a2 > 0 , do đó số đối của a2 nhỏ hơn, hay: −<a2 0 
 Vậy P < 0 , tức là P luôn có giá trị âm. 
 Dạng 3. Tìm x 
 Ví dụ 5. Tìm x ∈ , biết: 
 a) ()−+x 31 − 39 =−+ 69 11
 b) −129 −() 35 −=x 55
 Giải 
 a) Áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc, ta có:
 −+x 31 − 39 =−+ 69 11
 ⇔−x =−69 + 11 − 31 + 39 (quy tắc chuyển vế
 ⇔−x =()() −69 + 39 + 11 − 31 (tính chất của tổng đại số)
 ⇔−x =−30 +() − 20
 ⇔−x =−50
 ⇔=x 50
 Vậy x = 50 
 b) Áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc, ta có:
 −29 − 35 +=x 55 (quy tắc chuyển vế) 
 ⇔x =++55 29 35 (tính chất kết hợp) 
 ⇔x =++()55 35 29 
 69