Chuyên đề Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn - Đại số 10

ĐẠI SỐ 10. CHƯƠNG III. 
PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
 BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 
 DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
1. Phương Pháp 
1.1 Khái niệm: 
Phương trình bậc nhất hai ẩn xy, là hệ thức dạng: ax by c 1 
Trong đó abc,, là ba số cho trước với ab, không đồng thời bằng 0. 
1.2 Tập hợp nghiệm của phương trình: 
a) Một nghiệm của phương trình 1 là một cặp số xy00, sao cho ax00 by c . 
b) Phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu 
diễn bởi đường thẳng ax by c , kí hiệu là d . 
- Nếu a 0 và b 0 thì công thức nghiệm là: 
 x c by
 x 
 c ax hoặc a . 
 y 
 b y 
Khi đó đường thẳng d cắt cả hai trục tọa độ. 
- Nếu a 0 và b 0 thì công thức nghiệm là: 
 x 
 c . 
 y 
 b
 c
Khi đó đường thẳng d song song hoặc trùng với trục Ox , cắt Oy tại điểm có tung độ . 
 b
- Nếu a 0 và b 0 thì công thức nghiệm là: 
 y 
 c . 
 x 
 a
 c
Khi đó đường thẳng d song song hoặc trùng với trục Oy , cắt Ox tại điểm có hoành độ . 
 a
2. Ví dụ 
 Ví dụ 1 
 Trong các cặp số , cặp số nào là nghiệm của phương trình: ?
 Phân tích 
Cặp xy00; là nghiệm của phương trình ax by c nếu khi thay x x00, y y vào phương trình 
 ta được hai vế bằng nhau. 
 Lời giải 
 Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình yx 23 
Cho xy 03 ta được A 0;3 . 
 3 3
Cho yx 0 ta được B ;0 . 
 2 2
 3
Biểu diễn cặp điểm AB 0;3 , ;0 trên hệ trục tọa độ và đường thẳng AB chính là tập nghiệm 
 2
của phương trình . 
 y
 A
 B x
 O
 Ví dụ 3 
 Cho phương trình 
 a) Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình . 
 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình . 
 Lời giải 
 28x 
a) Xét 2xy 3 8 1 y . 
 3
Cho x là một giá trị t tùy ý ta tính được giá trị tương ứng của y . 
 xt 
Ta được công thức nghiệm tổng quát của phương trình là 28t . 
 y 
 3
 2x 8 3 x x 8 x 8
b. Ta có yx . 
 3 3 3
 x 8
Đặt t t x 38 t . 
 3
Khi đó nghiệm nguyên của phương trình là 
 xt 38 xt 38
 hay t . 
 y 38 t t yt 28
Cho t là một giá trị nguyên nào đó ta được một nghiệm nguyên của phương trình 1 . 
 x 5
Ví dụ như, với t 1 thì . 
 y 6
nghiệm của hệ phương trình (3). 
Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó. 
- Giải hệ (3) bằng phương pháp cộng đại số (biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình 
tương đương). 
+ Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó 
trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau. 
+ Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho để được một phương trình mới (phương 
trình một ẩn). 
+ Dùng phương trình một ẩn thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên 
phương trình kia). 
+ Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. 
- Giải hệ (3) bằng phương pháp thế (biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình tương 
đương). 
+ Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ 
hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn). 
+ Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. 
- Nhận xét 
+ Phương pháp thế sẽ sử dụng thuận tiện hơn khi một trong hai phương trình của hệ có các hệ số 
của x hoặc y là 1 hay -1. Khi đó chỉ cần rút hoặc ở phương trình có hệ số là 1 hay -1 này và 
thay vào phương trình còn lại để giải hệ. 
