Chuyên đề Phương trình tích Toán 8

 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 
 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
Phương trình tích (một ẩn) là phương trình có dạng A x .B x ... 0 . (1) 
Trong đó A x ,B x ,... là các đa thức. 
Để giải (1), ta chi cần giải từng phương trình A x 0,B x 0,... rồi lấy tất cả các nghiệm của 
chúng. 
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có vai trò quan trọng trong việc đưa phương 
trình về dạng phương trình tích. Cách đặt ẩn phụ cũng hay được sử dụng để trình bày cho lời giải 
gọn gàng hơn. 
II.BÀI TẬP 
A.DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 
Vận dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử và cách giải phương trình tích đưa phương 
trình đã cho về các phương trình bậc nhất đã biết cách giải. 
Ví dụ 1.Giải phương trình: y y 16 297 0 . 
Ví dụ 2.Giải phương trình: 2x 34 x x 3 0 . 
 22
Ví dụ 3.Giải phương trình: 4x 9 x 25 0. 
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: 
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau: 
a. x2 7x 6 0 ; 
b. x2 6x 5 0 . 
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: 
a. 4x2 4x 1 x 2 ; 
b. 4x2 1 2x 13 x 5 . 
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau: 
a. x2 2x 1 9 0 ; 
b. x3 7x2 3x2 12x . 
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau: 
 22
Ví dụ 3.Giải phương trình: 4x 9 x 25 0. 
Lời giải. 
Ta có thể viết: 
 2
 4x 9 2x 32 x 3 , 
 2
 x 25 x 5 x 5 . 
Do đó: 2x 32 x 3 x 5 x 5 0 . 
 3
Từ đó: x và x 5. 
 2
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: 
a. 0,5x x 3 x 32,5 x 4 ; 
 31
b. x 1 x3x 7 . 
 77 
Lời giải 
a. 0,5x x 3 x 32,5 x 4 . 
Phương trình đã cho tương đương với 
 x 32,5 x 4 0, 5x x 3 0 . 
 x 32,5 x 4 0,5x 0 x 32 x 4 0 . 
Hoặc x 3 0 , hoặc 2x 4 0 . Từ đó ta tìm được x 3 hoặc x 2 . 
Vậy nghiệm của phương trình ban đầu là x 3 và x 2 . 
 31
b. x 1 x3x 7 . 
 77 
Phương trình đã cho tương đương với 
 11
 x3x 7 3x 7 0 
 7 7 
 1 . 
 3x 7 x 1 0
 7 
 1 7
Hoặc 3x 7 0 , hoặc x 1 0 . Từ đó ta tìm được x hoặc x 7 . 
 7 3
 Ví dụ 7. Giải các phương trình sau: 
a. x2 2x 1 9 0 ; 
b.x3 7x2 3x2 12x . 
Lời giải 
a. Xét phương trình x2 2x 1 9 0 . 
 2
Phương trình đã cho tương đương với x 1 9 0 , hay x 1 3 x 1 3 0 , tức là 
 x 2 x 4 0 . 
Từ đó ta tìm được x 2 , hoặc x 4 . 
Vậy nghiệm của phương trình ban đầu là x 2 và x 4 . 
b. Xét phương trình x3 7x2 3x2 12x . 
Phương trình đã cho tương đương với 
 x3 7x2 3x2 12x 0 
 x x2 10x 12 0 hay x x 4 x 3 0 . 
Từ đó ta tìm được x 0 hoặc x 3 hoặc x 4 . 
Vậy nghiệm của phương trình ban đầu là x 0,x 3 và x 4 . 
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau: 
 22
a. 2x 5 x 2 ; 
 2
b. x 1 4 x2 2x 1 . 
Lời giải 
a. Phương trình đã chô tương đương với 
 22
 2x 5 x 2 0 , hay 2x 5 x 22 x 5 x 2 0 . 
Tức là x 73 x 3 0 . Từ đó ta tìm được x 1 hoặc x 7 . 
Vậy phương trình có nghiệm x 1 và x 7 . 
b. Phương trình đã cho tương đương với 
 2 2
 2 x 1 x 1 0 , hay 2x 2 x 12 x 2 x 1 0 . 
 1
Tức là 3x 1x 3 0 . Từ đó ta tìm được x 3 hoặc x . 
 3
 22
Ví dụ 10.Giải phương trình: 2x 5 x 3 
 22
Lời giải. Chuyển các số hàng về vế trái: 2x 5 x 3 0 . 
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ: a2b2 abab ta được: 
 2x 5 x 3 2x 5 x 3 0 , 
Hay 3x 8 x 2 0 . 
Phương trình tích này cho ta: 
 8
 x và x 2 . 
 3 
 43
Ví dụ 11.Giải phương trình: x 16 x 1 x 3 0. 
Lời giải. Để ý rằng: 
 2
 422 222
 x 16 x 4 x 4 x 4 x 2 x 2 x 4 , 
 32
 x 1 x 1 x x 1 
Phương trình đã cho trở thành: 
 22
 x 2 x 2 x 4 x 1 x x 1 x 3 0 
 2
 2 2 1 3
Vì x 4 và x x 1 = x là hai số dương, nên ta có thể viết: 
 2 4
 x 2 x 2 x 1 x 3 0 
Phương trình tích này cho ta: x 2; x 1 và x 3 . 
B.DẠNG BÀI TẬP NÂNG CAO 
Ví dụ 1. Giải phương trình: 2x2 x 6 32 x2 x 3 9 0 . 
