Chuyên đề Rút gọn phân thức Toán 8

 RÚT GỌN PHÂN THỨC 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
Để rút gọn phân thức cho trước ta làm như sau: 
Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của 
phân thức; 
Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho. 
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
A.DẠNG BÀI MINH HỌA 
Dạng 1. Rút gọn phân thức 
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước: 
Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử; 
Bước 2. Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung. 
Bài 1: Rút gọn phân thức 
 17xy3 z 4 y2 xy x2 25
A B C 
 34xyz3 2 4xy 7 y2 5x x2
 x2 xz xy yz 45x 3 x y2 x 2
D E G 
 x2 xz xy yz 15x x 3 2 x3 3 xy 2 3 xy 2 y 3
Bài 2: Rút gọn phân thức 
 ax4 a 4 x xx3 2 6 x 2a2 2 ab
A B C 
 a2 ax x 2 x3 4 x ac ad bc bd
 xa 2 4 x2 yxx 2 2 y 2 x2 3 x 2
D E F 3 
 a2 9 x 2 6 ax xyy 2 2 x 2 x 1
 ax2 by 2 cz 2
A 
 bc y z2 ac x z 2 ab x y 2
Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x. 
Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của 
phân thức; 
Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho sao cho 
không còn các ẩn ( x,y đề bài yêu cầu không phụ thuộc ) 
Bài 8: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x . 
 x2 y 2
A 
 x y ay ax 
 2ax 2 x 3 y 3 ay
B 
 4ax 6 x 9 y 6 ay
Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x, y . 
9x2 1 3 xyxy 3 2 2 1
 ;x ; y 1 
1 3x y 1 3
Dạng 5: Bài toán nâng cao. 
 xy x2 y 2
Bài 10: Cho x y 0 .Chứng minh rằng 
 xy x2 y 2 
Bài 3: 
 x3 5 x 2 6 x x2 3 xy 2 y 2 2 2
A ab c
 2 B 3 2 2 3 C 
 4x 10 x 4 x 2 xyxy 2 y a b c
 xx 2 5 x 6 x xyx 2 y abcabc 
 2 2x2 5 x 2 xx2 2 y yx 2 2 y a b c
 a b c
 xx 2 x 3 xyx 2 y 
 2 2x 1 x 2 x 2 yx 2 y 2 
 x x 3 xyx 2 y 
 2 2x 1 x 2 yxyxy 
 x 2 y 
 x 2 yxy 
 a2 b 2 c 2 2 ab b c 3 c a 3 a b 3
D 2 2 2 F 
 a b c 2 ac a2 b c b 2 c a c 2 a b 
 a2 2 ab b 2 c 2
 Mau a2 b c b 2 c a c 2 a b 
 a2 2 ac c 2 b 2
 2 2 2 2 2
 2 2 a b c b c b a ac bc
 ab c
 2 2 2
 2 2 a b c bc b c a b c 
 a c b 
 abcabc b c a a b c a b 
 abcabc b c a c a b 
 a b c b c 3 c a 3 a b 3
 F 
 a b c a b b c c a 
 Ta có nhận xét 
 Nếu xyz 0 x3 yz 3 3 3 xyz 
 Đặt bc xca; yab ; z thì 
 x y z 0 
 x3 y 3 z 3 3 xyz
 F 3 
 xyz xyz
 xyzabc2 2 2 2 2 2 
 ax by cz 2
 ka2 2 kb 2 2 kc 2 2 a 2 b 2 c 2 
 aka bkb ckc 2 
 2
 ka2 2 b 2 c 2 
 2
 ka2 2 b 2 c 2 
 1
Bài 8: Cho ax by cz 0 . rút gọn phân thức 
 ax2 by 2 cz 2
A 
 bc y z2 ac x z 2 ab x y 2
Áp dụng hằng đẳng thức xyz 2 x2 y 2 z 2 2 xyyzzx 
ax by cz0 ax by cz2 0 a2 x 2 b 2 y 2 c 2 z 2 2 axby axcz bycz 0
 a2 x 2 b 2 y 2 c 2 z 2 2 axby axcz bycz 1
Biến đổi mẫu thức 
bc y z2 ac x z 2 ab x y 2
 bcy2 bcz 2 acx 2 acz 2 abx 2 aby 2 2 abxy acxz bcyz (2)
Thay (1) vào (2) thì mẫu thức bằng 
 bcy2 acx 222 c z bcz 2 abx 222 b y acz 2 aby 222 a x 
 c by2 ax 2 cz 2 b cz 2 ax 2 by 2 a cz 2 by 2 ax 2 
 cz2 by 2 ax 2 a b c 
 1
Vậy A 
 a b c
Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x. 
Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x . 
Mặt khác vì x y 0 nên x2 2 xyy 2 x 2 y 2 
 xy2 2 xy 2 2
 (2)
Vậy x2 2 xyy 2 x 2 y 2 
 (1)(2) dpcm
B.PHIẾU TỰ LUYỆN 
Dạng 1: Rút gọn phân thức. 
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau. 
 3 3
 14xyz5 3 2 25xy2 x 1 3x 5 x 60xy 3 x 2 
a) b) c) d) 
 21xyz2 4 30xy x 1 12 x 5 3 45xy2 2 3 x 
Bài 2: Rút gọn các phân thức sau. 
 2
 6x 12 y 2 x x xy3 yx 3 48y 12 y2 3 y 3
a) b) c) d) 
 24x2 48 x x 2 y y2 x2 xy y3 64
Bài 3: Rút gọn các phân thức sau. 
 5 x 3 3x 3 3 x 5 x2 xy x y 2yy3 2 2 y 1
a) b) c) d) 
 x2 4 x 3 25 9x2 x2 xy x y y3 3 y 2 y 3
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức. 
Bài 4: Chứng minh đẳng thức. 
 2
 b2 2 b 1 b 1 xa 4 x2 a x xx2 3 2 x 2
a) b) c) 
 3b3 3 b 2 3 b 2 a2 9 x 2 6 ax a 3 x x3 1 xx 2 1
Bài 5: Chứng minh đẳng thức. 
 xy x 2y 2 y 1 2x2 3 xy y 2 1
a) 2 b) 3 2 2 3 
 4 4x x x 2 2x xy 2 xy y xy 
 4xy2 4 xy 2 x 3 2xyx 2 2 yx 
Bài 6: Cho hai phân thức P và Q với x 0; x 1; xy 2 
 4x3 8 xy 2 4x 4 x2
Chứng minh rằng P = Q. 
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau 
 3 2
 14xyz5 3 2 2 xz 3 25xyx2 1 5 xx 1 
a) b) 
 21xyz2 4 3 y 30xy x 1 6
 3 2
 3x 5 x 3 xx 5 x 60xyx 3 2 4 3 x 2 
c) d) 
 12 x 5 3 12 x 5 3 4 x 5 2 45xy2 2 3 x 3 y
Bài 2: Rút gọn các phân thức sau 
Bài 3: Rút gọn các phân thức sau 
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức. 
Bài 4: Chứng minh đẳng thức 
 2 2 2
 b 2 b 1 b 1 xa 4 x2 a x xx 3 2 x 2
a) 3 2 2 b) c) 3 2 
 3b 3 b 3 b a2 9 x 2 6 ax a 3 x x 1 xx 1
Bài 5: Chứng minh đẳng thức 
Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến. 
Bài 9: Chứng minh giá trị của các phân thức sau luôn là hằng số 
 x2 y 2 3
a) M b) (với k là hằng số khác ) 
 xy 3 x 3 y 5
 5kx 5 x 3 y 3 ky
 N 
 25kx 15 x 9 y 15 ky
 Khi đó 
 là hằng số. 
 x4 x 3 x 1
Bài 10: Cho phân thức A 
 xx4 32 xx 2 1
a)Thu gọn biểu thức A. 
b) Chứng minh A luôn không âm với mọi giá trị của x. 
Có: 
Dạng 5: Bài toán nâng cao. 
Bài 11: Tìm giá trị nguyên của u để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên. 
 3
a) với u 2 
 u 2