Chuyên đề quan hệ chia hết trên tập hợp số - Toán Lớp 6

 CHUYÊN ĐỀ 
QUAN HỆ CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ 
 3 
 I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 
 1. Định nghĩa phép chia. 
 Cho hai số nguyên a v| b trong đó b 0 ta luôn tìm được hai số nguyên q v| r 
 duy nhất sao cho a bq r , với 0 r b . Trong đó a l| số bị chia, b l| số chia, q l| 
 thương, r l| số dư. 
 Khi a chia cho b thì c{c số dư r 0;1;2;3;...; b 
 Nếu r0 thì a bq , khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a. Ký hiệu: ab 
 hay ba. 
 Vậy a chia hết cho b khi v| chỉ khi tồn tại số nguyên q sao cho . 
 Nếu r0 , khi đó ta nói a chia b có số dư l| r. 
 2. Một số tính chất cần nhớ 
 Tính chất 1. Mọi số nguyên kh{c 0 luôn chia hết cho chính nó. 
 Tính chất 2. Số nguyên a chia hết cho số nguyên b v| số nguyên b chia hết cho số 
 nguyên c thì số nguyên a chia hết cho số nguyên c. 
 Tính chất 3. Số nguyên a chia hết cho số nguyên b v| ngược lại thì ab . 
 Tính chất 4. Nếu a.b m và b,m 1 thì am. 
 Tính chất 5. Nếu hai số nguyên a v| b cùng chia hết cho m thì a b m . 
 Tính chất 6. Nếu a chia hết cho m v| n, trong đó m,n 1 thì a mn . 
 Tính chất 7. Nếu số nguyên a chia hết cho số nguyên b v| số nguyên c chia hết cho 
 số nguyên d thì tích ac chia hết cho tích bd. 
 Tính chất 8. Trong n số nguyên liên tiếp luôn tồn tại một số nguyên chia hết cho n. 
 Tính chất 9. Nếu a b 0 với a, b l| c{c số tự nhiên thì ann b n N chia hết cho 
 ab . 
 Tính chất 10. Nếu a b 0 với a, b l| c{c số tự nhiên v| n l| số tự nhiên lẻ thì 
 abnn chia hết cho ab . 
 3. Một số dấu hiệu chia hết 
 Đặt A an a n 1 ...a 2 a 1 a 0 , với an ;a n 1 ;...;a 2 ;a;a 1 0 l| c{c chữ số. Khi đó ta có c{c dấu 
 hiệu chia hết như sau. 
 Dấu hiệu chia hết cho 2: Số tự nhiên A chia hết cho 2 khi v| chỉ khi 
 a0 0;2;4;6;8 
 5 
 5 số nguyên liên tiếp có 2 số chẵn liên tiếp nên theo ý b) ta có tích 5 số nguyên liên 
 tiếp chia hết cho 8. 
 Mặt khác 5 số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 5 nên tích chúng cũng 
 chia hết cho 5. 
 Vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 120 
 Thí dụ 2. Chứng minh rằng tích của 3 số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 
 Lời giải 
 Ba số chẵn liên tiếp có dạng 2n, (2n + 2) và (2n + 4) với nZ 
 Do đó tích hai số nguyên liên tiếp có dạng 8n(n + 1)(n + 2) 
 Do n, (n + 1) và (n + 2) là 3 số nguyên liên tiếp nên n n 1 n 2 6
 Vì thế n n 1 n 2 6m m Z 
 Do đó tích của 3 số chẵn liên tiếp là 8nn 1 n 2 48m48
 Vậy b|i to{n được chứng minh
  Dạng 2: Phân tích thành nhân tử 
 Cở sở phƣơng pháp: Để chứng minh A(x) chia hết cho p ta phân thích A(x) = D(x).p, 
 còn nếu không thể đưa ra ph}n tích như vậy ta có thể viết p = k.q 
 - Nếu (k, q) = 1 ta chứng minh A(x) chia hết cho k và q. 