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
 x 2 x 3 x 5 x 6 31 x2 8x 12 128 (1) 
Ví dụ 3. Giải các phương trình: 
 a) 3y3 7y2 7y 3 0 (1) 
 x2 8x 12 x2 8x 15 31 x2 8x 12 128 2 
 Đặt x2 8x 12 y thì x2 8x 15 y 3 
 Khi ấy phương trình (2) trở thành y y 3 31y 128 
 y2 3y 31y 1280 y2 4y 32y 128 0 
 y 4 0
 y y 4 32 y 4 0 y 4 y 32 0 
 y 32 0
 2
 Với y 4 0 x2 8x 16 0 x 4 0 x 4 
 Với y 320 x2 8x 20 0 x2 10x 2x 20 0 
 x 10 x 2 0 x 10 hoặc x 2 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2;4;10 
Ví dụ 3. Giải các phương trình: 
 c) 3y3 7y2 7y 3 0 (1) 
 d) 2y4 9y3 14y2 9y 2 0 (2) 
 Giải 
 a) 1 3y3 3y2 10y2 10y 3y 3 0 
 3y2 y 1 10y y 1 3 y 1 0 
 y 13 y2 10y 3 0 y 13 y 1 y 3 0 
 y 1
 y 1 0 
 1 1 
 3y 1 0 y .Vậy tập nghiêm của (8) là S 1; ;3 
 3 3
 
 y 3 0 
 y 3
 b) Với y = 0 từ (2) ta có VT 2 0 nên y = 0 không là nghiệm của (2) 
 Với 16x2 36x 17 9 16x2 36x 26 0 vô nghiệm vì 
 2
 2 9 23
16x 36x 26 4x 0,x 
 2 4
 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2; 0,25 
Ví dụ 5. Giải các phương trình: 
 333
 d) 4x 3 2x 5 2x 8 
 333
 e) 3x 2016 3x 2019 6x 3 
 33
 f) 2x 7 92 x 152 
 Hướng dẫn giải – đáp số 
 33
 Trong các bài toán xuất hiện các dạng a b ; a b và a3 b3 
 3 33 3322
 Lưu ý: a b a b 3ab a b và a b a b a ab b 
 a) Đặt y 4x 3;z 2x 5 thì y z 2x 8 . Ta có: 
 3
 y3 z3 y z y3 z3 y3 z3 3yz y z 3yz y z 0 
 y 0 4x 30 x 0,75
 z 0 hay 2x 50 x 2,5 
 y z 0 2x 80 x 4
 Tập nghiệm của phương trình là S 4; 0,75;2;5 
 b) Đặt u 3x 2016;v 3x 2019 thì u v 6x 3 . 
 3
 Phương trình trên trở thành u3 v3 u v 0 hay 
 33 33 
 u v u v 3uv u v 0 3uv u v 0 
 u 0 3x 2016 0 x 672
 v 0 3x 20190 x 673 
 u v 0 6x 30 x 0,5
 Tập nghiệm của phương trình là S 672;0,5;673 
 5.Giải các phương trình sau: 
a. 3x2 7x 20 0 ; 
b. 3x2 5x 2 0 . 
6.Giải các phương trinh sau: 
 2
a. x2 x 4 x2 x 12 ; 
b. x x 1 x 1 x 2 24 . 
 2
7.Giải phương trình: x2 6x 9 15 x2 6x 10 1 . 
8. Cho phương trình 
 44
 a) 2x 5 2x 3 16 
 444
 b) 4x 19 4x 20 39 8x 
 44
 c) 5x 2,5 5x 1,5 80 
 Lời giải phiếu bài tự luyện 
1. 
a.Ta có thể viết: 2x 7 x 3 x 3 x 3 hay 
 2x 7 x 3 x 3 x 3 0 . 
Đặt x 3 làm thừa số chung: 
 x 3 2x 7 x 3 0 hay x 3 x 4 0 . 
 Suy ra x 3 và x 4 . 
 b. Đưa về phương trình tích số: x 4 x 4 0 . 
 Ta có: x 4 
 1
 c. Đáp số: x và x 2 . 
 2
 d. Đưa về phương trình tích số: 
 x 3x 23 x 2 x 6 0 . 
 2
 Đáp số: x 0 ; x và x 6. 
 3
 x2 x 2 x 2 0 , hay x 2 x 2 1 0 . 
Tức là x 2 x 1 x 1 0 . 
Vậy phương trình có nghiệm là x 2 và x 1 . 
6. 
a.Biến đổi phương trình đã cho, ta có 
 3x2 12x 5x 20 0 , hay 3x x 4 5 x 4 0 . 
Tức là x 43 x 5 0 . 
 5
Vậy phương trình có nghiệm là x 4 và x . 
 3
b.Biến đổi phương trình đã cho, ta có 
 3x2 6x x 2 0 , hay 3x x 2 x 2 0 . 
Tức là x 23 x 1 0 . 
 1
Vậy phương trình có nghiệm là x và x 2 . 
 3
7. 
a. đặt x2 x y , ta có phương trình y2 4y 12 0 . 
Biến đổi phương trình đã cho, ta có y 6 y 2 0 . 
Phương trình có nghiệm y 6 và y 2 . 
Với y 6 , ta có x2 x 6 , hay x2 x 6 0 . 
 2
 1 21
Phương trình có thể viết dưới dạng x 0 , nên phương trình vô nghiệm. 
 2 4
Với y 2 , ta có x2 x 2 , hay x2 x 2 0 . 
Phương trình có thể viết dưới dạng x 1 x 2 0 . 
Phương trình có nghiệm là x 1 và x 2 . 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 1 và x 2 . 
b.Biến đổi phương trinhd đã cho, ta có 
 x2 x x2 x 2 24 .