Chuyên đề Số chính phương - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 CHUYÊN ĐỀ : SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I. Số chính phương:
A. Một số kiến thức:
 Số chính phương: số bằng bình phương của một số khác
Ví dụ:
4 = 22; 9 = 32
A = 4n2 + 4n + 1 = (2n + 1)2 = B2
+ Số chính phương khơng tận cùng bởi các chữ số: 2, 3, 7, 8
+ Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4, chia hết cho 3 thì chia hết cho 9, chia
hết cho 5 thì chia hết cho 25, chia hết cho 23 thì chia hết cho 24,
+ Số 1 1...1 = a thì 9 9...9 = 9a 9a + 1 = 9 9...9 + 1 = 10n
 n n n
B. Một số bài toán:
1. Bài 1: 
Chứng minh rằng: Một số chính phương chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
Giải
Gọi A = n2 (n N)
a) xét n = 3k (k N) A = 9k2 nên chia hết cho 3
n = 3k 1 (k N) A = 9k2 6k + 1, chia cho 3 dư 1
Vậy: số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1
b) n = 2k (k N) thì A = 4k2 chia hết cho 4
n = 2k +1 (k N) thì A = 4k2 + 4k + 1 chia cho 4 dư 1
Vậy: số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1
Chú ý: + Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4
 + Số chính phương lẻ thì chia cho 4 thì dư 1( Chia 8 củng dư 1)
2. Bài 2: Số nào trong các số sau là số chính phương
a) M = 19922 + 19932 + 19942
b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952
c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100
d) Q = 12 + 22 + ...+ 1002
e) R = 13 + 23 + ... + 1003
Giải
 Trang 1 c) C =11.....1.+ 44.....4 + 1 
 2n n
 n
Đặt a = 11.....1 Thì C = 11.....111.....1 + 4. 11.....1 + 1 = a. 10 + a + 4 a + 1 
 n n n n
= a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2
 n
d) D = 99....9 8 00.....0 1 . Đặt 99....9 = a 10 = a + 1
 n n n
 n + 2 n + 1 n n
D = 99....9 . 10 + 8. 10 + 1 = a . 100 . 10 + 80. 10 + 1 
 n
 2 2 2
 = 100a(a + 1) + 80(a + 1) + 1 = 100a + 180a + 81 = (10a + 9) = (99....9 )
 n + 1
 n + 2
e) E = 11.....1 22.....2 5 = 11.....1 22.....2 00 + 25 = 11.....1.10 + 2. 11.....100 + 25
 n n + 1 n n + 1 n n
 2 2 2
= [a(9a + 1) + 2a]100 + 25 = 900a + 300a + 25 = (30a + 5) = (33.....3 5)
 n
f) F = 44.....4 = 4.11.....1 là số chính phương thì 11.....1 là số chính phương
 100 100 100
Số 11.....1 là số lẻ nên nó là số chính phương thì chia cho 4 phải dư 1
 100
Thật vậy: (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 chia 4 dư 1
11.....1 có hai chữ số tận cùng là 11 nên chia cho 4 thì dư 3
 100
vậy 11.....1 không là số chính phương nên F = 44.....4 không là số chính phương
 100 100
Bài 4:
a) Cho các số A = 11........11 ; B = 11.......11 ; C = 66.....66 
 2m m + 1 m
CMR: A + B + C + 8 là số chính phương .
 102m 1 10m 1 1 10m 1
Ta có: A ; B = ; C = 6. Nên: 
 9 9 9
 102m 1 10m 1 1 10m 1 102m 1 10m 1 1 6(10m 1) 72
A + B + C + 8 = + + 6. + 8 = 
 9 9 9 9
 m 2 m 2
 102m 1 10.10m 1 6.10m 6 72 10 16.10 64 10m 8 
= = 
 9 9 3 
b) CMR: Với mọi x,y Ỵ Z thì A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương.
A = (x2 + 5xy + 4y2) (x2 + 5xy + 6y2) + y4 
= (x2 + 5xy + 4y2) [(x2 + 5xy + 4y2) + 2y2) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)2 + 2(x2 + 5xy + 4y2).y2 + y4 = [(x2 + 5xy + 4y2) + y2)2
 Trang 3 Bài tập về nhà:
Bài 1: Các số sau đây, số nào là số chính phương
a) A = 22.....2 4 b) B = 11115556 c) C = 99....9 00....0 25 
 50 n n
 2 2 2
d) D = 44.....4 8 8....8 9 e) M =11.....1 – 22....2 f) N = 1 + 2 + ...... + 56
 n n - 1 2n n
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số chính phương
a) n3 – n + 2 
b) n4 – n + 2
Bài 3: Chứng minh rằng
a)Tổng của hai số chính phương lẻ không là số chính phương
b) Một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ
Bài 4: Một số chính phương có chữ số hàng chục bằng 5. Tìm chữ số hàng đơn vị
 Trang 5