Chuyên đề Quan hệ vuông góc trong không gian - Toán 11

 Mục lục 
 Bài 01. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 
 A. Lý thuyết 
 1. Góc giữa 2 đường thẳng ........................................................................................................... 3 
 2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian ................................................................. 3 
 B. Bài tập 
 Bài 02. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG 
 A. Lý thuyết 
 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ............................................................................. 6 
 2. Liên hệ giữa tính song song – vuông góc của đường thẳng & mặt phẳng ............... 8 
 3. Phép chiếu vuông góc .............................................................................................................. 9 
 4. Định lý ba đường vuông góc ................................................................................................. 9 
 5. Góc giữa đường thẳng & mặt phẳng .................................................................................. 10 
 6. Kiến thức bổ trợ ........................................................................................................................ 10 
 6.1. Một số mô hình thường gặp ........................................................................................... 10 
 6.2. Các hệ thức lượng trong tam giác ................................................................................ 11 
 6.3. Các chú ý khác .................................................................................................................. 12 
 B. Bài tập 
  Dạng 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng .......................................... 13 
  Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc ......................................................... 15 
 C. Luyện tập 
 Dạng: Chứng minh vuông góc .................................................................................................. 16 
 Dạng: Góc giữa đường mặt ....................................................................................................... 18 
 Bài 03. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 
 A. Lý thuyết 
 1. Góc giữa hai mặt phẳng ......................................................................................................... 21 
 2. Hai mặt phẳng vuông góc ..................................................................................................... 21 
 3. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc .............................................................. 22 
 4. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương ........................................... 23 
 Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 1 QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 
 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 
 A Lý thuyết 
1. Góc giữa 2 đường thẳng 
 Định nghĩa: 
 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian, kí hiệu , là góc giữa hai đường 
 thẳng và cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với và . 
 Nhận xét 
 ⑴ Xác định góc giữa đường thẳng và ta có thể lấy điểm thuộc một trong hai đường 
 thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua và song song với đường thẳng còn lại. 
 ⑵ Với hai đường thẳng và bất kì: . 
 Để tính số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 ta có thể thực hiện tính thông qua 
 góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho. 
 dd, 
  12 
 Bước 1. Sử dụng tính chất sau: d1,, d 2 d 1 d 3 
 dd23//
  Bước 2. Áp dụng định lí côsin trong tam giác để xác định góc. 
2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian 
 Định nghĩa: 
 Hai đường thẳng và được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng . 
 Kí hiệu . 
 Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 3 Bài 15. Cho tứ diện ABCD có AB AC AD a, BAC BAD 60  và CAD 90 . Gọi M là 
 trung điểm của BC . Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AB và DM . 
Bài 16. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , cạnh AB 2 a , 
 23a
 AD DC a, SA AB, SA AD ,SA . 
 3
 ⑴ Tính góc giữa hai đường thẳng SB và DC . 
 ⑵ Tính góc giữa hai đường thẳng SD và . 
Bài 17. Cho tứ diện đều cạnh a . Gọi MNP,, là trung điểm các cạnh AC, BC và BD . 
 ⑴ Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng MNP và ACD . 
 ⑵ Tính góc giữa hai đường thẳng và CD . 
 --------------------Hết-------------------- 
 Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 5  Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng 
 Định nghĩa: 
 Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông 
 góc với đường thẳng là mặt phẳng trung trực của đoạn 
 thẳng . 
 Nhận xét: là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng 
 . 
 Trục của đa giác 
 Định nghĩa: 
 Trục của đa giác là đường thẳng qua tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác và vuông 
 góc với mặt phẳng chứa đa giác đó. Nếu một điểm nằm trên trục của đa giác thì nó 
 cách đều các đỉnh của đa giác. 
 Tam giác thường Tam giác đều Tam giác vuông 
Chứng minh: 
 Cho đa giác có n đỉnh AAA12 n . 
 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác và d là trục của đa giác. 
 Lấy điểm Id . 
 Khi đó: IOA12 IOA IOAn ( vuông có 2 cạnh bằng nhau) IA12 IA IAn 
 Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 7 Định lý 5: 
 ⑴ Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì 
 nó vuông góc với bất kì đường thẳng nào song song 
 với mặt phẳng ấy. 
 Tóm tắt: 
 ⑵ Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa 
 đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường 
 thẳng khác thì chúng song song với nhau. 
 Tóm tắt: 
3. Phép chiếu vuông góc 
 Định nghĩa: 
  Cho đường thẳng vuông góc với . Phép chiếu 
 song song theo phương của lên được gọi là 
 phép chiếu vuông góc lên . 
  là hình chiếu vuông góc (gọi tắt là hình chiếu) của 
 lên nếu và . 
4. Định lý ba đường vuông góc 
 Định lý 6 (định lý ba đường vuông góc): 
  Cho nằm trong và không thuộc đồng thời 
 không vuông góc với . 
  Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . 
  Khi đó . 
 Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 9 ABCD M
 là hình chiếuBC của S lên . 
 Các tam giác SAB, SAC , SAD vuông tại . A
 Đặc biệt: Nếu là hình vuông hoặc hình 
 thoi thì AC vuông góc . 
⑸. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có góc A vuông và SA vuông với đáy. 
 BD
 là hình chiếu của lên . 
 Các tam giác vuông tại . 
 Đặc biệt: Nếu AD 2 BC : 
 + Gọi I là trung điểm AD thì CI AD. 
 + Trong trường hợp thêm AB BC thì AC CD. 
 6.2. Các hệ thức lượng trong tam giác 
⑴. Tam giác ABC vuông tại A: 
 11
 S a  h b. c 
 ABC 22
 2 2 2
 a b c (định lý Pitago) 
 2
 b  b a 
 2
  
 c c a 
 2
 h  b c AC
 sinBC cos 
 a h b. c BC
 1 1 1 AB
 cosBC sin 
 h2 b 2 c 2 BC
 bb 2 AC
 tanBC cot 
 c c2 AB
 1 AB
 AM BC với là trung điểm . cotBC cot 
 2 AC
⑵. Tam giác thường: 
 Định lí côsin: 
 a2 b 2 c 2 2 bc cos A
 b2 c 2 a 2 2 ca cos B 
 c2 a 2 b 2 2 ab cos C
 Tính cosin 1 góc: 
 Diện tích tam giác 
 Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 11