Chuyên đề Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai - Đại số 10

 BÀI 2. PHƯƠNG TRèNH QUY VỀ PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 
 DẠNG 1: PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT, BẬC HAI CHỨA THAM SỐ 
Bài toỏn 1: Giải và biện luận phương trỡnh chứa tham số. 
A. Túm tắt lớ thuyết. 
B. Một số vớ dụ. 
 Vớ dụ 1 
 Giải và biện luận phương trỡnh theo tham số . 
 Lời giải 
Phương trỡnh m2 3 x 2 m 2 x 4 m m 2 4 x 2 m 2 4 m 1 . 
 2 m 2 2m
TH1: Với m 40 . Khi đú phương trỡnh đó cho cú nghiệm duy nhất x . 
 m 2 m 2
 2 m 2
TH2: Với m 40 
 m 2
Khi m 2 , 1 0x 0: phương trỡnh nghiệm đỳng  x . 
Khi m 2, 1 0x 16 : phương trỡnh vụ nghiệm. 
Kết luận: 
 Khi m 2 , phương trỡnh 1 nghiệm đỳng . 
 Khi m 2, phương trỡnh 1 vụ nghiệm. 
 2m
 Khi m 2, phương trỡnh 1 cú nghiệm duy nhất x . 
 m 2
 23m 
Khi 1 2m 3 m 4 m 1, (1) vụ nghiệm. 
 m 4
 23m 23m 
Vỡ 2 2mm 3 2 8 3 8: vụ lý nờn 2 , m 4. 
 m 4 m 4
Kết luận: 
 Khi m 4 hoặc m 1, phương trỡnh vụ nghiệm. 
 23m 
 Khi m 4 và m 1, phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x . 
 m 4
 Vớ dụ 4 
 Giải và biện luận phương trỡnh theo tham số . 
 Lời giải 
 x 0
Điều kiện: . 
 x 2
Ta cú: 
 1 x x m x 2 m2 2 m x x 2 
 x2 mx m 2 2 m x 2 m 2 4 m x 2 2 x 
 m22 3 m 2 x 2 m 4 m 2 
 2 m 1
TH1: mm 3 2 0 . 
 m 2
Khi m 1, 2 02x : phương trỡnh vụ nghiệm. Khi đú phương trỡnh 1 vụ nghiệm. 
Khi m 2 , 2 00x : phương trỡnh nghiệm đỳng  x . Khi đú phương trỡnh 1 nghiệm 
đỳng  x . 
 2
 2 m 1 2m 4 m 2 m
TH2: mm 3 2 0 . Phương trỡnh 2 x 2 . 
 m 2 m 3 m 2 m 1
 2m
Khi 00 m , phương trỡnh 1 vụ nghiệm. 
 m 1
 2m 2m
Vỡ 2 2mm 2 1 0 1: vụ lý nờn 2 ,  m \ 1;2. 
 m 1 m 1
Kết luận: 
 m 1
 Khi , phương trỡnh 1 vụ nghiệm. 
 m 0
 1 
 Vớ dụ 6 
 Giải và biện luận phương trỡnh theo tham số . 
 Lời giải 
 m 2
 2
TH1: 2mm 5 2 0 1 . 
 m 
 2
 1
Khi m 2, phương trỡnh trở thành 8xx 2 0 . 
 4
 1
Khi m , phương trỡnh trở thành 2xx 2 0 1. 
 2
 m 2
 2 
TH2: 2mm 5 2 0 1 khi đú phương trỡnh đó cho là phương trỡnh bậc hai. 
 m 
 2
Ta cú 4m22 2 2 m 5 m 2 2 5 m 2 . 
 2
Khi 0 2 5mm 2 0 khi đú phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt 
 5
 2mm 2 5 2 
 x . 
 2mm2 5 2
 2
Khi 0 m phương trỡnh cú nghiệm kộp x 5. 
 5
 2
Khi 0 m phương trỡnh vụ nghiệm. 
 5
Kết luận: 
 1
 Khi m 2, phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x . 
 4
 1
 Khi m , phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x 1. 
 2
 2
 Khi m , phương trỡnh cú nghiệm kộp x 5. 
 5
 2 1 2mm 2 5 2 
 Khi m , m 2và m , phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt x . 
 5 2 2mm2 5 2
 2
 Khi m , phương trỡnh vụ nghiệm. 
 5
Khi m 1, phương trỡnh 1 cú nghiệm duy nhất x 3. 
 9
Khi m , phương trỡnh vụ nghiệm. 
 8
 9
Khi m , phương trỡnh cú nghiệm kộp x 5. 
