Chuyên đề Phương trình và hệ phương trình Toán 9 Chân trời sáng tạo

 2
 Chỷỳng
 PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRèNH1
 PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRèNH
 PHƯƠNG TRèNH QUY VỀ
 Baõi 1 PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
 AA TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
 1 Phương trỡnh tớch
 Muốn giÊi phương trẳnh (a1x + b1)(a2x + b2) = 0, ta giÊi hai phương trẳnh a1x + b1 = 0 và a2x + b2 = 0, rồi
 lĐy tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa chỳng.
 o Trong nhiãu trường hủp, để giÊi mởt phương trẳnh, ta bián đổi để đưa phương trẳnh đú vã dÔng phương trẳnh
 tẵch.
 2 Phương trỡnh chứa ẩn ở mẫu quy về phương trỡnh bậc nhất
 Đối với phương trẳnh chựa ân ở mău, điều kiằn cừa ân sao cho cĂc phƠn thực chựa trong phương trẳnh đểu xĂc
 định gọi là điều kiản xĂc định cừa phương trẳnh.
 o – Để tẳm điều kiằn xĂc định cừa phương trẳnh chựa Đn ở mău, ta đặt điều kiằn cừa ân để tĐt cÊ cĂc mău
 thực chựa trong phương trẳnh đều khĂc 0.
 – Nhỳng giĂ trị cừa ân khụng thoÊ mÂn điều kiằn xĂc định thẳ khụng thº là nghiằm cừa phương trẳnh.
 Cỏch giải phương trỡnh chứa ẩn ở mẫu
 Bước 1. Tẳm điều kiằn xĂc định cừa phương trẳnh.
 Bước 2. Quy đồng mău hai vá cừa phương trẳnh rồi khỷ mău.
 Bước 3. GiÊi phương trẳnh vứa tẳm được.
 Bước 4. Kát luên. Trong cĂc giĂ trị tẳm được cừa ân ở Bước 3, giĂ trị nào thỏa mÂn điều kiằn xĂc định chẵnh
 là nghiằm cừa phương trẳnh đó cho.
 BA CÁC DẠNG BÀI TẬP
 | Dạng 1. Giải phương trỡnh dạng tớch
 Ą Vớ dụ 1. GiÊi cĂc phương trẳnh sau:
 a) (2x + 1)(3x − 1) = 0; b) (3x + 1)(2 − 3x) = 0; c) (x + 5)(3x − 9) = 0; d) 3x (x + 7) = 0.
2/476 2/476 4
 1. PHƯƠNG TRèNH QUY VỀ PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
 c) Ta cú (x − 5) (2x − 4) = 0 nản x − 5 = 0 hoặc 2x − 4 = 0.
 ○ x − 5 = 0, suy ra x = 5.
 ○ 2x − 4 = 0, hay 2x = 4, suy ra x = 2.
 Vêy phương trẳnh đó cho cú hai nghiằm là x = 5 và x = 2.
 □
 Ą Vớ dụ 3. GiÊi cĂc phương trẳnh sau:
 Å6x − 1 ó Å2 + x xó Å3x + 5 13x − 1ó
 a) (4x − 5) + 1 = 0; b) − − = 0:
 3 4 5 6 9
 ɓ Lời giải.
 Å6x − 1 ó 6x − 1
 a) Ta cú (4x − 5) + 1 = 0 nản 4x − 5 = 0 hoặc + 1 = 0.
 3 3
 5
 ○ 4x − 5 = 0 hay 4x = 5, suy ra x = .
 4
 6x − 1 1
 ○ + 1 = 0 hay 6x + 2 = 0, suy ra x = − .
 3 3
 5 1
 Vêy phương trẳnh đó cho cú hai nghiằm x = và x = − .
 4 3
 Å2 + x xó Å3x + 5 13x − 1ó 2 + x x 3x + 5 13x − 1
 b) Ta cú − − = 0 nản − = 0 hoặc − = 0
 4 5 6 9 4 5 6 9
 2 + x x
 ○ − = 0 hay 5(x + 2) − 4x = 0 hay x + 10 = 0, suy ra x = −10.
 4 5
 3x + 5 13x − 1
 ○ − = 0 hay 9(3x + 5) − 6(13x − 1) = 0 hay −51x + 51 = 0, suy ra x = 1.
 6 9
 Vêy phương trẳnh đó cho cú hai nghiằm x = −10 và x = 1.
 □
 Ą Vớ dụ 4.
 Độ cao h (m²t) cừa mởt quÊ búng gụn sau khi được đỏnh t giƠy được cho bởi cụng thực
 h = t (20 − 5t). Cú thº tẵnh được thời gian bay cừa quÊ búng tứ khi được đỏnh đến khi chÔm
 đất khụng?
 ɓ Lời giải.
 QuÊ búng chÔm đất khi h(t) = 0, do đú ta giÊi phương trẳnh: t (20 − t) = 0.
 t (20 − t) = 0
 t = 0 hoặc 20 − t = 0
 t = 0 hoặc t = 20:
 Vêy thời gian bay cừa quÊ búng tứ khi được đĂnh đến khi chÔm đất là 20 − 0 = 20 giƠy. □
 | Dạng 2. Giải phương trỡnh đưa về dạng phương trỡnh tớch
 Ą Vớ dụ 5. GiÊi cĂc phương trẳnh sau bơng cĂch đưa vã phương trẳnh tẵch:
 a) x2 + 7x = 0; b) (3x + 2)2 − 4x2 = 0;
4/476 4/476 6
 1. PHƯƠNG TRèNH QUY VỀ PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
 a) Bián đổi phương trẳnh đó cho vã phương trẳnh tẵch như sau:
 (2x − 3)2 = (x + 7)2
 (2x − 3)2 − (x + 7)2 = 0
 [(2x − 3) − (x + 7)][(2x − 3) + (x + 7)] = 0
 (x − 10)(3x + 4) = 0
 Ta giÊi hai phương trẳnh sau:
 ○ x − 10 = 0 suy ra x = 10.
