Chuyên đề Số chính phương (Phần 1) - Bồi dưỡng HSG Toán 8

 SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A. Kiến thức
1. Định nghĩa: Số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên
 (tức là nếu n là số chính phương thì n k 2 k Z )
Ví dụ: 4 22 ;16 42
2. Tính chất
1) Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 không thể có chữ số tận 
cùng là 2, 3, 7, 8
Như vậy để chứng minh một số không phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là 
2, 3, 7, 8
2) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các TSNT với số mũ chẵn, 
không chứa TSNT với số mũ lẻ
Ví dụ: 3600 602 24.32.52
 Để chứng minh một số không phải SCP ta chỉ ra số đó khi phân tích ra TSNT thì có số mũ 
lẻ
3) Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng 3n hoặc 3n 1 ( a2  0,1(mod3) ) không có SCP 
nào có dạng 3n 2 ( n N )
4) Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng 4n hoặc 4n 1 ( a2  0,1(mod 4) ) không có 
SCP nào có dang 4n 2 hoặc 4n 3( n N )
5) Số các ước số của một số chính phương là số lẻ, ngược lại một số có số lượng các ước là lẻ 
thì đó là số chính phương
6) Nếu số chính phương chia hết cho p thì chia hết cho p2
7) Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số 
 a,b cũng là các số chính phương
 ab là SCP và a,b 1 a,b đều là các số chính phương
8) Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn (121, 
49, )
- Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2
 1 Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: n,n 1,n 2,n 3 n N 
 2
Ta có: n n 1 n 2 n 3 1 n2 3n 1 
Vì n N nên n2 3n 1 N
Vậy tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn là số chính phương (đpcm).
 Bài 3:
Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính 
phương.
 Lời giải
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: n 2,n 1,n,n 1,n 2 n N,n 2 
Ta có: n 2 2 n 1 2 n2 n 1 2 n 2 2 5n2 10 5 n2 2 
Vì n2 là số chính phương nên n không thể có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8 nên n2 2 không 
chia hết cho 5, hay 5 n2 2 không phải là số chính phương (đpcm).
 Bài 4:
Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của 
chúng là một số chính phương lẻ.
 Lời giải
Gọi hai số chính phương liên tiếp lần lượt là: a2 và (a 1)2 a Z 
Theo bài ra ta có: 
 2
 a2 a 1 2 a2 a 1 2 a4 2a3 3a2 2a 1 a4 2a3 a2 2a2 2a 1 a2 a 2 a2 a 1
 2
 a 2 a 1 là số chính phương lẻ vì a 2 a a(a 1) là số chẵn a2 a 1 là số lẻ.
 Bài 5:
Chứng minh rằng số n2 2014 với n nguyên dương không phải là số chính phương
 Lời giải
Giả sử n2 2014 là số chính phương
Đặt n2 2014 k 2 k 2 n2 2014 (k n)(k n) 2014
Ta có (k n) (k n) 2n chẵn k n;k n cùng tính chất chẵn lẻ k;n cùng tính chẵn lẻ 
 3 Lời giải
 n 1 n
 n 1 99...9 n 1 10 1 n 1 5(10 1)
a) Ta có: A 1 1...1.10 5 5...5.10 6 .10 5 5...5.10 6 .10 .10 6
 n 1 n 9 n 9 9
 2
 102n 2 10n 1 5.10n 1 50 54 102n 2 4.10n 1 4 10n 1 2 
A 
 9 9 3 
 1999 1 1997 1999 2 1998
b) B 11.....11.10 22...22.10 5 (10 1).10 (10 1).10 5
 1997 1998 9 9
 2 100...005
 1 1 
 (103996 2.5.101998 25) (101998 5)2 ( 1997 ) 2
 9 3 3
 101 1 102 1 103 1
c) Ta có : 1 ;11 ;111 
 9 9 9
 2
 102n 1 4(10n 1) 102n 4.102 4 10n 2 
A 1 
 9 9 9 3 
Vì 10 n 23 A là số chính phương
 n
 10 8 2
d) Ta có: A 1 1....1 1 1...1 66....6 8 ( )
 2n n 1 n 3
 2
 2.10n 7 
e) Ta có: A 44....4 22....2 8 8....8 7 
 2n n 1 n 3 
 Bài 9: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương
Cho S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... k(k 1)(k 2) . Chứng minh rằng 4S 1 là số chính phương
 Lời giải
 1 1 1
Ta có: k(k 1)(k 2) k(k 1)(k 2)(k 3) (k 1) k(k 1)(k 2)(k 3) (k 1)k(k 1)(k 2)
 4 4 4
 1 2
 S k(k 1)(k 2)(k 3) 4S 1 k(k 1)(k 2)(k 3) 1 k 2 3k 1 là số chính phương.
