Chuyên đề Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 31: QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG TAM GIÁC 
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 
I. Góc đối diện với cạnh lớn hơn trong một tam giác 
Định lí 1: 
“ Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn “. 
 A
 C
 B 
VD: Cho ABC,( AC AB) . Khi đó: 
+ Cạnh AB là cạnh đối diện với góc C . 
+ Cạnh AC là cạnh đối diện với góc B . 
 AC AB B C 
II. Cạnh đối diện với góc lớn hơn trong một tam giác 
Định lí 2: “ Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn ”. 
VD: Cho ABC,( AC AB) . Khi đó: 
+ Góc C là góc đối diện với cạnh AB . 
+ Góc B là góc đối diện với cạnh AC . 
 B C AC AB 
Chú ý: 
+ Đối diện với cạnh là góc, mà đối diện với góc là cạnh. 
+ Trong tam giác tù hoặc tam giác vuông thì góc tù và góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh đối 
diện với góc vuông (cạnh huyền), cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất. 
+ Định lí 1 và 2 chỉ đúng khi ta áp dụng trong 1 tam giác. 
+ Trong tam giác cạnh nhỏ nhất đối điện với góc nhọn. 
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI. 
Dạng 1. So sánh các góc trong một tam giác 
I. Phương pháp giải: 
+ TH1: Nếu các góc cần so sánh nằm trong cùng một tam giác thì ta áp dụng định lí 1: 
So sánh các cạnh đối diện với các góc đó. 
+ TH2: Nếu các góc cần so sánh không cùng nằm trong cùng một tam giác 
Thì ta dùng góc trung gian để so sánh 
 1 Bài 7. Sử dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện để chứng minh định lí: Trong một tam giác 
đều, ba góc bằng nhau. 
Lời giải: 
Cho ABC đều nên AB= AC = BC C = B = A (Định lý 1) 
Vậy trong một tam giác đều, ba góc bằng nhau. 
Bài 8. Trong một tam giác, đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc gì (nhọn, vuông, tù)? tại sao? 
Lời giải: Trong một tam giác, đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhỏ nhất. Góc nhỏ nhất của 
tam giác là góc nhọn (tam giác nào cũng có ít nhất một góc nhọn) 
Bài 9. Cho tam giác ABC có AB AC . So sánh hai góc ngoài tại các đỉnh BC; 
Lời giải: 
Trước hết ta so sánh các góc trong tại hai đỉnh BC; 
Vì AB AC nên CB22 (Định lí 1) 
Mà BBCC1+ 2 = 1 + 2 =180  (Tính chất hai góc kề bù) 
Do đó CB11 
Bài 10. Cho tam giác ABC có AB là cạnh nhỏ nhất. Chứng minh rằng C 60 
Lời giải 
Vì tam giác ABC có AB là cạnh nhỏ nhất nên C là góc nhỏ nhất 
Do đó CBCA , 
Suy ra 3CCBAC + + = 180  60  
 3 Từ (1),(2) MAB MAC ( đ.p.c.m). 
 1
Bài 13. Cho ABC đều. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM= BC . Chứng minh rằng 
 3
 BAM 20 . 
Lời giải 
 Gọi N là điểm trên BC sao cho BM== MN NC 
 ABC đều nên và BAC= ABC = ACB =60  
 ABM = ACN ( c.g.c) 
 =BAM CAN ( hai góc tương ứng). 
 Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho AM= ME 
 ABM = ENM(..) c g c 
 =AB EN ( hai cạnh tương ứng). 
