Chuyên đề Quan hệ song song - Quan hệ vuông góc Hình học Lớp 12

 Hình học không gian, lớp 11 
 PHẦN 1: QUAN HỆ SONG SONG 
A. LÝ THUYẾT 
 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 
1. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian: 
Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian 
 Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. 
 Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường 
thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. 
 Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng. 
 Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt. 
2. Điều kiện xác định mặt phẳng: 
 Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng (mp(ABC), (ABC)) 
 Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng (mp(A,d)) 
 Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (mp(a, b)) 
 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 
1. Hai đường thẳng song song 
a. Định nghĩa 
 a
 a,() b P
 a// b b
 a b  P
b. Tính chất 
 Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao 
tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song. 
 Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của 
chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. 
 Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. 
 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 
1. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: 
2. Định nghĩa: d // (P) d  (P) =  
3. Tính chất 
 Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và d song song với đường thẳng d nằm 
trong (P) thì d song song với (P). 
 Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt (P) 
thì cắt theo giao tuyến song song với d. 
 Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng 
cũng song song với đường thẳng đó. 
 Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song 
với b. 
 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 
1. Định nghĩa 
 (P) // (Q) (P)  (Q) =  
2. Tính chất 
 Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng 
(Q) thì (P) song song với (Q). 
 Trang 1 Hình học không gian, lớp 11 
D. Đường thẳng a hoặc song song hoặc trùng với đường thẳng d . 
Câu 8: Cho hai đường thẳng d và d 'song song với nhau. Các mặt phẳng ()P và ()Q tương ứng 
đi qua d và d ' đồng thời cắt nhau theo giao tuyến a thì: 
A. Đường thẳng a song song với đường thẳng d . 
B. Đường thẳng a song song với cả hai đường thẳng d và d '. 
C. Đường thẳng a trùng với đường thẳng d . 
D. Đường thẳng a hoặc song song hoặc trùng với đường thẳng d . 
Câu 9: Cho hai mặt phẳng ()P và ()Q song song với nhau. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng 
()P . Khi đó đường thẳng d có đặc điểm gì? 
A. d song song với ()Q . B. d cắt ()Q . 
C. d nằm trong ()Q . D. d có thể cắt ()Q hoắc nằm trong ()Q . 
Câu 10: Ta chỉ xét phép chiếu song song mà các đoạn thẳng hay đường thẳng không song song 
hoặc trùng với phương chiếu. Khi đó hình chiếu của một đoạn thẳng sẽ là: 
A. Một điểm. B. Một đoạn thẳng. 
C. Một đoạn thẳng bằng với đoạn thẳng đã cho. D. Một đường thẳng. 
Câu 11: Mệnh đề nào sau đây là sai?Qua một phép chiếu song song, hình chiếu của hai đường 
thẳng cắt nhau có thể là: 
A. Hai đường thẳng cắt nhau. B. Hai đường thẳng song song với nhau. 
C. Hai đường thẳng trùng nhau. D. Hai đường thẳng phân biệt. 
Câu 12: Trong không gian, 
A. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Nếu mặt phẳng ()P và đường thẳng a có 
giao khác rỗng thì ()P và đường thẳng b cũng có giao khác rỗng. 
B. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Nếu mặt phẳng ()P cắt đường thẳng a thì 
()P phải cắt đường thẳng b . 
C. Cho hai mặt phẳng ()P và ()Q song song với nhau. Nếu đường thẳng a song song với mặt 
phẳng ()P thì a phải song song với mặt phẳng ()Q . 
D. Cho hai mặt phẳng ()P và ()Q song song với nhau. Nếu đường thẳng a và mặt phẳng ()P 
có giao khác rỗng thì a và mặt phẳng ()Q cũng có giao khác rỗng. 
Câu 13: Cho tứ diện ABCD có MN, là hai điểm phân biệt trên cạnh AB . Khi đó ta có thể kết 
luận được gì về hai đường thẳng CM và DN ? 
A. Song song. B. Cắt nhau. C. Chéo nhau. D. Trùng nhau. 
Câu 14: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi MNP, , lần lượt là trung điểm 
của các cạnh AB, AD và SC . Khi đó mặt phẳng ()MNP không có điểm chung với cạnh nào sau 
đây? 
A. SB . B. SC . C. SD . D. SA . 
Câu 15: Cho hình chóp S. ABCD , các điểm M , N tương ứng thuộc các cạnh SC và AB . Khi đó, 
giao điểm T của MN với mặt phẳng (AB D) được xác định như thế nào? 
A. T NM S B . B. T NM  BD . 
C. T NM  S I trong đó I NC  BD . D. T là một điểm tùy ý trong mặt phẳng (SB D)
. 
Câu 16: Cho tứ diện ABCD , gọi G và G ' tương ứng là trọng tâm các tam giác BCD và BCA . Khi 
đó ta có thể kết luận được gì về hai đường thẳng AG và DG ' ? 
A. Cắt nhau tại một điểm. B. Cùng thuộc một mặt phẳng. 
C. Cùng thuộc một mặt phẳng và không cắt nhau. D. Không cùng thuộc 
một mặt phẳng. 
