Chuyên đề Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ: QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN 
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 
1. Khái niệm đường vuông góc và đường xiên. 
Cho điểm A không thuộc đường thẳng d , các điểm BC, thuộc đường thẳng không trùng 
với điểm H . 
 - Đoạn thẳng AH là đoạn thẳng vuông góc hay A
 đường vuông góc kẻ từ điểm đến đường thẳng 
 - Điểm H là chân đường vuông góc hay hình chiếu 
 của điểm A trên đường thẳng . 
 - Độ dài đoạn thẳng AH là khoảng cách từ điểm A d
 đến đường thẳng . H B
2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên. 
 - Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một A
 điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì 
 đường vuông góc là đường ngắn nhất. 
 AH⊥ d AH AC, AH AD
 d
 D B H C
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI. 
Dạng 1. Nhận biết đường vuông góc, đường xiên. Tìm khoảng cách của một điểm đến một 
đường thẳng. 
I. Phương pháp giải: 
 - Dựa vào khái niệm đường vuông góc, đường xiên để nhận biết các loại đường đó. 
 - Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng chính là tính độ dài đường vuông góc 
kẻ từ điểm đó đến đường thẳng. 
II. Bài toán. 
Bài 1. Cho các hình vẽ sau. Hãy chỉ ra các đường vuông góc, các đường xiên kẻ từ điểm A 
trong hình 1 và điểm I trong hình 2. 
 A B
 I
 O
 d
 C
 C H B
 Hình 2
 Hình 1
Lời giải: 
 Hình 1: Đường vuông góc: AH . 
 Các đường xiên: AB, AC . Do đó: Các đường vuông góc: BA, BC , AH . 
 Các đường xiên: 
 Đường xiên BA, BC kẻ từ điểm A đến cạnh BC 
 Đường xiên CB kẻ từ điểm C đến cạnh AB 
 Đường xiên BC kẻ từ điểm B đến cạnh AC 
 b) Khoảng cách từ điểm đến cạnh là độ dài cạnh AH . 
 Khoảng cách từ điểm BC, đến cạnh AC, AB lần lượt là độ dài cạnh BA, CA. 
Bài 5. Cho hình vuông ABCD. Hỏi trong bốn đỉnh của hình vuông 
 a) Đỉnh nào cách đều hai điểm D và B ? 
 b) Đỉnh nào cách đều hai đường thẳng AD và DC ? 
Lời giải: 
 A B
 D C
 a) Vì hình vuông có AD= AB ; CD= CB nên đỉnh cách đều hai điểm và B là: A 
và C . 
 b) Ta có BA⊥ AD tại A BA là khoảng cách từ B đến đường thẳng AD . 
 BC⊥ CD tại C BC là khoảng cách từ đến đường thẳng CD . 
 Mà BA= BC (Vì là hình vuông) 
 Vậy đỉnh cách đều hai đường thẳng và là đỉnh . 
Bài 6. Quan sát hình dưới và cho biết: 
 a) Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng a , b , c . 
 b) Khoảng cách từ điểm P đến đường thẳng bc, . 
Lời giải 
a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là 1 cm . 
 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là 3 cm . 
 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là 4 cm . Mặt khác ABCD là hình thang cân nên ta có AB // CD . 
Do đó AH là khoảng cách giữa hai đáy của hình thang cân . 
Vậy khoảng cách giữa hai đáy của hình thang cân là 3 cm . 
Bài 10. Cho hình thang (Hình vẽ) có AB = 7 cm . Gọi E là hình chiếu của B lên cạnh CD
. Biết ABED là hình vuông và diện tích hình thang gấp 2 lần diện tích hình vuông 
. Hãy tính khoảng cách từ C đến đường thẳng BE . 
 A 7cm B
 ABCD
 C
 D E
Lời giải: 
Ta có là hình chiếu của lên cạnh , suy ra BE⊥ CD tại hay CE⊥ BE tại 
Do đó độ dài CE là khoảng cách từ đến đường thẳng (1) 
Hình vuông có diện tích là 7.7= 49 ( cm2 ) 
Diện tích hình thang là: 49.2= 98 ( cm2 ) 
 ( AB+ CD). BE
Ta có công thức tính diện tích hình thang : S = 
 2
Mà AB== BE 7 cm ; S = 98 cm2 
 98.2
Suy ra độ dài đáy lớn của hình thang là CD ==-7 21 ( cm2 ) 
 7
Do E CD nên CD=+ CE DE 
 CE = CD − DE =21 − 7 = 14 ( cm) (2) 
Từ và suy ra khoảng cách từ đến đường thẳng là 14 cm. 
Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A . Có M là trung điểm của đoạn thẳng BC . Chứng minh 
 AM là khoảng cách từ A đến cạnh BC của tam giác . 
Lời giải: 
 A
 B C
 M
 Xét ABM và ACM có: 
 AB= AC (Vì tam giác cân tại ). Sử dụng định lý đường vuông góc ngắn hơn đường xiên (từ một điểm đến cùng một đường 
thẳng). 
II. Bài toán. 
Bài 1. Độ dài nào ngắn nhất trong các độ dài AB,,, AC AD AE . 
 A
 B C D E 
Lời giải 
Ta có AD⊥ BE suy ra AD là đường vuông góc; AB,, AC AE là các đường xiên. 
Vậy độ dài nào ngắn nhất AD . 
Bài 2. Quan sát hình bên. 
 D
 N
 M E P
 a) Tìm đoạn ngắn nhất trong các đoạn NM, NE , NP . 
 b) Tìm đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng PM, PN , PD. 
Lời giải: 
 a) Vì NM⊥ MP nên NM là đường vuông góc kẻ từ N đến đường thẳng MP ; NE, NP là các 
đường xiên kẻ từ đến MP . 
