Chuyên đề Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 33: QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC 
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 
*) Định lí: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh 
còn lại. 
 A
 C
 B
Ba hệ thức: 
 AB + BC AC,
 AC + AB BC, 
 BC + AC AB
gọi là các bất đẳng thức tam giác. 
- Tính chất: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh 
còn lại. 
- Nhận xét: Nếu kí hiệu abc,, là độ dài ba cạnh tùy ý của một tam giác thì: b− c a b + c . 
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI. 
Dạng 1. Khẳng định có tồn tại hay không một tam giác biết độ dài ba cạnh 
I. Phương pháp giải: 
+ Tồn tại một tam giác có độ dài ba cạnh là nếu: 
 a + b c
 b + a c hoặc . 
 c + a b
+ Trong trường hợp xác định được a là số lớn nhất trong ba số thì điều kiện để tồn tại 
tam giác chỉ cần: a + b c . 
II. Bài toán. 
Bài 1. Bộ ba độ dài nào dưới đây có thể tạo thành độ dài của ba cạnh trong tam giác? 
 a) 6cm; 8cm; 16cm 
 b) 5,5cm; 3,1cm; 2,4cm 
 c) 13,7cm; 8,2cm; 5,3cm 
 d) 8m; 12m; 7m 
 1 Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AB− AC BC AB + AC . Suy ra 48 BC . Mà BC có độ 
dài theo cm là một số tự nhiên chẵn. Do đó, BC = 6 cm . 
Bài 7. Cho tam giác ABC có AB==4 cm, AC 1 cm . Hãy tìm độ dài cạnh BC biết rằng độ dài này 
là một số nguyên (cm) . 
 Lời giải: 
Ta có . 
 Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AB− AC BC AB + AC . Suy ra 35 BC . Mà BC có độ 
dài theo cm là một số nguyên. Do đó, BC = 4 cm . 
Bài 8. Tính chu vi của tam giác cân có hai cạnh bằng 4 m và 8 m . 
 Lời giải: 
Cách 1: Vì tam giác là tam giác cân nên sẽ có độ dại ba cạnh là 
Th1 4 m; 4m; 8m trường hợp này không xảy ra vì 4 m + 4 m = 8 m 
Th2 4 m; 8m; 8m trường hợp này xảy ra vì 4 m + 8 m > 8 m 
Vậy chu vi tam giác là 20 m . 
Cách 2: 
Giả sử ABC có AB==4 m, AC 8 m . 
Theo bất đang thức tam giác, ta có ||AB− AC BC AB + AC . 
Do đó, 4 BC 12 . Mà cân nên suy ra BC = 8 m. Vậy chu vi tam giác là . 
Bài 9. Tính chu vi của tam giác cân có hai cạnh bằng 3cm và 7cm . 
 Lời giải: 
Giả sử có AB==3 cm, AC 7 cm . 
Theo bất đẩng thức tam giác, ta có ||AB− AC BC AB + AC . Do đó, 4 BC 10 . Mà 
cân nên suy ra BC = 7 cm. Vậy chu vi tam giác ABC là 17 cm . 
 1
Bài 10. Ba cạnh của một tam giác có độ dài bằng 2 , 16, x (đơn vị cm ). Tìm x , biết rằng 
 2
là số tự nhiên và có giá trị nhỏ nhất có thể. 
 Lời giải: 
 11
Theo bất đẩng thức tam giác, ta có | 2− 16 | xx 2 + 16 13,5 18,5 . 
 22
Mà là số tự nhiên và có giá trị nhỏ nhất có thể nên x =14cm 
Bài 11. Tam giác ABC có chu vi 18cm, BC AC AB . Tính độ dài BC biết rằng độ dài đó là 
một số chẵn (đơn vị: ). 
 Lời giải: 
 3 Bài 2. Cho tam giác ABC , điểm M thuộc cạnh AB . 
 a) So sánh MC với AM+ AC . 
 b) Chứng minh MB+ MC AB + AC . 
 Lời giải: 
 A
 M
 B C
 a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác AMC ta có: MC + AM AC . 
 b) Ta có: MC AM + AC MB + MC MB + MA + AC = AB + AC 
Bài 3. Cho tam giác , trên tia đối của tia AC lấy điểm K . 
 a) So sánh AB với KA+ KB . 
 b) Chứng minh AB+ AC KB + KC . 
 Lời giải: 
 C
 A
 K B
 a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác AKB ta có: AB + KA KB . 
 b) Ta có: AB KB + KA AB + AC KB + KA + AC = KB + KC 
Bài 4. Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AB+ AC2 AM 
 Lời giải: 
 A
 B C
 M
 D
 5 b) Chứng minh rằng MA+ MB IB + IA. 
c) Chứng minh rằng IB+ IA CA + CB . 
d) Chứng minh rằng MA+ MB CA + CB 
 Lời giải: 
 A
 I
 M
 B C
a) Xét AMI , theo bất đẳng thức tam giác, ta có 
 MA + MI IA 
b) Từ câu a), suy ra 
 MA+ MB MI + IA + MB 
Do đó, MA+ MB IA + IB 
c) Xét IBC , theo bất đẳng thức tam giác, ta có 
 IB + BC CI 
Do đó IA+ IB CA + CB . 
d) Từ câu a) kết hợp câu b) ta được 
 MA+ MB CA + CB 
Bài 7. Cho điểm K nằm trong tam giác ABC . Gọi M là giao điểm của tia AK với cạnh BC . 
a. Chứng minh rằng KA+ KB MA + MB CA + CB . 
b. So sánh KB+ KC với AB+ AC . 
c. Chứng minh rằng KA++ KB KC nhỏ hơn chu vi tam giác ABC . 
