Chuyên đề Rút gọn biểu thức - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 DẠNG I: RÚT GỌN BIỂU THỨC
Câu 1: (4 điểm)Cho biểu thức: 
 1 x 3 x
 P = x x 1 
 x 1 x x 1
 a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn P.
 b. Tìm giá trị của x khi P = 1.
Câu 2:(4,0 điểm). Cho biểu thức: 
 2 5 x 1 x 1
 A 1 ( ) :
 1 2 x 4x 1 1 2 x 4x 4 x 1
 a) Rút gọn A;
 b) Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên;
 c) Tính giá trị của A với 
 x 7 3 49(5 4 2)(3 2 1 2 2 )(3 2 1 2 2 ) .
Bài 3: (4,0 điểm)
 x2 x 2x x 2 x 1 
Cho biểu thức: P .
 x x 1 x x 1
 a. Rút gọn P.
 b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
 2 x
 c. Xét biểu thức: Q , chứng tỏ 0 < Q < 2.
 P
 2 x 9 2 x 1 x 3
Bài 4: (4,0 điểm) Cho A (x 0, x 4, x 9)
 x 5 x 6 x 3 2 x
 a) Rút gọn biểu thức A.
 1
 b) Tìm giá trị của x để A = .
 2
Câu 5:(4,0 điểm). Cho biểu thức: 
 2 5 x 1 x 1
 A 1 ( ) :
 1 2 x 4x 1 1 2 x 4x 4 x 1
 a) Rút gọn A;
 b) Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên;
 c) Tính giá trị của A với 
 x 7 3 49(5 4 2)(3 2 1 2 2 )(3 2 1 2 2 ) .
Bài 6: (4,0 điểm). x 1 2 x 
 A 1 : .
 x 1 x 1 x x x x 1 
a.Rút gọn A.
b.Tính A biết x 4 2 3.
c.Tìm x để A > 1.
 3m 9m 3 m 2 1
Bài 14. Cho biểu thức : P 1.
 m m 2 m 1 m 1
a.Rút gọn P.
b.Tìm m để P 2.
c.Tìm m N để P N.
 1 3 2
Bài15. Cho biểu thức : P = 
 x 1 x x 1 x x 1
 a.Rút gọn P
 b.Chứng minh 0 P 1.
 2
 x 2 x 1 x 1 
Bài 16. Cho biểu thức: M = x 2 
 x 1 2
 a.Tìm điều kiện của x để M có nghĩa.
 b.Rút gọn M.
 1
 c.Chứng minh M 
 4
 2 x 4x2 2 x x2 3x
Bài 17. Cho biểu thức : D = : 
 2 x x2 4 2 x 2x2 x3
a) Rút gọn biểu thức D.
b) Tính giá trị của D khi x 5 = 2.
 a 1 a 1 1 
Bài 18. Cho biểu thức : A = 4 a a .
 a 1 a 1 a 
a.Rút gọn A.
b.Tính A với : a = 4 15 10 6 4 15 
 2 a 9 a 3 2 a 1
 Bài 19. Cho : A = .
 a 5 a 6 a 2 3 a HƯỚNG DẪN
 Điều kiện để P xác định và rút gọn
 x 0 x 0 0,5
 x 1 0 x 1 x > 1
 x 1
 x 1 0 
 0.5
 x 1 x x x x
 P = x x 1 
 a x 1 x x 1 0.5
 x x 1 0.5
 = x x 1 x 1 x 
 x 1
1
 = 2 x 1 x
 Với x > 1, P = 1 2 x 1 x = 1 0.5
 ( x - 1 ) - 2 x 1 = 0 
 0.5
 Đặt x 1 = t ( t 0 ), ta có : t2 - 2t = 0 t( t - 2 ) = 0,
 b
 tính được t1 = 0 , t2 = 2. 0.5
 * Với t = x 1 = 0 x = 1 (bị loại vì x > 1) 
 0.5
 * Với t = x 1 = 2 x - 1 = 4 x = 5. 2
 2 x 2 x 1 
 Xét 2 0 0,25
 x x 1 x x 1 0,25
 Dấu bằng không xảy ra vì điều kiện x 1 . 0,25
 Nên Q < 2.(2)
 Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2.
