Chuyên đề Phương trình và bất phương trình bậc hai - Toán 10

 MỤC LỤC
 Chương I. Phương trẳnh và bĐt phương trẳnh bêc hai 2
  Chuyản đề 1. Hàm số bêc hai.................................3
  Chuyản đề 2. DĐu tam thực bêc hai............................ 38
  Chuyản đề 3. Phương trẳnh quy vã phương trẳnh bêc hai............. 61
  Chuyản đề 4. Bài têp tờng hủp............................... 75
F 1
 LaTeX Theme and Related Topics - H 0947 306 694 đ
ản ã
y
u
h 1 HÀM Sẩ BẬC HAI
 C
 I. TÂM TẮT LÍ THUYẾT
 1) Hàm số bêc hai
 Định nghĩa 1.
 Hàm số bêc hai được cho bởi cụng thực y = ax2 + bx + c (a = 0).
 6
 Têp xĂc định cừa hàm số này là D = R.
 2) Đồ thị cừa hàm số bêc hai
 Định nghĩa 2.
 b ∆
 Đồ thị cừa hàm số y = ax2 +bx+c (a = 0) là mởt đường parabol cú đỉnh là điểm I ; − ,
 6 −2a 4a
 b  
 cú trục đối xựng là đường th¯ng x = . Parabol này quay bã lóm lản trản náu a > 0, xuống
 −2a
 dưới náu a < 0.
 * CĂch v³ đồ thị hàm số bêc hai.
 b ∆
 1 XĂc định tọa độ cừa đỉnh I ; − .
 −2a 4a
  
 b
 2 V³ trục đối xựng x = .
 −2a
 3 Lêp bÊng giĂ trị
 b
 x x x x x
 1 2 −2a 3 4
 ∆
 y y(x ) y(x ) − y(x ) y(x )
 1 2 4a 3 4
  LƯU í. Đồ thị cừa hàm số y = ax2 + bx + c (a = 0) cưt trục tung tÔi điểm (0; c).
 6
 Đồ thị cừa hàm số y = ax2 + bx + c (a = 0) cưt trục hoành (náu cú) tÔi điểm cú tọa
 6 2
 độ (x0; 0) với x0 là nghiằm cừa phương trẳnh ax + bx + c = 0.
 4 V³ Parabol
  LƯU í. Khi v³ cƯn chỳ ý đến dĐu cừa hằ số a (a > 0 bã lóm quay lản trản, a < 0
 bã lóm quay xuống dưới).
 3) Chiãu bián thiản cừa hàm số bêc hai
 Dựa vào đồ thị cừa hàm số y = ax2 + bx + c(a = 0), ta cú bÊng bián thiản cừa nú trong hai
 6
 trường hủp a > 0 và a < 0 như sau
 F 3
 LaTeX Theme and Related Topics - H 0947 306 694 L Chuyản đề 1. Hàm số bêc hai
 M> 0
 3 Phương trẳnh cú hai nghiằm dương phƠn biằt khi và ch¿ khi: S > 0 .
 P > 0
 M> 0
 4 Phương trẳnh cú hai nghiằm Ơm phƠn biằt khi và ch¿ khi: S < 0 .
 P > 0
  M> 0
 5 Phương trẳnh cú hai nghiằm phƠn biằt khĂc khi và ch¿ khi: .
 x0 2
 (ax0 + bx0 + c = 0
 6
7) Mởt vài cụng thực cƯn nhớ
  LƯU í. Đồ thị cừa hàm số y = ax2 + bx + c (a = 0) là mởt đường parabol cú đỉnh là
 b 6
 điểm I ; M .
 −2a −4a
  
