Chuyên đề Rút gọn biểu thức chứa căn và các bài toán liên quan - Toán 9

 CHUYÊN ĐỀ 
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN 
 VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN 
 VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 
 Các công thức biến đổi căn thức 
 2 A nÕu A≥ 0
 1. AA= =  
 −A nÕu A < 0
 2. AB= A. B (Với AB≥≥0; 0 ) 
 AA
 3. = (Với AB≥>0; 0 ) 
 B B
 4. AB2 = A B (Với B ≥ 0) 
 5. A B= AB2 (Với AB≥≥0; 0 ) 
 6. A B= − AB2 (Với AB<≥0; 0 ) 
 A 1
 7. = AB (Với AB≥>0; 0 ) 
 BB
 A AB
 8. = (Với B > 0 ) 
 B B
 ±
 C C( AB) 2
 9 = (Với A ≥≠0; A B ) 
 AB± AB− 2
 C CA()± B
 10 = (Với AB≥≥≠0; 0; A B ) 
 AB± AB−
 3
 11 ()3 A=3 AA3 = 
 Cách tìm điều kiện trong bài toán chứa căn thức 
 BIỂU THỨC - ĐKXĐ: VÍ DỤ 
 1. A ĐKXĐ: A ≥ 0 Ví dụ: x − 2018 ĐKXĐ: x ≥ 2018 
 A x + 4
 2. ĐKXĐ: B ≠ 0 Ví dụ: ĐKXĐ: x ≠ 7 
 B x − 7
 A x +1
 3. ĐKXĐ: B > 0 Ví dụ: ĐKXĐ: x > 3 
 B x − 3
 A x x ≥ 0
 4. ĐKXĐ: AB≥>0; 0 Ví dụ: ĐKXĐ:  ⇔>x 3 
 B x − 3 x > 3 2 4 44  4
 Xét T=+−−+− 8 21 2.8 21.8 −−+−− 21  8 21 
  
 =284 − 2 8 −−() 2 1
 =−+284 2 2 1
 4
 =2 8 −+ 21 
 
 4
 ⇒=T 2 8 − 21 +
 
 ⇒=A2
Thí dụ 4. (Trích đề thi HSG Phú Thọ năm 2012-2013) 
 2 10+−− 30 2 2 6 2
 Rút gọn biểu thức: A= : 
 2 10−− 2 2 3 1
 Lời giải 
 2 10+−− 30 2 2 6 2
 Ta có: : = 
 2 10−− 2 2 3 1
 22(51)6(51)31−+−−+ 2 3 31 −+ 423 31 −+− 31 31 1
 .= . = .. = =
 2 2( 5− 1) 2 2 2 4 2 2 22
Thí dụ 5. (Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017)
 43+ +− 43
 Tính giá trị của biểu thức N = +−27 10 2
 4+ 13 
 Lời giải 
 2( 4+ 3 +− 4 3)
 Ta có: N= +−25 10 2 + 2 
 8+ 2 13
 2( 4+ 3 +− 4 3)
 = +−(5 2)2 
 (43)24343(43)+ + + − ++
 2(4343)+ +− 2(4343) + +−
 = +(52) −2 = +− 52
 ( 4+ 3 +− 4 3)2 43+ +− 43 
 =25 +− 25 =
 Thí dụ 6. (Trích đề thi Chọn HSG tỉnh Long An năm 2012) 
 2−+− 3 4 15 + 10
 Không sử dụng máy tính, hãy thực hiện phép tính:A = 
 23− 3 5 a) A= 5 −− 3 29 − 12 5 b) B =33 70 − 4901 + 70 + 4901 
 Lời giải 
 2
 a) A= 5 −− 3 29 − 12 5 = 5 −− 3() 2 5 − 3
 =5 −() 51 −= 1
 33
 b) Đặt x0 =− 70 4901 ++ 70 4901 
 3
 3 33
 ⇒=x 70 − 4901 + 70 + 4901
 0 
 33 3 3
 =−70 4901 ++ 70 4901 + 3 70 − 4901. 70 + 4901 70 − 4901 + 70 + 4901
 
