Chuyên đề Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 3. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC. 
 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC 
 BÀI 3. QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC. 
 BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Phát biểu được định lí và hệ quả của bất đẳng thức tam giác. 
  Kĩ năng 
 + Vận dụng được định lí và hệ quả của bất đẳng thức tam giác trong các bài toán. 
 Trang 1 
Hướng dẫn giải 
- Nếu AB là cạnh bên và ABC cân tại A, ta có AB AC 5 cm . 
Do chu vi tam giác ABC bằng 23 cm nên 
 BC 23 AB AC 23 5 5 13 cm BC AB 13 5 8 5 AC hay BC AB AC 
(không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác). 
- Nếu AB là cạnh bên và ABC cân tại B ta có AB BC 5 cm AC 13 cm . 
Lại có AC AB BC 13 5 5 (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác). 
- Nếu AB là cạnh đáy thì ABC cân tại C. 
Suy ra AC BC 23 5 : 2 9 cm (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác). 
Vậy AC BC 9 cm . 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Bộ ba độ dài sau đây có thể là ba cạnh của một tam giác? 
a) 3cm; 4cm; 5cm. b) 2m; 3m; 6m. 
Câu 2: Cho tam giác MNP với hai cạnh MN 1 cm , NP 3 cm . Hãy tìm độ dài cạnh MP, biết rằng độ dài 
này là một số nguyên (cm). Tam giác MNP là tam giác gì? 
Câu 3: Tính chu vi của tam giác cân ABC biết 
a) AB 7 cm , AC 13 cm . b) AB 5 m , AC 12 m . 
Dạng 2: Chứng minh các bất đẳng thức về độ dài 
 Phương pháp giải 
- Sử dụng bất đẳng thức tam giác và các biến đổi về Ví dụ: Cho tam giác ABC, điểm N thuộc cạnh AB. 
bất đẳng thức. a) So sánh NC với AN AC. 
- Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức b) Chứng minh NB NC AB AC. 
 a b a c b c. Hướng dẫn giải 
- Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều 
 a b
  a c b d. 
 c d
 a) Xét ANC, ta có 
 NC AN AC (bất đẳng thức tam giác). 
 b) Theo câu a) ta có 
 Trang 3 
Câu 6: Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao 
cho tổng AC CB là nhỏ nhất. 
Câu 7: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng về một phía của d và AB không song song với d. 
Một điểm H di động trên d. Tìm vị trí của H sao cho HA HB là lớn nhất. 
 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 
Dạng 1. Điều kiện tồn tại một tam giác dựa vào yếu tố độ dài ba cạnh 
Câu 1. 
a) 3cm; 4cm; 5cm. 
Xét bộ ba cạnh: 3cm; 4cm; 5cm. 
Ta có 5cm là số lớn nhất mà 3 4 5 (thỏa mãn) nên bộ ba cạnh 3cm; 4cm; 5cm. lập thành một tam giác. 
b) 2m; 3m; 6m. 
Xét bộ ba cạnh: 2m; 3m; 6m. 
Ta có 6m là số lớn nhất mà 2 3 6 (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba cạnh 2m; 3m; 
6m không lập thành một tam giác. 
Câu 2. 
Gọi độ dài cạnh MP là x (cm) x 0 . 
Theo bất đẳng thức trong tam giác MNP ta có 
 MN NP MP MN NP 
 1 3x 1 3 2 x 4. 
Vì x là số nguyên nên x 3. 
Vậy độ dài cạnh MP 3 cm . 
Ta có MP NP 3 cm nên MNP cân tại P. 
Câu 3. 
a) Gọi độ dài cạnh BC là x (cm) x 0 . 
Xét ABC ta có 
 AB AC BC AB AC (bất đẳng thức tam giác) 
 7 13 x 7 13 6 x 20. 
Tam giác ABC là tam giác cân BC 7 cm hoặc BC 13 cm . 
- Nếu BC 7 cm thì chu vi tam giác ABC là AB AC BC 7 13 7 27 cm . 
- Nếu BC 13 cm thì chu vi tam giác ABC AB AC BC 7 13 13 33 cm . 
b) Gọi độ dài cạnh BC là x (cm) x 0 . 
Xét ABC ta có 
 Trang 5 
 AB AC BC
Vậy MA MB MC (điều phải chứng minh). 
 2
Câu 4. 
Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF AB. 
Xét ABE và AFE có AB AF (cách vẽ); BAE FAE 
(giả thiết); AE chung. 
Do đó ABE AFE (c.g.c) BE EF. (hai cạnh tương 
ứng) 
Xét EFC có FC EC EF (bất đẳng thức tam giác). 
Mà BE EF nên FC EC EB. 1 
Lại có FC AC AF mà AF AB nên 
 FC AC AB. 2 
Từ 1 và 2 suy ra AC AB EC EB. 
Câu 5. 
a) Xét ABC vuông tại A, ta có 
 AB2 AC 2 BC 2 (định lí Pi-ta-go) 
 32 4 2 BC 2 
 52BC 2 BC 5. 
Xét AMI và CMI có 
 MIA MIC 90 (MI là trung trực của AC); 
 AI CI (giả thiết); MI là cạnh chung. 
Do đó AMI CIM (hai cạnh góc vuông) 
 MA MC (hai cạnh tương ứng) 
 MA MB MC MB. 
Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong BMC, ta có 
 MB MC BC 5 MA MB 5. 
b) Vì MA MB 5 (chứng minh trên) nên 
 MA MB nhỏ nhất khi và chỉ khi MA MB BC. 
Điều này xảy ra khi và chỉ khi M nằm trên đoạn BC 
 MJ  , với J là giao điểm của d và BC. 
 Trang 7