 2 x 9 2 x 1 x 3
 a(2,0đ) A 
 ( x 3)( x 2) x 3 x 2
 2 x 9 (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3)
 0,5
 ( x 3)( x 2)
 2 x 9 2x 4 x x 2 x 9 x x 2
 0,5
 ( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2)
 ( x 2)( x 1) x 1 0,5
 ( x 3)( x 2) x 3
 4
 x 1
 Vậy A với (x 0, x 4, x 9) . 0,5
 x 3
 b(2,0đ) Với (x 0, x 4, x 9) Ta có: 
 1 x 1 1
 A 2 x 2 x 3
 2 x 3 2 0,5
 1
 3 x 1 x (t / m)
 9 1,0
 1 1
 Vậy A = x = .
 2 9 0,5
Câu 5 4,0 đ
 1
 a. ĐK: x 0; x ; x 1 0,5 đ
(2,0đ) 4
 2 5 x 1 x 1
 A = 1 - : 2 0,5 đ
 2 x 1 2 x 1 (2 x 1) 2 x 1 
 2 x 1 
 4 x 2 5 x 2 x 1 (2 x 1)2
 A = 1 - . 0,5 đ
 (2 x 1)(2 x 1) x 1
 x 1 2 x 1 2 x 1 2
 A = 1 - . 1 
 2 x 1 x 1 2 x 1 1 2 x 0,5 đ
 2
 b. A Z Z
(1,0đ) 1 2 x 0,25 
 2 đ
 Do Z nên 1 2 x là số hữu tỉ.
 1 2 x 0,25 
 Suy ra x là số chính phương, do đó 1 2 x Z =>1 2 x Ư(2) đ
 Do x 0; x 1; x Z và1 2 x Ư(2) => x = 0
 Vậy x = 0 thì A có giá trị nguyên. (x 9) (4 x) (9 x) x 3 4 x 2 x
 P . P .
 (2 x )( x 3) x (2 x ) x x
 2 x 2 2
b).Theo câu a ta có: P 1 . Do đó để P Z thì ta cần Z 
 x x x
 x 1
 x 2 (lo¹i)
 x = 1.Vậy với x = 1 thì P có giá trị nguyên.
 2
Bài 9: . a)Ta có: 3x 2 3x 4 3x 1 3 0;1 3x 0,x 0 , nên điều kiện 
 3 4
để A có nghĩa là 3x 8 3x 2 3x 2 3x 4 0, x 0 3x 2 0 x 
 3
 3 
 6 x 4 3x 1 3x 
 A 3x . 
 3 
 3x 23 3x 2 3x 4 1 3x 
 6x 4 3x 2 3x 
 A 3x 3x 1 3x 
 3x 2 3x 2 3x 4 
 2
 3x 4 2 3x 3x 1 4
 A 3x 2 3x 1 . A ( 0 x )
 3x 2 3x 2 3x 4 3x 2 3
 2 2
 3x 1 3x 2 2 3x 2 1 1
 A 3x 
 3x 2 3x 2 3x 2
b).Với x là số nguyên không âm, để A là số nguyên thì 
 3x 3 3x 9
 3x 2 1 x 3 (vì x Z và x 0 ). Khi đó: A 4
 3x 1 3x 1
 2 a 1 2 a 
Bài 10: 1. Điều kiện: a 0. A = 1 : 
 a 1 1 a a a a a 1 
 a 2 a 1 1 2 a ( a 1) 2 a 1 2 a ( a 1) 2 (1 a)(a 1)
 : : 
 2
 a 1 1 a (a 1)(1 a) a 1 (1 a)(a 1) (a 1)( a 1)
 1 a
 2
Bài11.a) Ta có: 3x 2 3x 4 3x 1 3 0;1 3x 0,x 0 , nên điều kiện để 
 3 4
A có nghĩa là 3x 8 3x 2 3x 2 3x 4 0, x 0 3x 2 0 x 
 3
 3 
 6 x 4 3 x 1 3 x 
 A 3 x . 
 3 
 3 x 2 3 3 x 2 3 x 4 1 3 x 
 6 x 4 3 x 2 3 x 
 A 3 x 3 x 1 3 x 
 3 x 2 3 x 2 3 x 4