 ABM có B=60  ; BAM 30  
 1 BC
 ( Vì ABC đều BM= BC = BM nên BAM 300 ) 
 32
 AMB 90  
 ABM AMB AM AB ( quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ) 
 EN AM mà AM== AN() ABM ACN 
 EN AN hay EAN AEN MAN BAM 
 Mà BAM+ MAN + NAC =60  MAN + 2 BAM = 60  
 Mặt khác MAN BAM 3 BAM 60  BAM 20  ( đ.p.c.m ) 
 5 Lời giải 
 ABC có: AB==4500 ; 55 
Mà ABC+ + =1800 (tổng 3 góc của một tam giác) 
 450 + 55 0 +CC = 180 0 = 180 0 −( 45 0 + 55 0) = 80 0 
 CBA (Vì 800 55 0 45 0 ) 
 AB AC BC (Định lý 2) 
Bài 2. So sánh các cạnh của ABC vuông tại A , biết B = 550 
Lời giải 
 ABC có: AB==9000 ; 55 
Mà BC+=900 (tổng 3 góc của một tam giác) 
 550 +=CC 60  = 90 −= 55 35  
 ABC (Vì 900 55 0 35 0 ) 
 BC AC AB (Định lý 2) 
Bài 3. So sánh các cạnh của ABC , biết góc ngoài tại đỉnh A bằng 1000 , B = 550 
Lời giải 
 Vì góc ngoài tại đỉnh A bằng 1200 A =1800 − 100 0 = 80 0 
 ABC có: AB==8000 ; 55 
Mà ABC+ + =1800 (tổng 3 góc của một tam giác) 
 800 + 55 0 +CC = 180 0 = 180 0 −( 80 0 + 55 0) = 45 0 
 ABC (Vì 800 55 0 45 0 ) 
 BC AC AB (Định lý 2) 
Bài 4. Chứng minh trong tam giác vuông, cạnh huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông. 
Lời giải 
Trong tam giác vuông có một góc vuông và hai góc nhọn, góc vuông là góc lớn nhất, đối diện 
với góc vuông là cạnh huyền, hai cạnh còn lại là hai cạnh góc vuông . Nên trong tam giác vuông 
cạnh huyền là cạnh lớn nhất. 
Bài 5. So sánh các cạnh của △ABC , biết ABC cân tại A, A 600 . 
Lời giải 
 ABC cân tại A . 
 =BC (t/c tam giác cân) 
 7 Bài 8: So sánh các cạnh của ABC biết rằng: A = 400 và số đo góc BC, tỉ lệ nghịch với 3,4 . 
Lời giải 
Ta có ABC biết rằng: A = 400 và số đo góc BC, tỉ lệ nghịch với 3,4 . 
 ABC+ + =1800 (tổng 3 góc của một tam giác) 
 ++=40BCBC 18000 += 180 −= 40 140  
 BCBC+140
Do đó 34BC= = = = =20  
 4 3 4+ 3 7
Suy ra BC=4.20  = 80  , = 3.20  = 60  
 ACB 40  60  80 
 ( ) 
 BC AB AC
(Định lí 2) 
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A , biết B =45 
 a) So sánh các cạnh của tam giác ABC . 
 b) Tam giác ABC còn gọi là tam giác gì? Vì sao? 
Lời giải 
 ˆˆ ˆ
a) Tam giác ABC cân tại A nên CB= =45  A =90 . 
 ˆ
Vậy ABC=90  = = 45  BC AC = AB . 
 ˆ
b) Tam giác ABC vuông cân tại A vì ABC=90  , = . 
Bài 10: Cho ABC vuông tại A , điểm K nằm giữa A và C . So sánh BK và BC . 
Lời giải 
Ta có AKC A (góc ngoài ABK ) nên AKC 90 
Xét BKC có AKC 90 nên BC BK 
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A , C =30 . Điểm D thuộc cạnh AC sao cho ABD =20 . 
So sánh BA,,,, BD BC AD DC 
 9 b) HDC có DHC=90  DC DH ( cạnh huyền , cạnh góc vuông) 
Mà AD= DH ( Vì ABD = HBD ) 
 DC AD 
Bài 13: Cho tam giác ABC có A 90 . Lấy điểm D thuộc cạnh AB điểm E thuộc cạnh AC . 
Chứng minh rằng DE BC 
Lời giải 
Vì BDC là góc ngoài của DAC 
Nên BDC A =90  . Do đó BC là cạnh lớn nhất của DBC 
 BC CD (1) 
Mặt khác DEC là góc ngoài của ADE 
Nên DEC A =90 . Do đó DC là cạnh lớn nhất của DEC 
 DC DE (2) 
Từ (1) và (2) suy ra DE BC 
Bài 14. Cho tam giác ABC nhọn. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D và trên tia đối của tia CA 
 lấy điểm E sao cho CE= BD . Chứng minh rằng: BC DE . 
