Chuyên đề Phương trình vô tỷ - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 DẠNG V: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
1. Phương pháp 1: Sử dụng công thức của định nghĩa căn bậc hai số học
 x 0
 a x
 2
 x a
Ví dụ 1: Giải phương trình 3x 4 x
 Giải
 x 0
Ta có : 3x 4 x 2
 x 3x 4
Giải x2=3x+4 ta được x=-1 ; x=4. Đối chiếu với điều kiện x 0 thì nghiệm của 
phương trình là x=4
2. Phương pháp 2: Sử dụng hằng đẳng thức đểA 2đưa A phương trình vô tỷ 
về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối .
Ví dụ 2: Giải phương trình : x 4 x 4 x 4 x 4 4 (2) 
 Giải :
Với điều kiện : x 4 ta có : 
(2) x 4 4 x 4 4 x 4 4 x 4 4 4
 2 2
 x 4 2 + x 4 2 4
 x 4 2 + x 4 2 4
 x 4 2 x 4 2 4 vì x 4 2 0 x 4
* Nếu x 4 2 0 x 8 thì ta có : 2 x 4 4 x 8 (thoã mãn)
* Nếu x 4 2 0 x 8 thì ta có : x 4 2 2 x 4 4 4 4 . Vậy phương 
trình có vô số nghiệm x thoã mãn 4 x 8
Chú ý: HS có thể sai lầm khi kết luận nghiệm
3. Phương pháp 3: Bình phương hai vế của phương trình vô tỷ đã cho để có 
phương trình hữu tỷ .
Ví dụ 3: Giải phương trình : 2x 5 3x 5 2 (3)
 Giải
 5
 x 
 2x 5 0 2 5
Điều kiện: x 
 3x 5 0 5 3
 x 
 3
Ta có (3) 2x 5 3x 5 2 (3’)
Hai vế của (3’) không âm, bình phương hai vế của (3’) ta được:
2x+5 =3x-5 + 4 3x 5 4
 4 3x 5 6 x (3’’)
Với ĐK: 6 x 0 x 6 . Hai vế của(3’’) không âm nên ta bình phương hai vế 
của (3’’) ta được: 16( 3x-5) =36+x2 -12x
 x2 - 60x+116=0 x=2 ; x=58. 42 60
 Bài toán 6: Giải phương trình: 6 (1) 
 5 x 7 x
 42 60 
 Phương trình (1) có nghĩa khi x < 5 nên 1 3 3 0
 5 x 7 x 
 42 42 60 60 
 3 3 3 3 
 5 x 5 x 7 x 7 x
 0
 42 60 
 3 3 
 5 x 7 x 
 42 60
 9 9 
 5 x 7 x 0
 42 60 
 3 3 
 5 x 7 x 
 9 5 x 42 9 7 x 60
 0
 42 60 
 5 x 3 7 x 3 
 5 x 7 x 
 1 1
 3 1 3x 0 3 1 3x 0 vì 
 42 60 
 5 x 3 7 x 3 
 5 x 7 x 
 1 1 1
 > 0 nên x . Thử lại đúng nên nghiệm 
 42 60 3
 5 x 3 7 x 3 
 5 x 7 x 
 1
 của phương trình là x .
 3
 Bài toán 17: Giải phương trình x2 3x 2 x 3 x 2 x2 2x 3 .
 Điều kiện của phương trình: x 2
 Ta có x2 3x 2 x 3 x 2 x2 2x 3
 x 1. x 2 x 3 x 2 x 1. x 3
 x 1 x 2 x 3 x 2 x 3 0 x 2 x 3 x 1 1 0
 x 2 x 3 hoặc x 1 1 0 x 2 x 3 hoặc x 1 1 0x 1 hoặc 
 x 2 . x 2
 là một nghiệm của phương trình.
 5. Phương pháp 5: Đặt ẩn phụ.
a) Đặt ẩn phụ để có phương trình bậc hai
Ví dụ 5 : Giải phương trình : 3x2 +6x+20 =x 2 2x 8 (5)
 Giải a=3 2 ; b=0 =>x=3
Vậy phương trình có hai nghiệm : x=1 ; x=3
 Bài toán 5: Giải phương trình: 5 1 x3 2 x2 2 (1)
 Giải: 
 Điều kiện 1 x3 0 x 1 x2 x 1 0 Do x2 x 1 0 với mọi x nên 
 x 1 0 x 1
 Đặt a x 1 ; b x2 x 1 với a 0 ;b 0 . Nên phương trình (1) trở thành : 
 2
 2 2 a a a
 5ab 2 a b 2 5 2 0. Giải phương trình này được 2 hoặc 
 b b b
 a 1
 b 2
 a
 Với 2 thì phương trình (1) vô nghiệm
 b
 a 1 x 1
 2 x 1 x2 x 1
 Với thì 2 . Phương trình có hai nghiệm 
 b 2 x 5x 3 0
 5 37 5 37
 thoả điều kiện x ; x .
