Chuyên đề Quy tắc tính đạo hàm, công thức đạo hàm - Đại số Lớp 11

GIẢI TÍCH 11. 
BÀI 2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương 
Cho các hàm số u u x và v v x có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có: 
1. u v ''' u v 2. u v ''' u v 
 u u v v u 1 v 
3. u.''' v u v v u 4. 22 
 v v v v
Mở rộng: 
1. u1 u 2 ... unn u 1 u 2 ... u . 2. u. v .w u . v .w u . v .w u . v .w 
2. Đạo hàm của hàm số hợp 
Cho hàm số y f u x f u với u u x . Khi đó: y''.'x y u u x 
3. Bảng công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản 
 Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm hợp u u x 
 c 0 , c là hằng số 1 u 
 2
 uu
 x 1
 u 
 u 
 11 2 u
 2
 xx
 u .. u u 1
 1
 x 
 2 x 
 xx . 1
Chú ý: Với các hàm số đã cho trong bảng được xác định với điều kiện đầy đủ. 
 II CÁC DẠNG BÀI TẬP. 
 = 
Phương pháp chung: 
- Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết. 
- Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức. 
- Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.. 
 II CÁC DẠNG BÀI TẬP. 
 = 
 DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM CỦA TỔNG HIỆU, TÍCH THƯƠNG CÁC HÀM 
 SỐ 
 1
 . xx 1 2
 x 1 2 x 4 x 1 x 4 x
 2 x . 
 2 2 2
 x 1 2 x x 1 2 x x 1 
 1
Vậy đạo hàm của hàm số tại x 1 là : y 1 . 
 2
 Câu 3 
 Chứng minh các công thức tổng quát sau 
 a) ; ( là hằng số) . 
 b) ; ( là hằng số) . 
 Lời giải 
 2 2 2 2
 ax2 bx c ax bxc .. ax1 bxc 1 1 ax bxc ax 1 bxc 1 1 
a) 
 22
 a1 x b 1 x c 1 2
 a1 x b 1 x c 1 
 22
 2axb . ax1 bxc 1 1 ax bxc . 2 axb 1 1 
 = 
 2 2
 a1 x b 1 x c 1 
 2
 ab.1 abx 1 . 2 ac . 1 acx 1 . bc . 1 bc 1 . 
 = . ( đpcm) 
 2 2
 a1 x b 1 x c 1 
 '
 22'
 ax2 bx c ax bxc .. axb1 1 ax bxc axb 1 1 
b) 
 a x b 2
 11 a11 x b 
 2
 2ax b . a1 x b 1 ax bx c . a 1
 2 . 
 a11 x b 
 a. a x2 2 a . b x b . b a . c 
 1 1 1 1 .( đpcm) 
 2
 a11 x b 
 Câu 4 
 Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 
 a) với ; b) tại ; 
 Lời giải 
 DẠNG 2: TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP. 
tynguyen1002@gmail.com 
FB: Tý Nguyễn 
Phương pháp: 
Ta sử dụng định lý sau: 
 Nếu hàm số u g x có đạo hàm tại x là u x và hàm số y f u có đạo hàm tại u là yu thì 
hàm hợp y f g x có đạo hàm tại x là y x y u . u x . 
 Từ đó, ta có các công thức đạo hàm của hàm hợp thường gặp: với u u x 
 unn nu.. 1 u n 
 u 
 u 
 2 u
 1 u 
 2 
 uu
I. VÍ DỤ MINH HỌA. 
 Ví dụ 1 
 Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
 a) . 
 b) . 
 c) . 
 Lời giải 
a) Ta có: y 2 x7 x . x 7 x 2 x 7 x 7 x 6 1 . 
 44
b) Ta có: y 5 1 x33 1 x3 15 x2 1 x . 
 522 5 10 5
c) Ta có: y 3 4 x 2 4 x 2 3 4 3 4 x 2 . 
 x x x x 
 Ví dụ 2 
 Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
 a) . 
 b) . 
 Lời giải 
 2 
 12 xx 1 x
a) Ta có: y . 
 2 1 2x x22 1 2 x x
 Ví dụ 5 
 Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
 a) với là tham số. 
 b) . 
 Lời giải 
 x2
 ax22 
 22 a2
a) Ta có: y ax . 
 22 3
 ax ax22 
 3 2
 x 2 32 x 32x 
b) Ta có: y .
 33 
 2 xx 2 2 2 2
 Ví dụ 6 
 Cho hàm số , tính . 
 Lời giải 
 x
 4 xx2
 4 x2 4 1
Ta có: y 23. Suy ra y 0 . 
 44 xx22 2
 Ví dụ 7 
 Cho hàm số , tính . 
 Lời giải 
 3x2 2 x 1 .2 3 x 3 2 x 2 1 3 x 2 2 x 1 . 2 3 x 3 2 x 2 1 
Ta có: y 
 2 
 2 3xx32 2 1 
 94xx2 
 6x 2 2 3 x3 2 x 2 1 3 x 2 2 x 1 
 3xx32 2 1
y 2 . 
 2 3xx32 2 1 
 3 2 2 2
 1243x x 2 x 19 x 43 x x 21 x 9xx2 8 4
y . 
 4321321 x3 x 2 x 3 x 2 4321 x 3 x 2 
 4
Suy ra: y 01 . 
 4
 DẠNG 2: Ý NGHĨA VẬT LÝ CỦA ĐẠO HÀM – PHƯƠNG TRÌNH, BẤT 
 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ĐẠO HÀM. 
PHẦN 1: Ý NGHĨA CƠ HỌC 
Ý NGHĨA VẬT LÝ: 
1. Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s f t , với ft là hàm 
số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số 
 tại . 
 v t0 s t 0 f t 0 
2. Cường độ tức thời: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:Q f t , 
với ft là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo 
hàm của hàm số Q f t tại t0 . 
 I t0 Q t 0 f t 0 
 Ví dụ 1 
 Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là: (t được tính 
 bằng giây, s được tính bằng mét). Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm bằng 
 A. 5 (m/s). B. 12 (m/s). C. 4 (m/s). D. 6 (m/s). 
 Lời giải 
Chọn C 
 t22 t 66 t t 
 f t f t0 00 
Ta có: lim lim lim t t00 1 2 t 1 . 
 t t t t t t
 0t t00 0 t t 0
Vậy f t00 24 t . 
Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t 2 là vftt 2 2.2 1 5 (m/s). 
 Ví dụ 2 
 Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số (t 
 được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb). Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn 
 tại thời điểm . 
 A. (A). B. (A). C. (A). D. (A) 
 Lời giải 
Chọn A 
 5t22 8 t 5 5 t 8 t 5
 Q t Q t0 00 
Ta có: lim lim lim 5 t t00 8 10 t 8 . 
 t t t t t t 
 0t t00 0 t t 0
Vậy Q t00 10 t 8.