 Vậy trong các đoạn thì là đoạn thẳng ngắn nhất (Quan hệ giữa đường 
vuông góc và đườn xiên). 
 b) Vì PM⊥ MD nên PM là đường vuông góc kẻ từ P ; PN, PD là các đường xiên kẻ từ . 
 Vậy trong các đoạn thì là đoạn thẳng ngắn nhất (Quan hệ giữa đường 
vuông góc và đườn xiên). 
Bài 3. Bạn Bình xuất phát từ điểm I bên hồ bơi. Bạn ấy muốn tìm đường ngắn nhất để bơi đến 
thành hồ đối diện. Theo em, bạn Bình phải bơi theo đường nào? 
 A B C D
 I 
Lời giải: 
Ta có IA là đường vuông góc; IB,, IC ID là các đường xiên. Theo định lí về quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc thì IH chính là đường ngắn 
nhất trong tam giác IKL . 
 Vậy nếu M trùng với chân đường cao kẻ từ I đến đường thẳng KL thì IM sẽ có độ dài nhỏ 
nhất. 
Bài 7. Cho ABC , điểm E nằm giữa BC, ( AE không vuông góc với BC ). Gọi H và K là 
chân các đường vuông góc kẻ từ B và C đến đường thẳng AE . 
 a) So sánh BH và BE . 
 b) Chứng minh BC + BH CK . 
Lời giải: 
 A
 H
 C
 B E
 K 
 a) Dễ thấy BH là đường vuông góc, BE là đường xiên kẻ từ điểm B đến đường thẳng AK , 
do đó BE BH . 
 b) Ta thấy CK là đường vuông góc, CE là đường xiên kẻ từ điểm C đến đường thẳng , 
do đó CE CK . 
 Suy ra: BE+ CE BH + CK 
 Hay . 
Bài 8. Cho MNP nhọn. Kẻ MD⊥ NP( D NP) , NE⊥ MP( E MP) 
 a) So sánh MN và MD . N
 b) Chứng minh 2MN + MD NE . 
Lời giải: 
 M
 E
 P
 N D 
 a) Dễ thấy MD là đường vuông góc, MN là đường xiên kẻ từ điểm M đến đường thẳng NP
, do đó MN MD . 
 b) Ta thấy NE là đường vuông góc, NM là đường xiên kẻ từ điểm đến đường thẳng MP , 
do đó MN NE . 
 Suy ra: MN+ MN MD + NE 
 Hay . 
Bài 9. Cho ABC , kẻ AH⊥ BC tại H . Chứng minh rằng: 
 1
 a) AH +( AB AC) 
 2 Từ những điều trên suy ra d BC . 
b) Theo a) ta có 
Do đó giá trị lớn nhất của d là BC 
 BD = BM; CE = CM 
 D trùng với M và E trùng với 
 trùng với hình chiếu H của A trên BC. 
Bài 11. Hai tam giác: tam giác cân ABC và tam giác ADE Có chung góc ở đỉnh A có 
 AE+ AD = AB + AC . Chứng minh rằng BC DE . 
Lời giải: 
 A
 E
 H B C
 M K
 D 
 Vì AD+ AE = AB + AC =22 AB = AC (GT). 
 Nên BD= CE 
 Nếu điểm E thuộc đoạn thẳng AC thì D thuộc tia đối của tia BA 
 Kẻ DH⊥⊥ BC; EK BC 
 Có ABC cân tại A (GT) =ACB ABC 
 HBD= ABC (hai góc đối đỉnh) 
 =HBD ACB (= ABC ) 
 Hay HBD= KCE 
 Xét DHB và EKC có: 
 DHB= EKC =90  
 DHB = EKC (cạnh huyền – góc nhọn). 
 BH= CK (Hai cạnh tương ứng) 
Lại có BK+ CK = BC; BK + BH = HK 
Suy ra BC= HK (1) 
Gọi M là giao điểm của BC và DE . 
Do nên MH DM; MK EM (Quan hệ giữa đường vuông góc và đường 
xiên). 
Suy ra MH+ MK DM + EM HK DE (2) 
Từ và suy ra . BC+ MN
Vậy BN 
 2 
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Dạng 1. Nhận biết đường vuông góc, đường xiên. Tìm khoảng cách của một điểm đến một 
đường thẳng. 
 Bài 1. Quan sát hình vẽ và cho biết: A
 a) Các đường vuông góc kẻ đến AB; BC 
 E H
 b) Các đường xiên kẻ đến AB; BC 
 ABCD
 C
 B D 
Bài 2. Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 4 cm , I là một điểm trên cạnh CD và cách 
C 1 cm. Tìm khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng AD . 
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại B có AD là tia phân giác của BAC ( D BC ). Kẻ 
DF⊥ AC tại F . Tính khoảng cách từ D đến đường thẳng AC , biết BD = 2 cm . 
Bài 4. Một tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song. Chiều rộng của tấm gỗ là khoảng cách giữa hai cạnh 
đó. Muốn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước như thế nào? Tại sao? Cách đặt thước trong 
hình dưới có đúng không? 
Dạng 2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên. 
Bài 1. Quan sát hình vẽ và cho biết đường nào là đường ngắn nhất? Vì sao? 
 A
 d
 P M H D N E
Bài 2. Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Mai xuất 
phát từ M, ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến 
B, ngày thứ ba bạn bơi đến C, ... (Hình bên). 
Bài 3. Cho tam giác ABC , điểm M nằm giữa B và C . Gọi H và K là chân các đường vuông 
góc kẻ từ đến các đường thẳng AB và AC . So sánh BC và MH+ MK .