 =140 + 3x
 Khi đó ta có: 
 32
 x+ 3x − 140 =⇔− 0 x 5 x ++ 5x 28 = 0 
 00() 0()
 2
 Mà x00+ 5x + 28 > 0() do ∆< 0 ⇒ x 0 = 5 
 Vậy B = 5. 
 2++++ 3 6 84
Thí dụ 10. Rút gọn biểu thức: P =
 ++
 234 
 Lời giải 
 Ta có: 
 2++++ 3 6 84 ( 232468+++++) ()
 P = =
 234++ 234 ++
 ()234++ +() 468 ++( 234 ++) + 2234() ++ 
 = =
 234++ 234 ++
 =12 + 
 Dạng 2: Dùng ẩn phụ đơn giản hóa bài toán 
 1
 7 −
 2 67
Thí dụ 1. Rút gọn biểu thức: A7= −−4 7 + + .
 4 4
 74 11 343
 7 − 774 +
 7 7
  
 Lời giải 
 Đặt a=4 7a7 ⇒=4 và a72 = ta có: Với k∈≥ N,k 1: 
 1()k1+ kkk1 −+() k1 + kkk1 −+ 11
 = = = −
 2 .1() 
 ()k1+ kkk1 ++()()k1.kkk1+−+2 kk()+ 1 k k1 +
 Áp dụng (1) với k = 1, 2, 3,....., 1999 ta được 
 1 11
 = − ;
 21+ 12 1 2
 1 11
 = − ;
 32+ 23 2 3 
 −−−−−−−−−−−−−
 1 11
 = − .
 2000 1999+ 1999 2000 1999 2000
 Cộng các đẳng thức trên theo vế ta được: 
 11 1 1
 S= + ++ .... +
 2 1++ 1 2 3 2 2 3 1999 1998 + 1998 1999 2000 1999 + 1999 2000
 1111 1 1
 = − + − ++..... −
 1 2 2 3 1999 2000
 11
 = −
 1 2000
 2000− 1
 = 
 2000 
 20 5− 1
 =
 20 5
Thí dụ 2. Rút gọn: 
 111 111 1 1 1 1 1 1
 A=++++++++ .... + ++ + .
 1222222222222 2 3 1 3 4 1 1998 1999 1 1999 2000
 Lời giải 
 ∈≥
 Với k N,k 2 : 
 2
 11 1 1 2 2 2
 +−=+++− −
 1122 
 k1−− k()k1− k k1()k− 1k k
 1 1 2 2 22
 =+ + + − +−
 1 22
 ()k1− k k1−− k1 k k
 2
 1 1 11
 ⇒+ + = + −
 1122 
 ()k1− k k1− k
 1 1 11
 ⇒+ + =+ −
 122 11()
 ()k1− k k1− k 1 ()kk+−1
Mặt khác ta có: = =kk +−1 
 kk++1 ()k++11 kk() +− k
Suy ra AB+ =()2 − 1 +() 3 − 2 + ... +() 81 − 80 = 81 −= 1 8 . Do AB> suy ra 
2A>+=⇔> AB 84 A . 
 11 1 1
 b) Để ý rằng: −= < với mọi k nguyên dương. 
 k k++1kk(+ 1)() k ++ 1 k 21 kk
 1 11   1 1  1 
Suy ra VT >21 − + 2 −  ++ ..2  −  = 21 − . 
 2 23  nn++ 1  n 1 
 1111 1
 c) Đặt P =+++++... 
 1234 n
 2 12 2
Ta có: <= < với mọi số tự nhiên n ≥ 2 . 
 nn++12 n n nn +− 1
 222
Từ đó suy ra 21()n+− n = < < = 2() nn − − 1 hay 
 n++12 n n nn + − 1
 2
21()n+− n < < 2() nn − − 1 
 n
Do đó: −+−+++−< và 
 2() 2 1() 3 2 ...()n 1 nT
 <+ − + − + − − . 
T1 2() 2 1() 3 2 ....() nn 1
Hay 22nTn−< < 21 −. 
Thí dụ 5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 2 , ta có: 
14710 3nn−+ 23 1 1
 . . . .... . < . 
3 6 9 12 3nn 3+ 3 31n +
 Lời giải 
Để ý rằng các phân số có tử và mẫu hơn kém nhau 2 đơn vị, nên ta nghĩ đến đẳng thức 
 nn−1 14710 3nn−+ 23 1
 . Kí hiệu P = . . . .... . . Ta có: 
nn+ 2 3 6 9 12 3nn 3+ 3
 2 147103nn−+ 23 1 147103 nn −+ 23 1
P = . . . ... . . . . ... .
 3691233336912333nn++ nn