 Lời giải: 
 A
 P
 N
 K
 C
 B M
 7 Xét MCD , ta có: MC+ MD CD . (3) 
Từ (1) , (2) , suy ra MB+ MC AB + AC . 
Bài 9. Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d . Tìm điểm C thuộc đường 
thẳng d sao cho tổng AC+ CB là nhỏ nhất. 
 Lời giải: 
 A
 d
 C
 C'
 B
Giả sử C là giao điểm của đoạn thẳng AB với đường thẳng d . 
Vì C nằm giữa A và B nên ta có AC+= CB AB . ( 1) 
Lấy điểm C ' bất kỳ trên d (CC ' ). Nối AC', BC ' . 
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ABC ' , ta có AC'+ BC ' AB . ( 2) 
 Từ (1) và (2) suy ra AC'+ BC ' AC + CB . 
Vậy C là điểm cần tìm. 
Bài 10. Cho đường thẳng d và hai điểm AB, nằm cùng về một phía của d và AB không song 
song với d . Một điểm H di động trên d . Tìm vị trí của H sao cho HA− HB là lớn nhất. 
 Lời giải: 
 A
 B
 d
 I H
Vì AB không song song với d nên AB cắt d tại I. Với điểm H bất kì thuộc d mà H không 
trùng với I thì ta có tam giác HAB . Xét tam giác HAB có HA− HB AB. 
Khi HI thì HA−= HB AB . 
 9 Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Dạng 1. 
Bài 1. Bộ ba độ dài nào dưới đây có thể tạo thành độ dài của ba cạnh trong tam giác? 
 a) 6cm; 7cm; 15cm 
 b) 4,2cm; 3,5cm; 2,5cm 
 c) 3cm; 7,2cm; 5cm 
 d) 3m; 10m; 7m 
Bài 2. Cho tam giác ABC có cạnh AB = 2cm và cạnh BC = 7cm . Tính độ dài cạnh AC biết độ 
dài cạnh là một số nguyên tố. 
Bài 3. Cho ABC cân. 
a) Tính AC, BC biết chu vi là 23 cm và AB = 5 cm. 
b) Tính chu vi biết AB == 5cm, AC 12cm. 
Bài 4. Có bao nhiêu tam giác có độ dài hai cạnh là 1cm và 3cm còn độ dài cạnh thứ ba là một 
số nguyên (đơn vị cm )? 
Dạng 2. 
Bài 1. Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc xOy . Từ điểm M ở trong góc xOz vẽ MH 
vuông góc với Ox ( H thuộc ), MK vuông góc với Oy ( K thuộc Oy ). Chứng minh rằng: 
 MH MK . 
Bài 2. Cho ABC có ( AB AC ) và AD là phân giác góc A ( D BC ). Gọi E là một điểm bất 
kỳ thuộc cạnh AD ( E khác A ). Chứng minh AC – AB EC – EB . 
Bài 3. Cho ABC cân tại A , góc A tù, trên cạnh BC lấy điểm D , trên tia đối của tia CB lấy 
điểm E sao cho BD= CE , trên tia đối của tia CA lấy điểm I sao cho CI= CA. 
a, Chứng minh rằng: ABD= ICE và AB+ AC AD + AE. 
b, Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB, AI lần lượt tại M và N , 
Chứng minh rằng: BM= CN . 
c, Chứng minh rằng: Chu vi ABC nhỏ hơn chu vi AMN . 
Bài 4. Cho vuông tại , tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Chứng minh rằng 
 BC− BA DC − DA. 
 ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Dạng 1. 
Bài 1. 
a) Không vì 15 + 6 7. 
b) Có vì 4,2 + 3,5 2,5 
c) Có vì 7,2 + 3 5 
 11 Gọi độ dài cạnh còn lại của tam giác là: x ( cm ). 
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: |1− 3| xx 1 + 3 2 4 
Mà là một số nguyên nên x = 3 . 
Do đó có 1 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Dạng 2 . 
Bài 1. 
Gọi A là giao điểm của MK với Oz . Vẽ AB vuông góc với Ox ( B thuộc Ox ). Nối B với M 
 x
 H
 B M
 z
 A
 y
 O
 K
Xét =KOA ( K 900 ) và =BOA ( B 900 ) có: 
 OA chung 
 KOA= BOA (Oz là tia phân giác xOy ) 
 KOA = BOA (cạnh huyền – góc nhọn) 
 AK= AB (Hai cạnh tương ứng) 
Xét ABM có BM + AB AM (Bất đẳng thức trong tam giác) 
 Do đó : BM + AK AM hay BM MK 
Mà MH BM (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc ) 
 MH MK ( đpcm ) 
Bài 2. 
 13