Chuyên đề Phương trình tiếp tuyến của đường tròn - Hình học 10

CHƯƠNG 
BÀI 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
Dạng 4. Tiếp tuyến của đường tròn 
 A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 
 BÀI 1 
 Trên hệ trục tọa độ Oxy , cho đường tròn C có tâm I 3;2 và một tiếp tuyến của nó có 
 phương trình là: 3xy 4 9 0. Viết phương trình của đường tròn . 
 Lời giải 
 3( 3) 4(2) 9 10
Bàn kính của đường tròn là R 2 
 3422 5
 22
Vậy phương trình đường tròn là: xy 3 2 4. 
 BÀI 2 
 Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C : x 1 22 y 5 4 tại điểm M 3; 5 . 
 Lời giải 
 22
Đường tròn C có tâm I 1; 5 , bán kính R 2. IM 3 1 5 5 2 R 
Do đó điểm M 3; 5 thuộc đường tròn C . 
Tiếp tuyến của C tại M 3; 5 có véctơ pháp tuyến là IM 2;0 . 
Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại là 
d : 2 x 3 0 y 5 0 x 3 0. 
 BÀI 3 
 22
 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn C : x 3 y 1 10. Lập phương trình tiếp tuyến 
của C tại điểm A 4;4 . 
 Lời giải 
Đường tròn C có tâm I 3;1 . Điểm thuộc đường tròn . 
Tiếp tuyến của tại điểm có véctơ pháp tuyến là IA 1;3 nên tiếp tuyến d có 
phương trình dạng x 30 y c . 
d đi qua nên 4 3.4 cc 0 16 . 
Vậy phương trình của d : xy 3 16 0 . 
1 
 19
 yx 
 22
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là 
 11
 yx 
 22
Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện. 
 BÀI 6 
 22
 Trong mặt phẳng Oxy , cho C : x 2 y 1 5 . Tìm M : x y 2 0 sao cho qua 
 M kẻ được tới C hai tiếp tuyến MA, MB thỏa mãn diện tích tứ giác MAIB bằng 10, với I là 
tâm đường tròn. 
 Lời giải 
 C có tâm I 2;1 , bán kính R 5 AI 
 1 SMAIB 22
 SMAIB 2 S AMI 2. . AM . AI AM 2 5 MI AM AI 5 
 2 AI
 M : x y 2 0 M a ;2 a
 22 2 a 5
MI 5 2 a 1 a 25 a 3 a 10 0 
 a 2
 M 5; 3 
Vậy có 2 điểm thỏa mãn điều kiện . 
 M 2;4 
 BÀI 7 
Cho đường tròn (C) có phương trình x22 y 6 x 2 y 6 0 và điểm hai điểm AB 1; 1 ; 1;3 
a) Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A . 
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ B . 
 Lời giải 
Đường tròn (C) có tâm I 3; 1 bán kính R 32 1 6 2 . 
a) Ta có: IA 2 R ; IB 2 5 R suy ra điểm A thuộc đường tròn và điểm B nằm ngoài đường 
tròn 
b) Tiếp tuyến của (C) tại điểm A nhận IA 2;0 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là 
2 xy 1 0 1 0 hay x 1 
c) Phương trình đường thẳng đi qua B có dạng: 
a x 1 b y 3 0 (với ab22 0 ) hay ax by a 30 b 
Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn d I; R 
3 
 Lời giải 
Đường tròn C1 có tâm I1 0;2 bán kính R1 3 
Đường tròn C2 có tâm I2 3; 4 bán kính R2 3 
Gọi tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình :0ax by c với ab22 0 
 22
 dI(1 , ) 3 2b c 3 a b * 
 là tiếp tuyến chung của C1 và C2 
 dI( , ) 3 22
 2 3a 4 b c 3 a b
 ab 2
Suy ra 2b c 3 a 4 b c 32ab 
 c 
 2
TH1: Nếu ab 2 chọn ab 2, 1 thay vào (*) ta được c 2 3 5 nên ta có 2 tiếp tuyến là 
2xy 2 3 5 0 
 32ab
TH2: Nếu c thay vào (*) ta được 22b a a22 b a 0 hoặc 3ab 4 0 
 2
+ Với a 0 c b , chọn bc 1 ta được :y 1 0 
+ Với 3a 4 b 0 c 3 b , chọn a 4, b 3, c 9 ta được : 4xy 3 9 0 
Vậy có 4 tiếp tuyến chung của hai đường tròn là: 2x y 2350, y 10,4 x 3 y 90 . 