+ Đối với các hệ phương trình mà không có hệ số nào của và là 1 hay -1 thì việc sử dụng 
phương pháp thế làm phát sinh các phân số và việc cộng trừ dễ làm ta sai sót. Khi đó dùng phương 
pháp cộng đại số giúp các em đỡ nhầm lẫn hơn trong các phép tính. 
 a1 x b 1 y c 1 z d 1
b. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là a2 x b 2 y c 2 z d 2 (4) 
 a3 x b 3 y c 3 z d 3
Trong đó , , z là ba ẩn; các chữ còn lại là hệ số. 
Mỗi bộ ba số x0;; y 0 z 0 nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ thì được gọi là một nghiệm của 
hệ phương trình (4). 
- Giải hệ (4) bằng cách biến đổi hệ về dạng tam giác bằng phương pháp khử dần ẩn số. 
2. Ví dụ 
 Ví dụ 1 
 Giải các hệ phương trình sau: 
 a) b) 
 Ví dụ 4 
 Biết , , là ba số thực thỏa mãn hệ phương trình . Tìm tất cả các nghiệm 
 thực của phương trình 
 Lời giải 
Ta có: 
 a b c 3 a b c 3 a 1
 a b c 1 2 b 2 b 1. 
 a b c 1 2 c 2 c 1
Vậy ax22 2 bx c 0 x 2 x 1 0 x 1. 
 Ví dụ 5 
 Giải hệ phương trình 
 Phân tích 
Làm giảm số ẩn bằng cách cộng từng vế phương trình 2 và phương trình 3. 
 Lời giải 
 2x 5 y z 10 2 x 5 y z 10 2 x 5 y z 10 x 2
 x 2 y 3 z 10 2 x 4 y 6 z 20 9 y 7 z 10 y 2. 
 x3 y 2 z 16 5 y z 6 5 y z 6 z 4
Vậy nghiệm của hệ là x; y ; z 2; 2; 4 . 
 Ví dụ 6 
 Giải hệ phương trình 
 Phân tích 
Làm giảm số ẩn bằng cách trừ từng vế phương trình 2 và phương trình 3. 
 Lời giải 
 2x 5 y z 8 2 x 5 y z 8 2 x 5 y z 8 x 1
 x 2302460 y z x y z y 78 z y 1. 
 x y 2 z 2 3 y 5 z 2 3 y 5 z 2 z 1
Vậy nghiệm của hệ là x; y ; z 1;1;1 . 
2. Ví dụ 
 Ví dụ 1 
 Giải và biện luận theo tham số hệ phương trình: . 
 Phân tích 
- Hệ phương trình đã cho có thể dùng phương pháp thế để chuyển bài toán biện luận hệ phương 
trình về bài toán biện luận phương trình bậc nhất một ẩn. 
 Lời giải 
 Cách 1: 
 y 33 x y x
 Hệ phương trình tương đương I . 
 mx 2 3 x 1 m 2 x 5
Xét phương trình mx 25 1 
 5
 Nếu m 2 thì phương trình 1 có một nghiệm duy nhất x . 
 m 2
 5
 x 
 m 2
Khi đó hệ I có một nghiệm duy nhất . 
 55
 y 33 
 mm 22
  Nếu m 2 thì phương trình 1 trở thành 05x (vô lý). 
 phương trình 1 vô nghiệm. 
 hệ I vô nghiệm. 
 Kết luận: 
 55
 m 2 : hệ có nghiệm duy nhất xy; ;3 . 
 mm 22
 m 2 : hệ vô nghiệm. 
  Cách 2: 
 11 31 13
 Dm 2. D 5. Dm 1 3 . 
 m 2 x 12 y m 1
 D 5
 x x
 Dm2 
 Trường hợp 1: Dm 02 : Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất . 
 D 13 m
 y y
 Dm2 
 Trường hợp 2: Dm 02 
 D 0
Ta có nên hệ phương trình vô nghiệm. 
 Dmx 50 
 Kết luận: 
 5 1 3m
 : hệ có nghiệm duy nhất xy;; . 
 22 mm
 : hệ vô nghiệm.