  LƯU í. Đồ thị cừa hàm số y = ax2 + bx + c (a = 0) cưt trục tung tÔi điểm (0; c) (lĐy
 6
 x = 0 thá vào hàm số).
  LƯU í. Đồ thị cừa hàm số y = ax2 + bx + c (a = 0) cưt trục hoành (náu cú) tÔi điểm
 6 2
 cú tọa độ (x0; 0) với x0 là nghiằm cừa phương trẳnh: ax + bx + c = 0 (1). Số nghiằm cừa
 phương trẳnh (1) là số giao điểm cừa đồ thị với trục hoành.
II. MậT Sẩ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
 DÔng 1 Đồ thị hàm số bêc hai và cĂc vĐn đề liản quan
 Muốn v³ parabol, ta cƯn là cĂc bước sau:
 b
 x XĂc định tọa độ đỉnh S(x ; y ), với x = , y được tẵnh bơng cĂch thay x vào hàm
 0 0 0 −2a 0 0
 số và bĐm mĂy.
 b
 y XĂc định trục đối xựng d: x = .
 −2a
 z Lêp bÊng giĂ trị (5 điºm), hoặc tẳm giao điểm với Ox, Oy.
 { XĂc định "chiãu quay" cừa parabol và v³ parabol cú đỉnh S, cú trục đối xựng d và qua
 cĂc điểm vứa xĂc định.
 K Vẵ dụ 1     
V³ đồ thị cĂc hàm số sau và nảu khoÊng đồng bián, nghịch bián cừa chỳng
 1 y = x2 + 5x 4 x + 4 khi x < 1
 − − 3 −
 y = 2
 2 y = x2 + 2x 3 (x 4x + 3 khi x > 1.
 − −
F 5
 LaTeX Theme and Related Topics - H 0947 306 694 L Chuyản đề 1. Hàm số bêc hai
 Hàm số nghịch bián trản khoÊng ( ; 1) và đồng bián trản khoÊng ( 1; + ).
 −∞ − − ∞
 3 Khi x < 1 thẳ y = x + 4.
 −
 x = 1 y = 3, ta được điểm A(1; 3)
 • ⇒
 x = 0 y = 4, ta được điểm B(0; 4).
 • ⇒
 Khi x 1 thẳ y = x2 + 2x 3.
 > −
 Tọa độ đỉnh I(2; 1).
 • −
 Trục đối xựng x = 2
 •
 CĂc điểm M(1; 0), N(3; 0) thuởc đồ thị.
 •
 Thực hiằn v³ đồ thị trản tứng miãn. Kát hủp lÔi, ta được hẳnh sau:
 y
 4
 3
 1 2 x
 O 3
 1
 −
 Hàm số nghịch bián trản ( ; 2), đồng bián trản (2; + ).
 −∞ ∞
 K Vẵ dụ 2     
Tẳm giĂ trị lớn nhĐt, b² nhĐt (náu cú) cừa cĂc hàm số sau
 1 y = 7x2 3x + 10. 2 y = 2x2 x + 1.
 − − −
 b Lời giải.
 1 Hàm số y = 7x2 3x + 10 cú a = 7 > 0 nản y đạt giĂ trị b² nhĐt tÔi đỉnh.
 −∆ 271
 Suy ra y = = và khụng tồn tÔi giĂ trị lớn nhĐt.
 min −4a 8
 2 Hàm số y = 2x2 x + 1 cú a = 2 < 0 nản y đạt giĂ trị lớn nhĐt tÔi đỉnh.
 − ∆− 9 −
 Suy ra y = = và khụng tồn tÔi giĂ trị nhỏ nhĐt.
 max −4a 8
 K Vẵ dụ 3     
Tẳm giĂ trị lớn nhĐt, b² nhĐt (náu cú) cừa cĂc hàm số sau
 1 y = x2 3x với 0 x 2. 2 y = x2 4x + 3 với 0 x 4.
 − 6 6 − − 6 6
 b Lời giải.
 1 Hàm số y = x2 3x cú a = 1 > 0 nản bã lóm hướng lản.
 −
F 7
 LaTeX Theme and Related Topics - H 0947 306 694 L Chuyản đề 1. Hàm số bêc hai
 3
 3 Vẳ (P ) đi qua điểm A(3; 4) và cú trục đối xựng x = nản ta cú
 − −4
 4
 9a + 3b + 2 = 4 3a + b = 2 a =
 − − −9
  b 3 ⇔  3 ⇔  2
 = b = a b = .
  − 2a −4  2  −3
 4 2
 Vêy (P ): y = x2 x + 2.  
 −9 − 3
 1
 4 Vẳ (P ) đi qua điểm B( 1; 6) và cú tung đở đỉnh bơng nản ta cú
 − −4
 a b + 2 = 6 a b = 4 a = 4 + b a = 4 + b
 − −
 ∆ 1 2 2 2
  = ⇔ (b 4ac = a ⇔ (b 8(4 + b) = 4 + b ⇔ (b 9b 36 = 0
  − 4a −4 − − − −
 a = 16 a = 1
  hoặc
 ⇔ (b = 12 (b = 3.
 −
 a = 16
 Với ta cú (P ): y = 16x2 + 12x + 2.
 (b = 12
 Với a = 1, b = 3 ta cú (P ): y = x2 3x + 2.
 − −
 Vêy (P ): y = 16x2 + 12x + 2 hoặc (P ): y = x2 3x + 2.
 −
 K Vẵ dụ 5     
XĂc định parabol y = ax2 + bx + c, biát rơng parabol đú
 1 Đi qua ba điểm A(1; 1),B( 1; 3),O(0; 0). tung độ bơng 2.
 − − −
 2 Cưt trục Ox tÔi hai điểm cú hoành độ lƯn 3 Đi qua điểm M(4; 6), cưt trục Ox tÔi hai
 −
 lượt là 1 và 2, cưt trục Oy tÔi điểm cú điểm cú hoành độ lƯn lượt là 1 và 3.
 −
 b Lời giải.
 a + b + c = 1 a = 1
 −
 1 Vẳ (P ) đi qua ba điểm A(1; 1), B( 1; 3), O(0; 0) nản suy ra a b + c = 3 b = 2
 − −  − − ⇔ 
 c = 0 c = 0.
 Vêy (P ): y = x2 + 2x.
 −  
 2 Gọi A và B là hai giao điểm cuÊ (P ) với trục Ox cú hoành đở lƯn lượt là 1 và 2. Suy ra
 −
 A( 1; 0), B(2; 0).
 −
 Gọi C là giao điểm cừa (P ) với trục Oy cú tung độ bơng 2. Suy ra C(0; 2).
 − −
 a b + c = 0 a = 1
 −
 Theo giÊ thiát, (P ) đi qua ba điểm A, B, C nản ta cú 4a + 2b + c = 0 b = 1
  ⇔  −
 c = 2 c = 2.
 − −
 Vêy (P ): y = x2 x 2.
 − −  
 3 Gọi E và F là hai giao điểm cừa (P ) với trục Ox cú hoành độ lƯn lượt là 1 và 3. Suy ra
 E(1; 0), F (3; 0).
F 9
 LaTeX Theme and Related Topics - H 0947 306 694