Chuyên đề Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác Toán Lớp 7

 CHUYÊN ĐỀ 3. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC. 
 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC. 
 BÀI 1. QUAN HỆ GIỮA GĨC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Trình bày được định lí về quan hệ giữa gĩc và cạnh đối diện trong một tam giác. 
 + Áp dụng được định lí về quan hệ giữa gĩc và cạnh đối diện trong một tam giác để so sánh độ 
 dài các cạnh, số đo gĩc của tam giác đĩ. 
  Kĩ năng 
 + Biết vận dụng các định lí để giải quyết bài tốn. 
 + Vận dụng vẽ hình theo đúng yêu cầu bài tốn, nhận biết được các tính chất qua hình vẽ. 
 Trang 1 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuơng tại A, AB 3 cm , BC 5 cm . Hãy so sánh gĩc B và gĩc C. 
Hướng dẫn giải 
Vì ABC vuơng tại A, áp dụng định lí Pi-ta-go ta cĩ 
 BC2 AB 2 AC 2 AC 2 BC 2 AB 2 
 AC2 25 9 16 AC 4 cm AC AB . 
Do đĩ BC . 
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, đường cao AH, biết BH 5 cm , CH 7 cm . Hãy so sánh hai gĩc B và C. 
Hướng dẫn giải 
Vì HAB vuơng tại H và HAC vuơng tại H nên áp dụng định lí Pi-ta-go ta cĩ 
 AB2 BH 2 AH 2 25 AH 2 
 AC2 AB 2 AC AB. 
 2 2 2 2 
 AC CH AH 49 AH  
Xét ABC cĩ AC AB nên BC . 
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, tia phân giác của gĩc A cắt BC tại D, biết BD 2 DC . Chứng minh rằng 
 BC . 
Hướng dẫn giải 
Kẻ DE AB; DF  AC E AB , F AC . 
Xét ADE và ADF cĩ EF  90  , AD chung, 
 EAD FAD (do AD là tia phân giác). 
Do đĩ ADE ADF (cạnh huyền – gĩc nhọn) 
 AE AF
 hai cạnh tương ứng . 
 DE DF
Xét EBD cĩ E 90  , áp dụng định lí Pi-ta-go ta cĩ 
 Trang 3 
Dạng 2: So sánh hai cạnh trong một tam giác 
 Phương pháp giải 
- Để so sánh hai cạnh trong một tam giác, ta so Ví dụ: Cho tam giác ABC cĩ ABBC 2 ,   80 . Hãy 
sánh hai gĩc đối diện với hai cạnh đĩ. 
 so sánh các cạnh của tam giác ABC. 
- Sử dụng định lí: “Trong một tam giác, cạnh 
 Hướng dẫn giải 
đối diện với gĩc lớn hơn thì lớn hơn”. 
 Xét ABC ta cĩ ABC   180  . 
 Mặt khác BC  80  (giả thiết) 
 ABC 180    180   80 100  . 
 A 100
 Mà AB 2 nên B 50 . 
 2 2
 CB 80   80  50  30  
 A B C BC AC AB. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho ABC, biết ACAC  120  ,   40 . 
a) So sánh các cạnh của ABC 
b) Tia phân giác của gĩc A cắt BC ở D. So sánh độ dài các đoạn BD và CD. 
Hướng dẫn giải 
 ACA  120   80
a) Từ giả thiết, ta cĩ . 
 ACC  40   40
Mặt khác ABC   180  
 BACABC 180    180  80  40  60     . 
Do đĩ BC AC AB. 
 b) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE AB. 
Xét ABD và AED cĩ AB AE, BAD DAE (vì AD 
là tia phân giác của gĩc A), AD chung. 
Do đĩ ABD AED (c.g.c) AED ABD 60 (hai 
 Trang 5 
 ABC CNM MDC . 
Xét MBD cĩ BM DM MBD cân tại M 
 MBD MDB 
 ABC MBD MDC MDB 
hay DBC BDC DC BC. 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Cho tam giác ABC, biết ABBA  120  , 3 2  10 . Hãy so sánh độ dài các cạnh trong tam giác 
ABC. 
Câu 2: Cho tam giác ABC, biết ABC : : 1: 3 : 5. Hãy so sánh độ dài các cạnh của tam giác ABC. 
Câu 3: Cho tam giác ABC, H là chân đường cao hạ từ đỉnh A, H nằm giữa B và C, BAH CAH . Hãy so 
sánh độ dài các cạnh AB và AC của tam giác ABC. 
Câu 4: Cho tam giác ABC vuơng tại A, điểm M nằm giữa A và C. So sánh độ dài BM và BC. 
Câu 5: Cho tam giác ABC, BC  hai đường cao BD và CE. Chứng minh rằng AC AB CE BD. 
 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 
Dạng 1. So sánh hai gĩc trong một tam giác 
Câu 1. 
Xét ABC, cĩ AB 23 cm , AC 25 cm , BC 30 cm 
 AB AC BC C B A. 
Câu 2. 
Vì ABC cân ở A, nên AB AC. 
Theo đề bài, ta cĩ AB AC BC20 cm 2 AB BC 20 cm . 
Mặt khác BC 6 cm nên AB AC7 cm AB AC BC B C A . 
Câu 3. 
 Trang 7 
Từ D hạ DP AB tại P, DQ AC tại Q. 
Xét APD và AQD cĩ 
 APD AQD 90 ; AD chung; PAD QAD (do AD là 
phân giác của gĩc A). 
Do đĩ APD AQD (cạnh huyền – gĩc nhọn) 
 PD QD (hai cạnh tương ứng). 
Gọi h là độ dài đường cao hạ từ A xuống BC 
 1 1 1
 S PD. AB BD . h .3. h ; 
 ABD 2 2 2
 1 1 1
 S DQ. AC CD . h .5. h 
 ADC 2 2 2
 PD. AB 3 h ; PD . AC 5 h 
 AB AC ACB ABC . 
Dạng 2. So sánh hai cạnh trong một tam giác 
Câu 1. 
 AB  120 
Theo giả thiết, ta cĩ 
 3BA 2  10
 2 ABBABBA  3 2 2.120   10 5 250    50 120    50 70 . 
Ta cĩ A B C 180  C 180   A B 180    70 50 60   A C B BC AB AC . 
Câu 2. 
 ABC  
Theo giả thiết ta cĩ 1 3 5 . 
 ABC   180 
 ABCABC      180 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta cĩ 20 . 
 1 3 5 1 3 5 9
 A 20 ; B  60 ; C 100  CBAABACBC   . 
Câu 3. 
 Trang 9