Lời giải 
 A
 B C
 E
 D 
 Ta có ACDcó DCE ADC ( góc ngoài của tam giác ) 
 Xét BCD và CDE 
 Có BD= CE (gt) 
 11 Bài 1. So sánh các góc của ABC biết: 
a) AB = 4 cm ; BC = 6 cm ; CA = 5 cm . 
b) AB = 9 cm ; AC = 72 cm ; BC = 8 cm . 
c) Độ dài các cạnh AB, BC , CA lần lượt tỉ lệ nghịch với 2,3,4 . 
Lời giải 
a) ABC có: AB = 4 cm ; BC = 6 cm ; CA = 5 cm . 
 BC CA AB 
 BAC CBA ACB hay A B C (Định lý 1) 
b) ABC có: AB = 9 cm ; AC = 72 cm 8,5 cm ; BC = 8 cm . 
 AB AC BC 
 ACB ABC BAC hay C B A (Định lý 1) 
c) ABC có: Độ dài các cạnh AB, BC , CA lần lượt tỉ lệ nghịch với 2,3,4 . 
 AB.2 = BC .3 = CA .4 
 AB BC AC 
 ACB BAC ABC hay C A B (Định lý 1) 
Bài 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB AC . Kẻ AH vuông góc với BC tại H . So sánh
 HAB và HAC . 
 Lời giải 
 A
 B C
 H 
Tam giác ABC có AB AC suy ra ACB ABC 
( quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ) 
Tam giác HBA có HAB=90 − ABC (1) 
 ( Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau) 
Tam giác HAC có HAC=90 − ACB(2) 
( Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau) 
Mà ACB ABC ( GT ) (3) 
Từ (1),(2),(3) HAC HAB 
 13 BAC ABC ACB BAC ABC− ACB BAC
CAH=90  − ACH = + + − ACB = + (5) (vì ABC ACB ) 
 2 2 2 2 2 2
Từ (1), (4),(5) CAM CAD CAH . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC , ta có 
CAM CAD CAH nên tia AD nằm giữa hai tia AH và AM . 
Bài 4. Cho ABC , trung tuyến AM . Biết BAM CAM hãy so sánh B với C . 
 Lời giải 
 A
 C
 B M
 E 
Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho AM= ME 
 ABM = ECM ( c.g.c ) 
 =AB EC ( hai cạnh tương ứng ) (1) 
 =BAM CEM ( hai góc tương ứng) 
Xét AEC có AEC EAC ( vì BAM= MEC MAC() gt ) 
 EC AC ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác ) (2) 
Từ (1),(2) AB AC C B ( đ.p.c.m) 
Dạng 2 . So sánh các cạnh trong một tam giác 
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A có A =50 . So sánh độ dài AB và BC . 
Lời giải 
 Tam giác ABC cân tại A có A =50 . 
 15 d) Vì ABC: := 3: 4: 5 
 ABC
 = = 
 3 4 5
 ABCABC++ 1800
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau: = = = = = 150 (tổng 3 góc của một tam 
 3 4 5 3++ 4 5 12
giác) 
 A =3.1500 = 45 
 B ==4.1500 60 
C ==5.1500 75 
 ABC có: CBA (Vì 750 60 0 45 0 ) 
 AB AC BC (Định lý 2) 
Bài 3. Cho tam giác ABC có AC=90  , = 30  . Điểm D thuộc cạnh AC sao cho ABD =20 .So 
 sánh độ dài các cạnh của tam giác BDC . 
 Lời giải 
 Tam giác ABC có AC=90  , = 30  B =90 − 30  = 60  
 Tia BD nằm giữa haitia BA; BC ,nên DBC= ABC − ABD =60 − 20  = 40  
 Tam giác DBC có DCB=30 , DBC = 40 CDB = 180 − (30 += 40 ) 1100 
 Tam giác DBC có DCB DBC CDB ( Vì 30 40  110 ) 
 BD CD BC ( Quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác ) 
Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC có AB AC . Tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D . Chứng 
 minh DB DC . 
Lời giải 
 17