 - Nếu kq,1 ta viết A(x) = B(x).C(x) rồi chứng minh B(x) chia hết cho k và C(x) 
 chia hết cho q. 
  3 
 Thí dụ 3. Chứng minh với mọi số nguyên n thì nn chia hết cho 6 
 Lời giải 
 a) Ta có: 
 n32 n n n 1 n 1 n n 1 
 Biểu thức là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên một trong 3 số chia hết cho 2, và một 
 trong 3 số chia hết cho 3 mà (2, 3) = 1 nên nn3 6 
  642 
 Thí dụ 4. . Chứng minh n n n 1 chia hết cho 128 với n là số lẻ 
 Lời giải 
 a) Ta có: 
 2
 n6 n 4 n 21 n 4 n 2 1 n 2 1 n 2 1 n 4 1 n 2 1 n 2 1 
 Vì n là số lẻ nên đặt n = 2k + 1 kN Ta có: 
 7 
 Do đó: mn m22 n 6
 c) Ta có: nn 1 2 n 1 nnn 1 2 n 1 nnn 1 2 nnn 1 1 
 Do: n n 1 n 2 6, n 1 n n 1 6
 Do đó: n n 1 2 n 1 6
 Thí dụ 7. Chứng minh rằng: n vàn5 có chữ số tận cùng giống nhau với n là số tự 
 nhiên. 
 Lời giải 
 Để chứng minh n và có chữ số tận cùng giống nhau ta chứng minh nn5 10 
 Thật vậy: 
 5 4 2 2 2 2 
 n n n n1 n n 1 n 1 n n 1 n 4 5
 2 2 2
 nn 145 n nn 1 nnnnn 21 1251 nnn 1 
 Nhận xét: n 2 n 1 n n 1 n 2 là tích của năm số tự nhiên liên tiếp nên chia 
 hết cho 2 v| 5 do đó chia hết cho 10. 
 Mặt khác n 11 n n là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 nên 
 5 n 1 n n 1 chia hết cho 10. 
 Do đó vậy b|i to{n được chứng minh. 
 n53 n7 n
 Thí dụ 8. a) Chứng minh rằng là số nguyên với mọi nZ 
 5 3 15
 n n23 n
 b) Chứng minh rằng là số nguyên với mọi n là số nguyên chẵn 
 12 8 24
 Lời giải 
 78n n n n
 a) Ta có: nn 
 15 15 5 3
 nn5 37 nnn 5 3 nnnnnn 5 3
 Do đó: nn 
 5 3 15 5 3 5 3 5 3
 Từ các thí dụ trên ta dễ dàng chứng minh được: n53 n 5, n n 3 do đó b|i 
 to{n được chứng minh. 
 b) Do n là số nguyên chẵn nên n = 2m (với mZ ) 
 n n2 n 3 m m 2 m 323 m 3 m 2 m m m 1 2 m 1 
 Do đó: 
 12 8 24 6 2 3 6 6
 Theo ý c) thí dụ 6 ta có do đó b|i to{n được chứng minh
 9 
 a) Ta có: 11n22n12n 12 11 .11 12.12 2n 121.11 n 12.144 n
 133 12 .11n 12.144 n 133.11 n 12 144 n 11 n 
 Do đó 133.11n 133 và 12 144n 11 n 144 11 hay 12 144 n 11 n 133 
 Nên 133.11n 12 144 n 11 n 11 n 2 12 2n 1 133 (đpcm) 
 b) Ta có: 5n2 26.5 n2n1 8 25.5 n 26.5 n 8.8 2n 51.5 n 8.64 n 
 59 8 .5n 8.64 n 59.5 n 8 64 n 5 n 
 Vì 64n 5 n 64 5 64 n 5 n 59 
 Nên 59.5n 8 64 n 5 n 59 5 n 2 26.5 n 8 2n 1 59 (đpcm) 
 c) Ta có: 7.52n 12.6 n 7.25 n 19 7 .6 n 19.6 n 7 25 n 6 n 
 Vì 25n 6 n 25 6 7 25 n 6 n 19 
 Nên 19.6n 7 25 n 6 n 19 57.5 2n 12.6 n 19 (đpcm) 
 Thí dụ 12. Chứng minh rằng A 19931997 1997 1993 30 
 Lời giải 
 n
 Sử dụng tính chất a b ka bn với k là số nguyên, n là số tự nhiên. 