 Trang 3 Hình học không gian, lớp 11 
Câu 28: Cho lăng trụ ABC.''' A B C . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Mặt phẳng ()P đi qua M 
đồng thời song song với BC ' và CA ' . Thiết diện do mặt phẳng ()P cắt lăng trụ là đa giác có số 
cạnh bằng bao nhiêu? 
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. 
Câu 29:. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là tứ giác lồi và AD BC E . Các điểm M , N tương 
ứng thuộc các cạnh SA và SB sao cho DM CN I . Khi M , N tương ứng di động trên các 
đường thẳng SA và SB thì ta có thể kết luận được gì về điểm I ? 
A. Cố định. B. Di động trên đoạn thẳng SE . 
C. Di động trên đường thẳng SE . D. Di động tùy ý trong không gian. 
Câu 30: Cho hình lập phương ABCD.'''' A B C D cạnh a (các đỉnh lấy theo thứ tự đó), AC cắt BD 
tại O còn AC'' cắt BD'' tại O ' . Các điểm M , N, P theo thứ tự thuộc các cạnh BB ', CD' ', DA 
sao cho BM C' N DP b (0 b a ) . Khi đó mặt phẳng ()MNP sẽ song song với mặt phẳng 
nào dưới đây? 
A. (A ' OC ') B. (BDC ') C. (BDA ') D. ()BCD 
 PHẦN 2: QUAN HỆ VUÔNG GÓC 
A. LÝ THUYẾT 
 CHỦ ĐIỂM 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 
1.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 
Vectơ trong không gian có định nghĩa và các tính chất tương tự như vectơ trong mặt phẳng. 
Nhắc lại các kiến thức: 
1.1.1. Định nghĩa 
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Đó là một đoạn thẳng đã được chỉ rõ điểm 
đầu và điểm cuối. 
Ví dụ:  
Vectơ có điểm đầu là A điểm cuối là B được kí hiệu là: AB 
Ngoài ra vectơ còn được kí hiệu là a, x , u ,... 
1.1.2. Các quy tắc và công thức 
a. Quy tắc ba điểm       
Với ba điểm A, B, C bất kì ta có: AB BC AC; AB AC CB 
b. Quy tắc hình bình hành    
Cho hình bình hành ABCD ta có: AC AB AD 
c. Quy tắc hình hộp (bổ sung cho học sinh) 
Cho hình hộ  p ABCD.A’B’C’D’   có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD, AA’ và đường chéo AC’, 
ta có: AC AB AD AA' . 
d.Công thức trung điểm   
 IA IB 0
I là trung đi  ểm củ  a đoạn AB 
 MA MB 2 MI ,  M . 
e. Công thức trọng tâm    
 ABC GA GB GC 0
* G là trọng  tâm  của  
 MA MB MC 3 MG ,  M . 
     
 ABCD GA GB GC G D 0
*G là trọng  tâm  của tứ  diện  (bổ sung cho học sinh) 
 MA MB MC MD 4 MG ,  M 
Bài mới: 
 Trang 5 Hình học không gian, lớp 11 
2.2.1. Tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian 
 Nếu hai đường thẳng đó cắt nhau thì ta có thể áp dụng các phương pháp đã học trong hình 
học phẳng. 
 Dùng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian 
 Dùng công thức: 
  |u . v |
cos(a, b)= |cos (u , v ) | ( với ⃗, ⃗ lần lượt là vector chỉ phương của a và b) 
 |u | .| v |
2.2.2.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau 
 Nếu hai đường thẳng đó cắt nhau thì ta có thể áp dụng các phương pháp đã học trong hình 
học phẳng. 
 Dùng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian và chứng minh góc giữa chúng 
bằng 900 
 Chứng minh: ⃗. ⃗ = 0 với ⃗ à ⃗ lần lượt là vector chỉ phương của a và b 
CHỦ ĐIỂM 3: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 
3.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 
2.1.1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 
 Định nghĩa: Một đường thẳng a gọi là vuông góc với một mặt phẳng (P) nếu nó vuông góc với 
mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P). 
Kí hiệu: a  (P) hoặc (P)  a. 
Định lý cơ bản: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm 
trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). 
3.1.2. Các tính chất 
Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với 
một đường thẳng a cho trước. 
Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với 
một mặt phẳng (P) cho trước. 
 a b
 a// b 
Tính chất 3: b  () P a()// P a b 
 a () P 
 b () P
 ()()PQ 
 ()//()PQ 
Tính chất 4: a  () Q (P ) a ( P ) / /( Q ) 
 a () P 
 ()Q a
 a b
 a/ /( P ) 
Tính chấtt 5: a  b (P ) b a / /( P ) 
 b () P 
 a () P
3.1.3. Định lí ba đường vuông góc 
Phép chiếu vuông góc: là phép chiếu song song trong đó phương chiếu vuông góc với mặt 
phẳng chiếu. 
Định lí ba đường vuông góc: 
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P). Gọi 
a’ là hình chiếu vuông góc của a trên (P). B
 '
 Khi đó, a b a  b A
 Trang 7 A' B'
 b