Chuyên đề Phương trình vô tỷ - Toán 9

 CHỦ ĐỀ 8 – PHƯƠNG TRèNH Vễ TỶ
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.........................................................................................2
 DẠNG 1: GHẫP THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH .............................................................................................2
 DẠNG 2: NHÂN LIấN HỢP ĐƯA VỀ TÍCH.................................................................................................3
 DẠNG 3: DỰ ĐOÁN NGHIỆM ĐỂ TỪ Để TÁCH THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH...................................6
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ...................................................................................................................12
 DẠNG 1 : BIẾN ĐỔI VỀ MỘT BIỂU THỨC VÀ ĐẶT MỘT ẨN PHỤ ...................................................12
 DẠNG 2. BIẾN ĐỔI VỀ HAI BIỂU THỨC VÀ ĐẶT HAI ẨN PHỤ RỒI ĐƯA VỀ TÍCH.....................14
 DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ KẾT HỢP VỚI ẨN BAN ĐẦU ĐƯA VỀ TÍCH.................................................16
 DẠNG 2: ĐÁNH GIÁ VẾ NÀY MỘT SỐ, VẾ KIA SỐ Để BẰNG BĐT CỐI, BUNHIA..............18
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ .....................................................................................22
 I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.......................................................................................22
 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ. ..............................................................................................................22
 III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ..................................................................................................................23
 1 x3 8 4 x2 4 x2 2x 4 x2 0
 x 2 x2 2x 4 x2 2x 4 4 x2 0
 x2 2x 4 x 2 4 x2 0
 x 1 2 3 x 2 4 x2 0
 4 x2 2 x
 2 x 0
 2 2
 4 x 4 4x x
 x 0
 x 2
So với điều kiện, ta cú tập nghiệm của phương trỡnh đó cho là S 0;2 .
Vớ dụ 4. Giải phương trỡnh x 2 7 x 7x x2 2 x 7 0 .
 Lời giải.
Điều kiện: 0 x 7 .
Khi đú, ta cú
 x 2 7 x 7x x2 2 x 7 0
 2 7 x 2 x x(7 x) (7 x) 0
 2 7 x x 7 x 7 x x 0
 7 x x 2 7 x 0
 7 x x 0
 2 7 x 0
 7 x x
 7 x 4
 x 3
 7
 x 
 2
 7 
So với điều kiện, ta cú tập nghiệm của phương trỡnh là S 3;  .
 2
DẠNG 2: NHÂN LIấN HỢP ĐƯA VỀ TÍCH
 a b
 • a b khi biểu thức xỏc định.
 a b
 a b2
 • a b khi biểu thức xỏc định.
 a b
Vớ dụ 1. Giải phương trỡnh x2 1 x2 x 2 2x 3x 1 .
 Lời giải.
 3 4x2 5x 1 3 2 x2 x 1 9x
 4x2 5x 1 4x2 4x 4 9x 3 0
 4x2 5x 1 4x2 4x 4 
 9x 3 0
 4x2 5x 1 4x2 4x 4
 9x 3
 9x 3 0
 4x2 5x 1 4x2 4x 4
 1 
 9x 3 1 0
 4x2 5x 1 4x2 4x 4 
 1
Trường hợp 1. 9x 3 0 x (thỏa).
 3
Trường hợp 2. 
 1
 1 0
 4x2 5x 1 4x2 4x 4
 1
 1
 4x2 5x 1 4x2 4x 4
 4x2 5x 1 4x2 4x 4 1
Vỡ 4x2 4x 4 2x 1 2 3 3 nờn trường hợp 2 vụ nghiệm.
 1
Vậy phương trỡnh cú tập nghiệm là S  .
 3
Vớ dụ 4. Giải phương trỡnh 5x 4 3x 2 4x 5 2x 3 .
 Lời giải.
 2
Điều kiện: x .
 3
Với điều kiện trờn phương trỡnh trở thành
 5x 4 3x 2 4x 5 2x 3
 5x 4 4x 5 3x 2 2x 3 0
 5x 4 4x 5 3x 2 2x 3 
 0
 5x 4 4x 5 3x 2 2x 3
 x 1 x 1
 0
 5x 4 4x 5 3x 2 2x 3
 1 1 
 x 1 0
 5x 4 4x 5 3x 2 2x 3 
 x 1
So với điều kiện ta cú tập nghiệm của phương trỡnh là S 1.
Vớ dụ 5. Giải phương trỡnh 3x2 7x 3 x2 2 3x2 5x 1 x2 3x 4 .
 Lời giải.
 5 trỡnh đú về dạng tớch (x +α).f(x) = 0.
 • Trong trường hợp f(x) = 0 mà phức tạp thỡ ta thường chứng minh f(x) = 0 vụ 
nghiệm hoặc chứng minh f(x) = 0 cú nghiệm duy nhất.