 BÀI 10 
 22 22
 Trong hệ trục Oxy, cho hai đường tròn C1 : x 1 y 2 2 , C2 : x 4 y 5 8 
và đường thẳng d:0 x y m . Tìm m biết đường thẳng d tiếp xúc với cả hai đường tròn C1 
và C2 . 
 Lời giải 
 C1 có tâm I1 1;2 , bán kính R1 2 và C2 có tâm I2 4;5 , bán kính R2 22. 
Vì đường thẳng d tiếp xúc với cả hai đường tròn và nên ta có 
 m 3
 2
 d I11, d R 2
 m 5 
 d I22, d R 9 m
 22
 2
 BÀI 11 
 Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn (C) có phương trình 
 22
 xy 2 1 8 và điểm A thuộc đường thẳng d: x 2 y 3 0. Tìm tọa độ các đỉnh của 
hình thoi, biết rằng BD 2 AC và hoành độ điểm A không nhỏ hơn 2. 
 Lời giải 
5 
 2
 7 a 1aa2 14 49 1 34 23a 34
 d 4 
 Nd; 22 22
 2 1 aa 3 2 2a 4 a 10 2 16 2 a 4 a 10 4
 34 3
 Maxf a a 
 42
 31
 Vậy M ; . 
 22
 B. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
 Ví DỤ 1 
 Trong mặt phẳng , cho đường tròn C có tâm I 2; 3 tiếp xúc với đường thẳng 
 d:3 x 4 y 7 0 . Tính bán kính của đường tròn . 
 Lời giải 
 Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d, nên có bán kính: 
 6 12 7
 R d I;5 d . 
 9 16
 Ví DỤ 2 
 Cho đường tròn C : x22 y 4 x 2 y 0 . Biết tiếp tuyến của C vuông góc với đường thẳng 
 d:3 x y 0 . 
 Lời giải 
Gọi là đường thẳng vuông góc với d:3 x y 0 :x 3 y c 0 . 
 C có tâm I 2;1 , bán kính R 5 . 
 23 c c 1 5 2
 là tiếp tuyến của C d I; R 5 c 1 5 2 
 10 c 1 5 2 
 xy 3 1 5 2 0
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là . 
 Oxy xy 3 1 5 2 0
 Ví DỤ 3 
 22
 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn C : x 2 y 1 20. Lập phương trình tiếp 
 C 
tuyến của đường tròn C có hệ số góc bằng 2. 
 Lời giải 
Đường tròn C có tâm I 2;1 , bán kính R 2 5. 
Đường thẳng với hệ số góc bằng 2 có dạng: y 2 x m 2 x y m 0 1 
Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn C 
7 
 2 2 x2 1 y 2 11 3 1 x 2 2 y 2 
 x22 y 2 x 8 y 16 0 
 xy 1 22 4 12 1 
Chứng tỏ tập hợp các điểm M x; y trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn 2MB22 11 3 MA là 
một đường tròn C có phương trình 1 
Đường tròn C có tâm I 1;4 , bán kính R 1. 
Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng có dạng: 4x 3 y c 0 c 3 . 
 là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi: d I, R 
 4 12 c c 3
 1 
 16 9 c 13
Vì c 3 nên chỉ có c 13 thỏa mãn. 
Vậy tiếp tuyến cần tìm là :4xy 3 13 0. 
 Ví DỤ 7 
 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn C : x22 y 4 x 6 y 12 0 
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường 
thẳng d : 2xy 1 0 . 
b) Viết phương trình đường tròn C có tâm thuộc đường thẳng xy 20 tiếp xúc 
ngoài với đường tròn C và có bán kính gấp 2 lần bán kính của đường tròn C . 
 Lời giải 
a) C có tâm IR 2; 3 , 5
Phương trình đường thẳng  d có dạng: x 20 y c 
Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn C 
 26 c
 d I, R 5 c 4 5 5
 5 
Vậy có 2 TT cần tìm: xy 2 4 5 5 0
b) I d : x y 2 0 I t ; t 2 ; R' 10 
Vì hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau nên 
 2 t 11
II R R 15 t t 110 0 
 t 10 
Vậy có 2 đường tròn cần tìm: 
 x 112 y 9 2 100; x 10 2 y 12 2 100
 Ví DỤ 8 
9