 Ta có: 
 1997 1993
 A 19931997 1997 1993 1980 13 2010 13 
 1980c 131997 2010d 13 1993
 1980c 2010d 131993 13 4 
 30 66c 67d 952.131993 30.
 Thí dụ 13. (Chuyên sư phạm Hà Nội 1997 – 1998) 
 Chứng minh rằng C55 n n 163 n n 2 n 91nN. 
 Lời giải 
 n n n n
 Sử dụng tính chất abkab n , a 1 ac 1, a 1 ac 1 với k là 
 số nguyên, n là số tự nhiên 
 Ta có: 
 11 
 Mà (3, 2) = 1 nên ta chỉ cần chứng minh n 2n 1 7n 1 3 
 Xét 3 trường hợp: 
 - Trường hợp 1: n = 3k thì n2n 1 7n 1 3k6k 1 21k 1 3 
 - Trường hợp 2: n = 3k + 1 thì 2n7 6k93 n2n77n13 
 - Trường hợp 3: n = 3k + 2 thì 7n 1 21k 153 n2n 7 7n 13 
 Từ 3 trường hợp trên suy ra n(2n + 7)(7n + 1) chia hết cho 6. 
 Thí dụ 16. Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn x y y z z x x y z * 
 Chứng minh rằng x y z chia hết cho 27 
 Lời giải 
 Ta xét c{c trường hợp sau: 
 - Nếu 3 số x, y, z chia cho 3 có số dư kh{c nhau thì (x – y), (y – z), (z – x) sẽ đều 
 không chia hết cho 3 do đó (x – y)(y – z)(z – x) sẽ không chia hết cho 3. Nhưng khi 
 đó tổng của 3 số (x + y + z) sẽ chia hết cho 3 điều này trái với điều kiện (*) của bài 
 toán, vì thế trường hợp này không thể xảy ra. 
 - Nếu 3 số x, y, z có 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư thì (x – y), (y – z), (z – x) sẽ có 
 một hiệu chia hết cho 3 do đó (x – y)(y – z)(z – x) sẽ chia hết cho 3. Nhưng khi đó 
 tổng của 3 số (x + y + z) sẽ không chia hết cho 3 điều này trái với điều kiện (*) của 
 bày toán, vì thế trường hợp này không thể xảy ra. 
 Vậy 3 số x, y, z chia cho 3 phải cùng số dư, khi đó (x – y), (y – z), (z – x) sẽ đều chia 
 hết cho 3 nên tích (x – y)(y – z)(z – x) sẽ chia hết cho 27. Mặt khác theo giả thiết (*) ta 
 có (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z nên (x + y + z) chia hết cho 27. Vậy b|i to{n được 
 chứng minh. 
  Dạng 6: Sử dụng phƣơng pháp phản chứng 
 Cơ sở phƣơng pháp: Để chứng minh A(x) không chia hết cho n ta giả sử A(x) chia 
 hết cho n sau đó dùng lập luận để chỉ ra mâu thuẩn để chỉ ra điều giả sử là sai. 
 Thí dụ 17. Chứng minh rằng n2 n 16 không chia hết cho 25 với mọi số tự nhiên 
 n. 
 Lời giải 
 Giả sử chia hết cho 25. 
 Do chia hết cho 25 nên cũng chia hết cho 5. 
 Ta có: n2 n 16 n 3 n 2 10