Chuyên đề Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 3. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC. 
 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC 
 BÀI 2. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, 
 ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Phân biệt được đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu. 
 + Phát biểu được quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu. 
  Kĩ năng 
 + Vận dụng được mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu 
 trong bài tập. 
 Trang 1 
 + Nếu là đường xiên thì cần so sánh hai hình 
chiếu của chúng (dựa vào giả thiết bài toán). 
 + Nếu là hình chiếu của hai đường xiên thì cần 
so sánh hai đường xiên (dựa vào giả thiết bài toán). 
Bước 2. So sánh hai đoạn thẳng dựa vào định lí Vì AB AC nên HB HC. 
đường xiên – hình chiếu. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC AB AC , đường 
cao AH. Gọi M là điểm tùy ý trên đoạn thẳng AH. 
Chứng minh MB MC. 
Hướng dẫn giải 
Ta có BH, CH tương ứng là hình chiếu của hai đường xiên AB, AC trên đường thẳng BC. 
Vì AB AC nên BH CH. 
Mặt khác BH, CH tương ứng là hình chiếu của hai đường xiên BM, CM lên đường thẳng BC. 
Do BH CH nên BM CM. 
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB lấy hai điểm D, E sao cho AD DE EB. Chứng 
minh rằng CA CD CE CB. 
Hướng dẫn giải 
Xét trên cạnh AB, ta có AD DE EB AD AE AB. 
Vì CA AB nên AD, AE, AB tương ứng là hình chiếu của các đường xiên CD, CE, CB lên đường thẳng 
AB. 
Do AD AE AB nên CD CE CB. 1 
 Trang 3 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng 
 BC
 AH AB AC AH BC. 
 2
Hướng dẫn giải 
Ta có AB AH, AC AH (đường xiên lớn hơn đường vuông góc) 
 AB AC AH AH hay AB AC 2 AH . 1 
Ta cũng có AB BH, AC CH (đường xiên lớn hơn đường vuông góc) 
 AB AC BH CH hay AB AC BC. 2 
 BC
Từ 1 và 2 ta có 2 AB AC 2 AH BC AB AC AH . * 
 2
Kẻ EF vuông góc với AC tại F. 
Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA BE ABE cân ở B 
 BAE BEA . 
Mặt khác BAE AEF (cùng phụ với EAF ) nên BEA AEF 
 AHE AFE (cạnh huyền – góc nhọn) 
 AH AF (hai cạnh tương ứng). 
Do đó BC AH BE EC AH BA EC AF. 
Vì EC CF (đường xiên lớn hơn đường vuông góc) nên 
 BC AH BA CF AF hay BC AH BA AC ** 
Từ * và ** suy ra điều phải chứng minh. 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Cho tam giác nhọn ABC có AB AC. Kẻ AH vuông góc với BC. Trên đoạn thẳng AH lấy điểm 
M. Chứng minh rằng 
 Trang 5 
a) Ta có AH BC AH là đường vuông góc còn AB 
là đường xiên AH AB. 1 
Lập luận tương tự AC là đường xiên còn AH là đường 
vuông góc AH AC. 2 
Từ 1 và 2 suy ra AH AH AB AC 
 AB AC
 AH . 
 2
b) Ta có BH và CH tương ứng là hình chiếu của đường 
xiên AB và AC lên đường thẳng BC. 
Vì AB AC nên BH CH. 
Mặt khác BH và CH là hình chiếu của đường xiên MB và 
MC trên BC và BH CH nên MB MC. 
 Câu 2. 
Ta có DH BD (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên); 
 DK DC (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên); 
Suy ra DH DK BD DC hay DH DK BC. 
Câu 3. 
a) Xét tam giác ABH có AB là đường xiên, BH là đường 
vuông góc 
 AB BH. 
Xét tam giác AKC có AC là đường xiên, CK là đường 
vuông góc 
 AC CK. 
Do đó AB AC BH CK. 
b) Xét tam giác BHD có BH là đường vuông góc và BD 
là đường xiên nên BH BD (đường vuông góc ngắn 
hơn đường xiên). 
Tương tự ta chứng minh được CK CD. 
Do đó BH CK BD CD hay BH CK BC. 
 Trang 7