Chuyên đề Số chính phương - Bồi dưỡng HSG Toán THCS

 SỐ CHÍNH PHƯƠNG 
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa số chớnh phương.
 Số chớnh phương là số bằng bỡnh phương của một số nguyờn. 
 (tức là nếu n là số chớnh phương thỡ: n= k2 () k Z ) 
2. Một số tớnh chất cần nhớ
1- Số chớnh phương chỉ cú thể cú chữ số tận cựng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; khụng thể cú
chữ tận cựng bằng 2, 3, 7, 8. 
2- Khi phõn tớch ra thừa số nguyờn tố, số chớnh phương chỉ chứa cỏc thừa số nguyờn tố
với số mũ chẵn. 
3- Số chớnh phương chỉ cú thể cú một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Khụng cú số
chớnh phương nào cú dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N).
4- Số chớnh phương chỉ cú thể cú một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Khụng cú số
chớnh phương nào cú dạng 3n + 2 ( n N ).
5- Số chớnh phương tận cựng bằng 1, 4 hoặc 9 thỡ chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
 Số chớnh phương tận cựng bằng 5 thỡ chữ số hàng chục là 2.
 Số chớnh phương tận cựng bằng 6 thỡ chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6- Số chớnh phương chia hết cho 2 thỡ chia hết cho 4.
 Số chớnh phương chia hết cho 3 thỡ chia hết cho 9
 Số chớnh phương chia hết cho 5 thỡ chia hết cho 25
 Số chớnh phương chia hết cho 8 thỡ chia hết cho 16.
7. Mọi số chớnh phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4.
8. Giữa hai số chớnh phương liờn tiếp khụng cú số chớnh phương nào.
9. Nếu hai số nguyờn liờn tiếp cú tớch là một số chớnh phương thỡ một trong hai số đú là
số 0. 
10. Số cỏc ước của một số chớnh phương là số lẻ. Ngược lại, một số cú số cỏc ước là số
lẻ thỡ số đú là số chớnh phương. 
11. Nếu n2< k < (n+1)2 ( n Z) thỡ k khụng là số chớnh phương.
12. Nếu hai số tự nhiờn a và b nguyờn tố cựng nhau cú tớch là một số chớnh phương
thỡ mỗi số a, b cũng là cỏc số chớnh phương. 
13. Nếu a là một số chớnh phương, a chia hết cho số nguyờn tố p thỡ a chia hết cho
p2 . 
14. Nếu tớch hai số a và b là một số chớnh phương thỡ cỏc số a và b cú
dạng a== mp22; b mq Bài toỏn 4.Chứng minh rằng A =20124n + 20134n + 20144n + 20154n khụng phải là số 
chớnh phương với mọi số nguyờn dương n. 
 (Đề thi vào lớp 10 chuyờn trường ĐHSP TP Hồ Chớ Minh 2015 - 2016) 
 Dạng 3: Điều kiện để một số là số chớnh phương.
* Cơ sở phương phỏp: Chỳng ta thường sử dụng cỏc phương phỏp sau:
- Phương phỏp 1: Sử dụng định nghĩa.
- Phương phỏp 2: Sử dụng tớnh chẵn, lẻ.
- Phương phỏp 3: Sử dụng tớnh chất chia hết và chia cú dư.
- Phương phỏp 4: Sử dụng cỏc tớnh chất.
* Vớ dụ minh họa:
Bài toỏn 1.Tỡm số nguyờn n sao cho nn()+ 3 là số chớnh phương. 
Bài toỏn 2.Tỡm số nguyờn n sao cho n+1955 và n+ 2014 là một số chớnh phương. 
Bài toỏn 3.Tỡm số nguyờn dương n để cỏc biểu thức sau là số chớnh phương: 
a) A= n25 - n + 2 b) B= n - n + 2
Bài toỏn 4.Tỡm số nguyờn dương n nhỏ nhất sao cho cỏc số n +1, 21n+ , 51n + đều là 
cỏc số chớnh phương. 
Bài toỏn 5.Tỡm số tự nhiờn n 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! +  + n! là một số chớnh 
phương. 
 (Đề thi HSG lớp 6 - Phũng giỏo dục đào tạo Phỳc Yờn - Vĩnh Phỳc) 
 Dạng 4: Tỡm số chớnh phương.
* Cơ sở phương phỏp: Dựa vào định nghĩa về số chớnh phương Ak= 2 , với k là số nguyờn 
và cỏc yờu cầu của bài toỏn để tỡm ra số chớnh phương thỏa bài toỏn. 
* Vớ dụ minh họa:
Bài toỏn 1.Tỡm số chớnh phương abcd biết ab−= cd 1. 
Bài toỏn 2.Cho A là số chớnh phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thờm vào mỗi chữ số của 
A một đơn vị thỡ ta được số chớnh phương B. Hóy tỡm cỏc số A và B. 
