Chuyên đề Số chính phương (Phần 2) - Bồi dưỡng HSG Toán 8

 Dạng 4: Tìm số chính phương
Cách giải: Dựa vào định nghĩa về số chính phương A k 2 , với k là số nguyên và các yêu cầu 
của bài toán để tìm ra số chính phương thỏa mãn.
 Bài 1: 
Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống 
nhau
 Lời giải
Gọi số chính phương cần tìm là: aabb n2 (a,b N,1 a 9,0 b 9)
Ta có: aabb 1000a 100a 10b b 1100a 11b n2 n2 11(100a b)(1)
Lại có: aabb11 100a b11 99a a b11 a b11
Mà: 1 a 9,0 b 9 1 a b 18 a b 11
Thay a b 11 vào (1), được: n2 11(99a 11) 112 (9a 1) 9a 1 phải là số chính phương
Bằng phép thử a 1,2...,9 ta được a 7,b 4
Vậy số cần tìm là: 7744 112.82 882
 Bài 2: 
Tìm số chính phương abcd , biết rằng: ab cd 1
 Lời giải
Đặt abcd n2 n2 100ab cd 100(cd 1) cd 101cd 100 n2 102 101cd
 101cd (n 10)(n 10)
 n 10101
vì 101 là số nguyên tố 
 n 10101
Ta có: 1000 n2 10000 31 n 100 n 10101 n 91
Thử lại abcd 912 8281 có 82 81 1
Vậy abcd 8281.
 Bài 3: 
Tìm số nguyên tố ab(a b 0) , sao cho ab ba là số chính phương
 Lời giải
 1 Vậy số cần tìm là: 65
 Bài 6: 
Tìm một số chính phương gồm bốn chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai 
của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương
 Lời giải
Gọi số phải tìm là: abcd(1 a 9;0 b,c,d 9)
 abcd là số chính phương d 0;1;4;5;6;9 
Mà d là số nguyên tố nên d 5
Đặt abcd k 2 1000 k 2 10000 32 k 100; k 2 k
 k là số có hai chữ số mà k 2 tận cùng là 5 nên k có tận cùng là 5
Tổng các chữ số của k là số chính phương nên k 45 abcd 2025
 Bài 7: 
Cho A là số chính phương gồm bốn chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị 
thì ta được một số chính phương. Hãy tìm các số A và B
 Lời giải
Gọi số chính phương A là: abcd k 2 (k N)
Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị ta được: 
 B (a 1)(b 1)(c 1)(d 1) m2 (a,b,c,d,m N);32 k m 100
 A abcd k 2
Có: m2 k 2 1111 (m k)(m k) 11.101
 2
 B abcd 1111 m
 m k 101 m 56 A 2025
Vì m k;m k 0 m k m k 
 m k 11 k 45 B 3136
 Bài 8: 
Tìm SCP gồm bốn chữ số, biết rằng khi ta cộng thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 
vào chữ số hàng trăm, thêm 5 vào chữ số hàng chục, thêm 3 vào chữ số hàng đơn vị ta vẫn 
được một số chính phương
 Lời giải
 3 ab 27
Vì 10 ab 99 
 ab 64
+) Nếu ab 27 a b 9 (thỏa mãn)
+) Nếu ab 64 a b 10 (loại)
Vậy số cần tìm là 27.
 Bài 11: 
Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì 
ta được số chính phương B . Hãy tìm các số A và B
 Lời giải
Gọi A abcd k 2 . Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số
 B (a 1)(b 1)(c 1)(d 1) m2 với k,m N và 32 k m 100 ; a,b,c,d 1,9
 A abcd k 2
 B abcd 1111 m2 . Đúng khi cộng không có nhớ
 m2 k 2 1111 m k m k 1111 * 
Nhận xét thấy tích m k m k 0 m k và m k là 2 số nguyên dương
Và m k m k 200 (*) có thể viết m k m k 11.101
Do đó m k 11 và m k 101 m 56 và n 4 A 2005 và B 3136
 Bài 12: 
Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số abcd k 2 sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, số k 
có tổng các chữ số là một số chính phương. BTVN
 Lời giải
Gọi số phải tìm là abcd với a,b,c,d nguyên và 1 a 9;0 b,c,d 9
 abcd chính phương d 0,1,4,5,6,9
 d nguyên tố d 5
Có số chính phương abcd k 2 10000 32 k 100 
 k là một số có hai chữ số mà k 2 có tận cùng bằng 5 k tận cùng bằng 5.
Tổng các chữ số của k là một số chính phương k 45
 5 Lời giải
Ta có: xxyy 11.x0y . Mà ta thấy rằng 11 là số nguyên tố và xxyy là một số chính phương nên 
suy ra x0y11 99x x y11 x y11
Theo điều kiện đề bài ta có: 0 x y 18 x y 11 x0y 99x 11 xxyy 121 9x 1 
Từ đó suy ra 9x 1 là số chính phương suy ra x 7 0 x 10 y 4
Vậy số điện thoại đó là: 827744
 7 a) Ta có: A 7.13.25.63.105 113 A có tận cùng là 8 nên không là số chính phương
 tc:5
b) Ta có: B 11.19.27.63.99 122.92 B có tận cùng là 7 nên không là số chính phương
 tc:1 tc:4
c) C 12.13.14.15.16 3.12.13.14.82 12.13.14(15.16 3.82) 12.13.14(3.80 3.82) 0 C không là 
 tc:0 tc:4
số chính phương.