 1 2 2 2
 Bài toán 8: Giải phương trình: x 5 x 2 1 x2 7x 10 3 (1)
 Đặt a x 2 a2 x 2 ; b x 5 b2 x 5 nên b2 a2 x 5 x 2 3
 b2 a2 3
 .Do đó phương trình (1) trở thành: (*) 
 (b a)(1 ab) 3
 Từ hệ (*) suy ra b2 a2 b a 1 ab b a a b ab 1 0
 b a 0 a b
 a b 1 khi đó ta cũng có x = -1.
 a b ab 1 0 a 1 b 1 0
 Cách giải khác:
 Điều kiện x > -2 và x2 7x 10 x 2 x 5 . Nhân hai vế của phương trình (1) 
 với x 2 x 5 ta được: x 2 x 5 1 x 2 x 5 3 x 2 x 5 
 3 1 x 2 x 5 3 x 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5 1 0
 x 5 1 x 2 1 x 2 0 x 5 1 1 x 2 0
 x 5 1 0 x 5 1 x 4
 Do x > -2 nên x = -4 (loại). Vậy nghiệm 
 1 x 2 0 x 2 1 x 1
 của phương trình x = -1.
 Bài toán 9: Giải phương trình: 25 x2 10 x2 3 (1)
 25 x2 0 x2 25
 Giải: Điều kiện x2 10 10 x 10 (*).
 2 2
 10 x 0 x 10 Bài toán 14: Giải phương trình : 
 3 3x2 x 2001 3 3x2 7x 2002 3 6x 2003 3 2002 .
Giải: Đặt : 3 3x2 x 2001 a a3 3x2 x 2001
 3 3x2 7x 2002 b b3 3x2 7x 2002
 3 6x 2003 c c3 6x 2003
Suy ra a3 b3 c3 2002 . Do đó phương trình đã cho sẽ là a b c 3 a3 b3 c3 
nên a b c 3 (a3 b3 c3 ) 0 Khai triển và thu gọn được: 
 3 a b b c c a 0 .
 • Nếu a b 0 
 3 3x2 x 2001 3 3x2 7x 2002 3x2 x 2001 3x2 7x 2002
 1
 6x 1 x 
 6
 • Nếu b c 0 3 3x2 7x 2002 3 6x 2003 3x2 7x 2002 6x 2003
 2 1 13 1 13 
 3x x 1 0 . Phương trình này có nghiệm x ; 
 6 6  
 • Nếu a c 0 3 3x2 x 2001 3 6x 2003 3x2 x 2001 6x 2003
 3x2 7x 4004 0. Phương trình này vô nghiệm
 1 1 13 1 13 
Vậy phương trình có ba nghiệm x ; ; .
 6 6 6  
 Bài toán 16: Giải phương trình: x2 x 1000 1 8000x 1000
Giải: Đặt 
 1 8000x 1 2y 1 8000x 2y 1 1 8000x 4y2 4y 1 4y2 4y 8000x
 y2 y 2000x . Do đó phương trình đã cho trở thành hệ phương trình:
 x2 x 2000y
 (1).Từ hệ phương trình (1) ta suy ra 
 2
 y y 2000x
 x2 x y2 y 2000 y x x y x y x y 2000 x y 0 (2)
 x y x y 1 2000 0 x y x y 1999 0
Từ hệ phương trình (1) 
suy ra: x2 y2 x y 2000 x y 2001 x y x2 y2 0 x y 0 .
 Nên x y 1999 0 .Do đó từ (2) suy ra x y 0 hay x = y. Thay vào hệ (1) ta 
được x2 x 2000x x x 2001 0 x 0 hoặc x 2001. Nhưng x = 0 không là 
nghiệm của phương trình nên phương trình có nghiệm là x = 2001.
Bài toán 30:Tìm x, y, z biết x y z x y z .
 Điều kiện: x; y; z 0 ; x y z 0. Đặt x a2 ; y b2 ; z c2 . Do a.b.c 0 nên ta có 
 a2 b2 c2 a b c a2 b2 c2 a b c 2 7. Phương pháp 7:Sử dụng bất đẳng thức.
a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế không giao nhau, khi đó phương trình vô 
nghiệm
Ví dụ 10: Giải phương trình : x x 1 x 3
 Giải
 x 0
ĐK : x 1 0 x 3
 x 3 0
Khi đó ta có : x x 1 => giá trị của vế trái nhận giá trị âm. Mà x 3 0 => 
giá trị vế phải lại không âm. Do đó phương trình đã cho vô nghiệm
b) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế không giao nhau tại cùng một giá trị. Khi đó 
phương trình có nghiệm tại chính giá trị đó của ẩn.
Ví dụ 11: Giải phương trình : x 2 2x 2 3x 2 6x 7 2 2x x 2
 Giải
Ta có : x 2 2x 2 x 1 2 1 1 . Dấu “=” xảy ra x=-1
 3x 6x 7 3 x 1 2 4 4 . Dấu “=” xảy ra x=-1
=> Giá trị vế trái 1 4 3 .Dấu “=” xảy ra x=-1
Mà 2- 2x- x2 =-(x2 +2x+1)+3=- (x+1)2 +3 3 . Dấu “=” xảy ra x=-1
Vì thế x=-1 là nghiệm của phương trình đã cho
c) Sử dụng dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức:
 4
Ví dụ 12: Giải phương trình : x 2 4
 x 2
 Giải
 4
ĐK: x>2 . Ta có 0 ; x 2 0 . áp dụng bất đẳng thức cô-sy cho hai số 
 x 2
không âm ta có:
 4 4
 x 2 2. x 2 4
 x 2 x 2
áp dụng a+b 2 ab a,b 0 . Dấu “=” xảy ra a=b
 4
Ta có x 2 =4 
 x 2
 4
 x 2
 x 2
 x 2 2 4
 4 4 4
=> x 2 x 2 2. . x 2 4
 x 2 x 2 x 2
 4 4
 x 2 x 2 4
 x 2 x 2