 4
 Bài 10: Khó
Cho một dãy số có số đầu tiên là 16, các số sau được tạo ra bằng cách viết thêm số 15 vào 
chính giữa số liền trước nó: 16, 1156, 111556, Chứng minh rằng mọi số của dãy đều là số 
chính phương
 Lời giải
 5 30
 1060 1 1030 1 1060 1 10 1 1060 2.1030 1
Cách 1: Ta có a 1 1...1 ;b 2 2...2 2. a b 2. 
 60 9 30 9 9 9 9
 2 2
 1030 1 
 3 3...3 
 3 30 
 30
Cách 2: Ta có b 2 2...2 2.1 1...1;a 1 1...1 1 1...1.0 0...0 1 1...1 1 1...1.10 1 1...1
 30 30 60 30 30 30 30 30
 30 2 2 2
Đặt c 1 1...1 9c 1 9 9...9 1 10 a c. 9c 1 c 9c 2c.b 2c a b 9c 2c 2c 3c 
 30 30
 2
 3 3...3 .
 30 
Bài toán tổng quát: Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên a gồm 2k chữ số 1 và số tự nhiên 
 b gồm k chữ số 2. Chứng minh rằng a b là một số tự nhiên.
 Bài 13: 
 n2 1
Cho n N sao cho là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng n là tổng của 
 3
hai số chính phương liên tiếp.
 Lời giải
 n2 1
Giả sử ta có a a 1 . 
 3
Từ đó ta có n2 3a2 3a 1 4n2 1 12a2 12a 3 2n 1 2n 1 3 2a 1 2
Vì 2n 1,2n 1 là hai số lẻ liên tiếp nên ta có các trường hợp sau
 2n 1 3p2
- TH1: q2 3p2 2 (vô lý). Vậy trường hợp này không xảy ra
 2
 2n 1 q
 2n 1 p2
- TH2: p là số lẻ nên p 2k 1
 2
 2n 1 3q
Từ đó 2n 2k 1 2 1 n k 2 k 1 2 đpcm.
 Bài 14: 
Cho k là một số nguyên dương và a 3k 2 3k 1
a) Chứng minh rằng 2a và a2 là tổng của ba số chính phương
 7 Dạng 2: Chứng minh một số không là số chính phương
Cách giải: Để chứng minh n không là số chính phương, tùy vào từng bài ta có thể sử dụng 
các cách sau
1) Chứng minh n không thể viết được dưới dạng bình phương của một số nguyên
2) Chứng minh k 2 n k 1 2 với k là số nguyên
3) Chứng minh n có tận cùng là 2,3,7,8
4) Chứng minh n có dạng 4n 2;4n 3
5) Chứng minh n có dạng 3k 2
6) Chứng minh n chia hết cho số nguyên tố p mà không chia hết cho p2 .
 Bài 1: BTVN
Một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 thì có thể là số chính phương được hay không? 
Tại sao?
 Lời giải
Gọi số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 là n
Ta có: 2018 3m 2 nên số tự nhiên n chia 3 dư 2, do đó số n có dạng 3k 2 k N 
Mặt khác một số chính phương không có dạng 3k 2 số tự nhiên n không là số chính 
phương
 Bài 2: 
Chứng minh rằng số A n4 2n3 2n2 2n 1 n N,n 1 không phải là số chính phương
 Lời giải
 2 2
Ta có A n4 2n3 2n2 2n 1 n4 2n3 n2 n2 2n 1 n2 n n 1 2 n2 n ,n 1
 2
 A n2 n , n 1 1 
 2
Mặt khác n2 n 1 n4 2n3 2n2 n2 2n 1 n4 2n3 2n2 1 n2 A n2 A,n 1
 2
 A n2 n 1 2 
 9 n2 2n 2 (n 1)2 1 (n 1)2 ;n2 2n 2 n2 2(n 1) n2 (n 1)2 n2 2n 2 n2
 n2 2n 2 Không phải số chính phương (đpcm).
 Bài 6: BTVN
a) Cho A 22 23 24 ... 220 . Chứng minh rằng: A 4 không là số chính phương
b) Cho B 31 32 ... 3100 . Chứng minh rằng: 2B 3 không là số chính phương
 Lời giải
a) Ta có: A 22 23 24 ... 220 2A 23 24 ... 221 2A A A 221 22 A 4 221 2.(210 )2
Không phải là số chính phương
b) Ta có: B 31 32 ... 3100 3B 32 33 ... 3100 2B 3 3101 3.(350 )2 đpcm.
 11