 Bài 4: 
Cho bốn chữ số 0,2,3,4 . Tìm số chính phương có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số trên
 Lời giải
Gọi A là SCP có bốn chữ số cần tìm 
 A không có tận cùng là 2 hoặc 3 nên chữ số tận cùng của A là 0, 4
+) Nếu chữ số tận cùng của A là 0 suy ra chữ số hàng chục là 0 (vô lý )
+) Nếu chữ số tận cùng của A là 4 suy ra chữ số hàng chục của A phải là số chẵn suy ra là 0 
hoặc 2
 A có thể là: 3204 hoặc 2304 hoặc 3024
Có: 562 3204 572 ;2304 482 ;542 3024 552
Vậy số cần tìm là: 2304
 Bài 5: 
Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương
 Lời giải
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: n 2,n 1,n,n 1,n 2(n N,n 2) 
Đặt S (n 2)2 (n 1)2 n2 (n 1)2 (n 2)2 5(n2 2)
Vì n2 không có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8 nên n2 2 không có chữ số tận cùng là 5 hoặc 0
 2 S5
 n 2 5 S không là số chính phương.
 S  25
 Bài 6: 
Chứng minh rằng các số sau không là số chính phương
 12 12 12 100
a) A 12 13 14 tc :3 b) B 7 101 tc : 2
 tc:1
 9 Dạng 6: Phương pháp phản chứng để giải các bài toán về số chính phương
 Bài 1: 
Chứng minh rằng với n N , thì: 3n 4 không là số chính phương 
 Lời giải
+) n 0 3n 4 5 không là số chính phương
+) n 1 3n 4 7 không là số chính phương
+) Với n 2
Giải sử 3n 4 là số chính phương 3n 4 m2 (m N,m 3) m2 4 3n (m 2)(m 2) 32
 m 2 3k
 (k q n) (k,q N;k,q 1) (m 2) (m 2) 3q 3k 4 3q 3k (*)
 q
 m 2 3
 VT (*) 3 n
 Voly 3 4 không là số chính phương.
 VP(*)3
 Bài 2: 
Chứng minh rằng không tồn tại hai số chính phương có hiệu bằng 10002
 Lời giải
Giả sử có hai số chính phương m2 và n2 thỏa mãn điều kiện ban đầu, tức là: m2 n2 10002
Với giả thiết m n (m n)(m n) 10002
Vì m2 n2 là số chẵn nên m2 và n2 cùng tính chẵn lẻ suy ra m và n cùng tính chẵn lẻ
 m n2;m n2 (m n)(m n)4
Mà 10002 không chia hết cho 4 vô lý.
 Bài 3: 
Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì n2 2 không là số chính phương
 Lời giải
 2 2 2 * 2 2
Giải sử n 2 là số chính phương, đặt n 2 m (m N ) m n 2 đpcm
 4 4
 11 Bài 7: 
Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n sao cho 13n2 2 là số chính phương 
 Lời giải
13n2 2 m2 (*) 
+) Với n chẵn, n lẻ m cũng chẵn lẻ m,n cùng tính chẵn lẻ
 2
+) Nếu m,n là các số lẻ thì 1 3n 2 : 4 du :3 không tồn tại
 chia4:du1
+) Nếu m,n chẵn
 VT (*) : 4du2
 vô lý (đpcm)
 VP(*)4
 Bài 8: 
Chứng minh rằng: n2 5n 35121(n N)
 Lời giải
Giả sử ngược lại n2 5n 35121, n N
 4n2 20n 140121 (2n 5)2 165121 112 (1) 
Ta có: 165 11.1511 (2n 5)2 11 2n 511
Vì 11 là số nguyên tố (2n 5)2 112 121(2) 165 11.15121 112 (vô lý)
*) Nhận xét: Nếu a2  p mà p là số nguyên tố a2  p2 
 13 Ta có A chia hết cho 2929 nhưng không chia hết cho 2930 , mà 29 là số nguyên tố nên E 
không là số chính phương
f) Ta có: S A 45 . A chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên A không là số chính 
phương
- Hoặc cách khác: A chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không là số chính 
phương
 Bài 3: 
Giả sử N 1.3.5.....2015 . Chứng minh rằng các số sau 2N 1;2N 1 không là số chính phương
 Lời giải
+) 2N3 2N 1:3 dư 2 nên không là số chính phương
+) N lẻ N 2k 1 2N 4k 2 chia 4 dư 2 nên không là số chính phương
 N 4q 1 2N 1 8q 3
+) N lẻ không là số chính phương.
 N 4q 3 2N 1 8q 7
 Bài 4: 
Cho a,b,c là các số nguyên dương thỏa mãn a2 b2 c 2 . Chứng minh rằng abc chia hết cho 
60
 Lời giải
Ta có: 60 3.4.5
+) Giả sử abc không chia hết cho 3 a,b,c không chia hết cho 3 (3 là số nguyên tố) 
 a2  b2  c2 1(mod3) 1 1 1(mod3) voly abc3(1) 
+) Nếu trong 3 số a,b,c có ít nhất hai số chẵn thì abc4(2)
+) Nếu trong 3 số có đúng 1 số chẵn và 2 số lẻ. Ta thấy nếu a và b cùng lẻ thì c chẵn 
 a2 b2 1 1  2(mod 4);c2  0(mod 4) vô lý
Không mất tính tổng quát giả sử a chẵn còn b,c lẻ a2  c2 b2 1 1  0(mod8)
 a2 8 a4 abc4
 a2 b2  0,2,3(mod5)
+) Giả sử abc 5 a,b,c 5 a2 ,b2 ,c2 1,4(mod5) voly abc5(3)
 2
 c 1,4
Từ (1)(2)(3) abc3.4.5 60 (đpcm)
 15