Bước 1: Nhẩm cỏc số nguyờn thỏa món điều kiện xem số nào thỏa món phương trỡnh, ta thường nhẩm cỏc số 
mà thay vào cỏc căn đều khai căn được.
Bước 2: Lập bảng để chọn số cần chốn vào phần căn.
 a-b2
Bước 3: Kết hợp cụng thức a - b= để đưa về tớch.
 a + b
Vớ dụ 1: Giải phương trỡnh 3x+1- 6- x + 3x2 - 14x - 8 = 0 .
Phõn tớch bài toỏn: Phương trỡnh này ta nhẩm được một nghiệm x = 5 nờn ta sẽ tỏch được nhõn tử x – 5 
 3 x +1 6- x
 x = 5 4 1
Từ bảng này, ta suy ra 3x+1sẽ đi với số 4, cũn 6- x sẽ đi với số 1.
 Trỡnh bày lời giải:
 1
Điều kiện : - Ê x Ê 6
 3
Phương trỡnh Û ( 3x+1- 4)- ( 6- x - 1)+ 3x2 - 14x - 5 = 0
 (3x+1)- 42 (6- x)- 12
Û + + 3x2 - 15x+x - 5 = 0
 3x+1 + 1 6- x + 2
 3x-15 5- x
Û + + 3x(x - 5)+ (x - 5)= 0
 3x+1 + 1 6- x + 2
 ổ ử
 ỗ 1 1 ữ
Û (x - 5)ỗ + + 3x+1ữ= 0
 ốỗ 3x+1 + 1 6- x + 2 ứữ
Trường hợp 1: Xột x – 5 = 0 Û x = 5 ( thỏa món điều kiện)
 1 1
Trường hợp 2: Xột + + 3x+1=0 loại vỡ 
 3x+1 + 1 6- x + 2
 1 1 1
 + + 3x+1> 0 ∀- Ê x Ê 6
 3x+1 + 1 6- x + 2 3
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh đó cho là S = {5}
Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh x - 1 + 6- x = 3x2 - 4x - 1
Phõn tớch bài toỏn: Phương trỡnh này ta nhẩm được một nghiệm x = 2 nờn ta sẽ tỏch được nhõn tử x – 2
 x - 1 6- x
 x = 2 1 2
Từ bảng này, ta suy ra x - 1 sẽ đi với số 1, cũn 6- x sẽ đi với số 2.
 7 ộ3x - 2 - 12 x + 3 - 22 ự
 ờ( ) ( ) ỳ 2
 Û 5.ờ + ỳ= 4x - 24x + 20
 ởờ 3x - 2 + 1 x + 3 + 2 ỷỳ
 ổ(3x - 2)- 12 (x + 3)- 22 ữử
 ỗ ữ 2
 Û 5.ỗ + ữ= 4x - 4x - 20x + 20
 ốỗ 3x - 2 + 1 x + 3 + 2 ứữ
 ổ 3x - 3 x - 1 ử
 ỗ ữ
 Û 5.ỗ + ữ= 4x(x - 1)- 20(x - 1)
 ốỗ 3x - 2 + 1 x + 3 + 2ứữ
 ổ 15 5 ử
 ỗ ữ
 Û (x - 1)ỗ + - 4x+20ữ= 0
 ốỗ 3x - 2 + 1 x + 3 + 2 ứữ
Trường hợp 1: Xột x – 1 = 0 Û x = 1 ( thỏa món điều kiện)
 15 5
Trường hợp 2: Xột + - 4x+20=0 
 3x - 2 + 1 x + 3 + 2
 15 5
 Û + - 4x+20=0 
 3x - 2 + 1 x + 3 + 2
 15 5
 Û + = 4x - 20 (*)
 3x - 2 + 1 x + 3 + 2
 15 5 15 5
Nếu x + =4 (*)
 3x - 2 + 1 x + 3 + 2 3.6- 2 + 1 6 + 3 + 2
Mà 4.x – 20 < 4.6 – 20 = 4 nờn phương trỡnh (*) vụ nghiệm.
 15 5 15 5
Nếu x >6 thỡ + < + =4 (*)
 3x - 2 + 1 x + 3 + 2 3.6- 2 + 1 6 + 3 + 2
Mà 4.x – 20 > 4.6 – 20 = 4 nờn phương trỡnh (*) vụ nghiệm.
Nếu x = 6 thỏa món (*) và thỏa món điều kiện
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh đó cho là S = {1;6}
Vớ dụ 4: Giải phương trỡnh x3 - 2 x + 2 - 4 = 0
Phõn tớch bài toỏn: Phương trỡnh này ta nhẩm được một nghiệm x = 2 nờn ta sẽ tỏch được nhõn tử x – 2
 x + 2
 x = 2 2
Từ bảng này, ta suy ra x + 2 sẽ đi với số 2.
Trỡnh bày lời giải:
Điều kiện : x ³ 2
Phương trỡnh (x3 - 8)- 2( x + 2 - 2)= 0
 9