 4
 ○ 3x + 4 = 0 hay 3x = −4, suy ra x = − .
 3
 4
 Vêy phương trẳnh đó cho cú hai nghiằm là x = 10 và x = − .
 3
 b) Bián đổi phương trẳnh đó cho vã phương trẳnh tẵch như sau:
 x2 − 9 = 3(x + 3)
 (x − 3)(x + 3) − 3(x + 3) = 0
 (x + 3)[(x − 3) − 3] = 0
 [(x + 3)(x − 6)] = 0:
 Ta giÊi hai phương trẳnh sau
 ○ x + 3 = 0 suy ra x = −3.
 ○ x − 6 = 0 suy ra x = 6.
 Vêy phương trẳnh đó cho cú hai nghiằm là x = −3 và x = 6.
 c) Bián đổi phương trẳnh đó cho vã phương trẳnh tẵch như sau:
 x2 − x = −2x + 2
 x2 − x + 2x − 2 = 0
 x(−x − 1) + 2(x − 1) = 0
 (x + 2)(x − 1) = 0:
 Ta giÊi hai phương trẳnh sau:
 ○ x + 2 = 0 suy ra x = −2.
 ○ x − 1 = 0 suy ra x = 1.
 Vêy phương trẳnh đó cho cú hai nghiằm là x = −2 và x = 1.
 d) Bián đổi phương trẳnh đó cho vã phương trẳnh tẵch như sau:
 x2 − 3x = 2x − 6
 x2 − 3x − 2x + 6 = 0
 x(x − 3) − 2(x − 3) = 0
 (x − 3)(x − 2) = 0:
 ○ x − 3 = 0 suy ra x = 3.
 ○ x − 2 = 0 suy ra x = 2.
 Vêy phương trẳnh cú hai nghiằm x = 3 và x = 2.
 □
6/476 6/476 8
 1. PHƯƠNG TRèNH QUY VỀ PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
 Ą Vớ dụ 8.
 Trong mởt khu đất cú dÔng hẳnh vuụng, người ta dành mởt mÊnh đất, cú dÔng hẳnh chỳ 50m
 nhêt ở gúc khu đất để làm bº bơi (Hẳnh 1). Biát diằn tẵch bº bơi bơng 1 250 m2. Tẵnh độ
 dài cÔnh khu đất đú. Bºb
 ơi
 25m
 Hẳnh 1
 ɓ Lời giải.
 Gọi độ dài cÔnh khu đất cú dÔng hẳnh vuụng là x (m). Khi đú, mÊnh đất dÔng hẳnh chỳ nhêt để làm bº bơi cú
 cĂc kẵch thước là x − 50 (m); (x > 50) và x − 25 (m). Do đú, diằn tẵch cừa mÊnh đất là (x − 50)(x − 25) (m2).
 Vẳ vêy, ta cú phương trẳnh (x − 50)(x − 25) = 1 250.
 GiÊi phương trẳnh (x − 50)(x − 25) = 1 250
 (x − 50)(x − 25) − 1 250 = 0
 x2 − 75x = 0
 x(x − 75) = 0
 x = 0 hoặc x = 75:
 Do x > 50 nản x = 75. Vêy độ dài cÔnh khu đất là 75 (m). □
 Ą Vớ dụ 9. Trong mởt khu vườn hẳnh vuụng cú cÔnh bơng 15 m người ta làm mởt lối đi xung quanh vườn
 cú bã rởng là x (m). Để diằn tẵch phƯn đất cỏn lÔi là 169 m2 thẳ bã rởng x cừa lối đi là bao nhiảu?
 ɓ Lời giải.
 PhƯn đất cỏn lÔi văn là hẳnh vuụng cú cÔnh 15 − 2x (m) nản diằn tẵch phƯn đất cỏn lÔi là (15 − 2x)2.
 15
 Do cÔnh cừa hẳnh vuụng là mởt số dương nản 15 − 2x > 0x < .
 2
 Theo bài ra ta cú phương trẳnh (15 − 2x)2 = 169. Khi đú
 (15 − 2x)2 − 132 = 0
 (15 − 2x − 13)(15 − 2x + 13) = 0
 (2 − 2x)(28 − 2x) = 0:
 ○ 2 − 2x = 0 suy ra x = 1
 ○ 28 − 2x = 0 suy ra x = 14 (loÔi).
 Vêy lối đi rởng 1 (m). □
 | Dạng 3. Giải phương trỡnh chứa ẩn ở mẫu
 Ą Vớ dụ 10. GiÊi cĂc phương trẳnh:
 x + 6 3 2 3 3x − 20
 a) + = 2; b) − = ;
 x + 5 2 x − 2 x − 3 (x − 3)(x − 2)
 2 1 3 1 4x x
 c) + = ; d) − = .
 x + 1 x − 2 (x + 1)(x − 2) x − 1 x3 − 1 x2 + x + 1
 ɓ Lời giải.
8/476 8/476