Chuyên đề Rút gọn biểu thức đại số và các bài toàn liên quan - Toán 9

 RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ 
 VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 
A-LÝ THUYẾT
1. Kiến thức 6, 7, 8 quan trọng cần nhớ
 A.MA
a. Tính chất về phân số ( phân thức): (MB 0, 0) 
 B.MB
b. Những hằng đẳng thức đáng nhớ
 (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 
 A2 - B2 = (A - B)(A + B) 
 (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 
 A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 
 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) 
 A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) 
2. Các kiến thức về căn bậc hai
 Nếu a ≥ 0, x ≥ 0, a = x  x2 = a 
 Để A có nghĩa A 0 
 AA2 
 AB AB. ( với A 0; B 0) 
 A A
 ( với A 0; B 0)
 B B
 A2 BAB ( với B 0) x
Ví dụ minh họa : Cho A , điều kiện x 0,x 1. 
 x 1
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 3 2 2. 
c) Tính giá trị của biểu thức A biết x thỏa mãn phương trình x2 5x 4 0 .
 Hướng dẫn giải 
 3 3
a) Có x 9 x 3 A 
 3 1 2
 2 2 2 1 2 2
b) Có x 3 2 2 2 1 x 2 1 2 1 2 1 A 
 2 2
 2 x 1
c) Có x 5 x 4 0 . Kết hợp điều kiên: x 0,x 1. 
 x 4
 x 1(loại) và x 4 (thỏa mãn)
 2
 Với x 4 x 2 A 2 . 
 2 1
Dạng 3. Tìm giá trị của biến x để A k ( với k là hằng số hoặc là biểu thức chứa x) 
- Thực chất đây là việc giải phương trình.
- Học sinh thường quên khi tìm được giá trị của x không xét xem giá trị x dó có thỏa mãn
ĐKXĐ của A hay không.
 x 1
Ví dụ minh họa: Cho A , điều kiện xác định x 0,x 4 . 
 x 2
a) Tìm x biết A 2.
 4 x 1
b) Tìm x biết A .
 4 Hướng dẫn giải 
 x 2 x 2 x 2 x 3 5
a) Để A 1 1 1 0 0 0
 x 3 x 3 x 3 x 3
Mà 5 0 x 3 0 x 9. 
Kết hợp điều kiện x 0,x 9 0 x 9 
Vậy 0 x 9 thì A 1. 
 x 2 x 2 x 2 2 x 6 x 8
b) Để A 2 2 2 0 0 0
 x 3 x 3 x 3 x 3
 8 x 0 x 8 x 64
TH1: 9 x 64 . 
 x 3 0 x 3 x 9
 8 x 0 x 8 x 64
TH2: (vô lí) loại 
 x 3 0 x 3 x 9
Vậy 9 x 64 thì A 2 . 
Dạng 5. So sánh biểu thức A với một số hoặc một biểu thức. 
- Thực chất đây là việc đi xét hiệu của biểu thức A với một số hoặc một biểu thức rồi so
sánh hiệu đó với số 0.
 2x 1
Ví dụ minh họa: Cho A , điều kiện xác định x 0. 
 x 1
a) So sánh A với 2.
b)So sánh A với 1.
 Hướng dẫn giải 
 2x 1 2 x 1 2 x 2 1
a) Xét hiệu A 2 2 
 x 1 x 1 x 1
 1
Có x 0 x 0 x 1 0 và 1 0 0 A 2 0 A 2 .
 x 1 Hướng dẫn giải 
 x 3 5 5
 Có A 1 . Để A nhận giá trị nguyên là số nguyên 
 x 2 x 2 x 2
 x 2 là ước của 5 x 2 1; 1;5; 5 
 x 2 1 -1 5 -5
 x 3 1 7 -3
 x 9 (loại) 1 (thỏa mãn) 49(thỏa mãn) loại 
 Vậy x 1;49 thì A có giá trị nguyên 
 Dạng 8. Tìm giá trị của biến x là số thực, số bất kì để biểu thức A có giá trị nguyên 
 - Học sinh thường nhầm lẫn cách làm của dạng này với dạng tìm giá trị của biến x là số
 nguyên, số tự nhiên để biểu thức A có giá trị nguyên.
 - Cách làm: sử dụng ĐKXĐ để xét xem biểu thức A nằm trong khoảng giá trị nào, rồi tính
 giá trị của biểu thức A và từ đó tìm giá trị của biến x.