Bài toỏn 3.Tỡm một số chớnh phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyờn 
tố, căn bậc hai của số đú cú tổng cỏc chữ số là một số chớnh phương. Vậy bài toỏn được chứng minh. 
Bài 2: 
 Đặt n(2n – 1) = 26q2 (1) 
Do VP chẵn và (2n – 1) lẻ nờn n chẵn hay n = 2k 
Do đú: (1) suy ra k(4k – 1) = 13q2 (2) 
Nhận thấy (k, 4k – 1) = 1 nờn: 
 k== u22 k13 u
 1 
() 22
 4k− 1 = 13 v 4 k − 1 = v
Xột trường hợp 1 ta cú: 
 ku= 2
 4k = 13 v2 + 112 = v2 + v 2 + 1 v2 + 14 v2  3mod4
 2 () (vụ lý)
 4kv−= 1 13
Xột trường hợp 2 ta cú: 
 ku= 13 2
 41kv =2 + (vụ lý)
 2 
 41kv−=
Vậy khụng tồn tại n thỏa món yờu cầu đầu bài. 
Bài 3: Ta cú A = n4+ n 3 + n 2 = n 2() n 2 + n +1
Với n = 0 thỡ A = 0 (thỏa món) 
Với n 0 thỡ A là số chớnh phương khi và chỉ khi nn2 ++1 là số chớnh phương. 
 2
Khi đú n22+ n +1 = k() k . 4()n2 + n + 1 = 4 k2 () 2 n + 1 − 4 k 2 = − 3
 ()()2n + 1 − 2 k 2 n + 1 + 2 k = − 3
Vỡ 2n+ 1 + 2 k 2 n + 1 − 2 k ,  n , k nờn 
 2nk + 1 − 2 = − 3
 2nk+ 1 + 2 = 1
 2nk+ 1 − 2 = − 1
 2nk+ 1 + 2 = 3
 2nk+ 1 − 2 = − 3
 n = −1 (thỏa món) 
 2nk+ 1 + 2 = 1
 2nk+ 1 − 2 = − 1
 =n 0 (loại) 
 2nk+ 1 + 2 = 3
Vậy nn=0; = − 1 
Bài 4: Ta cú 
A=()()()() x + y x +234 y x + y x + y + y4 =(x2 +5 xy + 4 y2)( x 2 + 5 xy + 6 y2) + y 4
 22
Đặt x+5 xy + 5 y = t ( t Z ) thỡ 
 2 2 4 2 4 4 2 2 2 2
 A = ( tyty−)( + ) + ytyyt = − + = =( x + 5 xyy + 5 )
Vỡ x, y, z Z nờn xZ2 , 5 xyZ , 5 yZ2 x2 +5 xyyZ + 5 2 
Vậy A là số chớnh phương. 
Bài 5: a) Ta cú: Bài 8: Vỡ p là tớch của nsố nguyờn tố đầu tiờn 
Nờn p 2 và p khụng chia hết cho 4 ()1
a) Giả sử p +1 là số chớnh phương. Đặt p+1 = m2 () m 
Vỡ p chẵn nờn p +1 lẻ m2 lẻ m lẻ. 
Đặt m=21 k +() k .
Ta cú: m22=4 k + 4 k + 1
 p +1 = 4 k2 + 4 k + 1
 p =4 k2 + 4 k = 4 k() k + 1 4 mõu thuẫn với ()1
 +p 1 là số chớnh phương. 
b) p =2  3  5  là số chia hết cho 3 −p 1 cú dạng 32k + . 
Khụng cú số chớnh phương nào cú dạng 
Nờn p −1 khụng là số chớnh phương. 
Vậy nếu p là tớch n số nguyờn tố đầu tiờn thỡ p −1 và p +1 khụng là số chớnh 
phương. 
Bài 9: Giả sử 2010 + n2 là số chớnh phương thỡ 2010 + n2 = m2 (m N ) 
Từ đú suy ra m2 - n2 = 2010 (m + n) (m – n) = 2010 
Như vậy trong 2 số m và n phải cú ớt nhất 1 số chẵn (1) 
Mặt khỏc m + n + m – n = 2m 2 số m + n và m – n cựng tớnh chẵn lẻ (2) 
Từ (1) và (2) m + n và m – n là 2 số chẵn. 
 (m + n) (m – n)  4 nhưng 2006 khụng chia hết cho 4 
 Điều giả sử sai.
Vậy khụng tồn tại số tự nhiờn n để 2010 + n2 là số chớnh phương. 
Bài 10: Gọi 5 số tự nhiờn liờn tiếp đú là n−2, n − 1,, n n + 1, n + 2() n , n 2. 
 2 2 2 2
Ta cú: ()()()()n−2 + n − 1 + n22 + n + 1 + n + 2 = 5.() n + 2
Vỡ n 2 khụng thể tận cựng bởi 3 hoặc 8 
Do đú n2 + 2 khụng thể chia hết cho 5 
Suy ra: 5.()n2 + 2 khụng là số chớnh phương
Hóy núi cỏch khỏc: A khụng là số chớnh phương