 2x 1
 Ví dụ minh họa : Cho A , điều kiện xác định x 0.Tìm x để A có giá trị nguyên. 
 x 2
 Hướng dẫn giải 
 2x 1 5
Cách 1: Có A 2 
 x 2 x 2
 5 5
 Có x 0 x 0 x 2 0 0 2 2 A 2
 x 2 x 2
 5 5 5 1 1
 Lại có x 0 x 0 x 2 2 2 A 
 x 2 2 x 2 2 2
 1
 Vậy A 2 mà A A 0;1
 2 Dạng 9. Tìm giá trị của tham số để phương trình hoặc bất phương trình có nghiệm 
- Học sinh cần biết cách tìm điều kiện để phương trình hoạc bất phương trình có nghiệm.
+ Học sinh đưa biểu thức chưa căn về dạng bậc hai sử dụng điều kiện để phương trình bậc
hai có nghiệm
+Cô lập tham số m , tìm miền giá trị của vế chứa biến x rồi suy ra điều kiện để phương
trình có nghiệm thì biể thức chứa tham số m nằm trong miền giá trị của vế chứa biến x
Ví dụ minh họa 1: Cho A x x , điều kiện xác định x 0;x 1. Tìm m để phương trình 
A m có nghiệm x . 
 Hướng dẫn giải 
 2
 1 1 1 1
Có A m x x m x x m x m . 
 4 4 2 4
 2 2
 1 1 1 1
Do x 0 x x 0 m 0 
 2 4 2 4
Vì x 0;x 1 x 1 x x 2 m 2
Vậy m 0;m 2 thì phương trình A m có nghiệm x . 
 x x 1
Ví dụ minh họa 2: Cho A , điều kiện xác định x 0; x . Tìm m để phương 
 3x 1 9
trình A m có nghiệm x . 
 Hướng dẫn giải 
 x x
Có A m m x (1 3 m ) x m 0 (1) 
 3 x 1
 1 1
Đặt t x , có x 0; x t 0;t 
 9 3
(1) t2 (1 3 m ) t m 0 (2)
Vì a 1 khác 0 (2) luôn là phương trình bậc hai
Ta có: (1 3m )2 4 m 9 m2 10 m 1
 1
 (1) Có nghiệm khi (2) có ít nhất một nghiệm t 0 và t 
 3
TH1: Phương trình (2) có nghiệm khi t = 0 m = 0 
 1
TH2: Phương trình (2) có nghiệm kép t 0; t 
 3 Vì x 0 x 0 
 m
=> Để phương trình A m có nghiệm thì phương trình (2) cần có 0 (3) 
 1 m
 x
Vì 0 m 0
 x 1
Từ (3) suy ra 1 m 0 m 1 
Vậy với 0 m 1 thì phương trình A m có nghiệm. 
Dạng 10. Tìm giá trị của biến x để A A (hoặc A AAA; ;...) 
- Nếu A A A < 0
- Nếu A A A 0
 x 1
Ví dụ minh họa: Cho A , điều kiện xác định x 0 . Tìm x biết
 x
a) A A
b) A A
 Hướng dẫn giải 
 x 1
a) Có A A A < 0 0
 x
 x 1
Mà x 0 x 0 0 x 1 0 x 1. 
 x
Kết hợp điều kiện ta có 0 x 1 thì A A
 x 1
b) Có A A A 0 0
 x x 2
b) Có B x3 x 4 . A x 1 x 4 . x 4 x 2 x 2 x 8 
 x 1 
 2
x 2 x 1 9 x 1 9 . 
 2 2
Có x 1 0 x 1 9 9 B 9. 
 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 9 . Dấu “=” xẩy ra x 1 0 x 1 x 1. 
 1 1
c) Có C x 1 A x 2 x 1 1 
 x 1 x 1
 1
Có x 0 x 0 x 1 0 và 0 
 x 1
 1
Áp dụng bât đẳng thức Cô – si với 2 số dương x 1 và ta có: 
 x 1
 1 1 
 x 1 2 x 1 . 
 x 1 x 1 
 1 1
 x1 2 x 1 1 3 C 3. 
 x 1 x 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của C bằng 3. 
 1 2
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x 1 = x 1 1 x 1 1 x 0. 
 x 1
Dạng 12: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A khi x N . 
+ Học sinh chú ý bài toán thường cho dưới dạng điều kiện xác định x a, x b trong đó
a b . Ta phải tính giá trị với x là các số tự nhiện thuộc a;b và trường hợp x là số tự
nhiên lớn hơn b .