 8
 9 2mm 1 8 9
Khi m và m 1, phương trỡnh 1 cú hai nghiệm phõn biệt x . 
 8 21 m 
 4m 2 x 6 m 3 2 2 m 1 x 3 2 m 1 1 . 
 1
Khi m thỡ phương trỡnh 1 trở thành: 00x , phương trỡnh nghiệm đỳng  x . 
 2
 1 3
Khi m thỡ phương trỡnh 1 cú nghiệm duy nhất x . 
 2 2
Vậy phương trỡnh đó cho luụn cú nghiệm  m . 
Cỏch 2: 
Xột phương trỡnh: 4m 5 x 3 x 6 m 3 4 m 5 x 3 x 6 m 3 
 42m x 63221 m m x 3211 m 
 1
 m 
 2 2m 1 0 2
Phương trỡnh 1 vụ nghiệm khi và chỉ khi . Suy ra khụng tồn tại giỏ trị 
 3 2m 1 0 1
 m 
 2
m để phương trỡnh 1 vụ nghiệm. 
Vậy phương trỡnh (1) luụn cú nghiệm với mọi m 
 Vớ dụ 3 
 Cho phương trỡnh (với là tham số). Tỡm để phương trỡnh cú 
 nghiệm phõn biệt , thỏa . 
 Phõn tớch 
- Tỡm điều kiện để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt 
 22 2
- Biến đổi x1 x 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 để sử dụng định lý Vi-et cho phương trỡnh bậc hai cú nghiệm. 
 Lời giải 
 22
Phương trỡnh x 2( m 1) x m 3 m 4 0 cú hai nghiệm phõn biệt xx12, khi và chỉ khi 
 2
 0 m 1 m2 3 m 4 0 m 3 0 m 3 * 
 x12 x 22 m 
Ta cú 2 . 
 x12 x m 34 m 
 2 222 2
x1 x 220 x 1 x 2 2 x 1 x 2 20222 m m 3420 m 
 2 m 4
 2mm 2 24 0 
 m 3
Kết hợp với điều kiện * , vậy m 4 thỏa yờu cầu bài toỏn. 
 Vớ dụ 5 
 Cho hai phương trỡnh và . Tỡm cỏc giỏ trị của tham số để một 
 nghiệm của phương trỡnh này và một nghiệm của phương trỡnh kia cú tổng là 3? 
 Phõn tớch 
- Giả sử x0 là một nghiệm của một phương trỡnh. Khi đú một nghiệm của phương trỡnh cũn lại là 
3 x0 
- Thay hai nghiệm vào hai phương trỡnh tương ứng để tỡm tham số m. 
 Lời giải 
 2
Gọi x0 là một nghiệm của phương trỡnh x mx 20 . 
 2
Suy ra 3 x0 là một nghiệm của phương trỡnh x 20 x m . 
 x2 mx 20 2
 00 m x00 8 x 15 1 
Khi đú ta cú hệ phương trỡnh 
 2 x2 mx 2 0 2
 3 x00 2 3 x m 0 00 
 x0 2 m 3
 22 7 3 5 21 3 5
Thay 1 vào 2 ta được: x0 x 0 8 x 0 15 x 0 2 0 x 0 m 
 22
 7 3 5 21 3 5
 xm 
 0 22
 21 3 5 21 3 5
Vậy m 3; ; thỏa yờu cầu bài toỏn. 
  22
Với t 2019 x2 2019 x 2019 . 
Vậy phương trỡnh cú 2 nghiệm. 
 Vớ dụ 3 
 Cho phương trỡnh . Tớnh tổng cỏc nghiệm của phương trỡnh. 
 Lời giải 
 2 2 t 1 (loaùi )
Đặt t x t 0 phương trỡnh đó cho trở thành t 2 t 3 0 x 3 . 
 t 3
Vậy tổng cỏc nghiệm của phương trỡnh bằng 0 . 
 Vớ dụ 4 
 Cho phương trỡnh (với là tham số). Tỡm cỏc giỏ trị của để phương 
 trỡnh: 
 a) cú nghiệm duy nhất. 
 b) cú hai nghiệm phõn biệt. 
 c) cú ba nghiệm phõn biệt. 
 d) cú bốn nghiệm phõn biệt. 
 Phõn tớch 
Đặt tx 2 , t 0 . 
Khi đú, phương trỡnh được biến đổi về dạng: t2 m 20 t m 2 . 
 Lời giải 
Đặt tx 2 , t 0 . 
Khi đú, phương trỡnh được biến đổi về dạng: 2 . 
a) Phương trỡnh 1 cú nghiệm duy nhất khi và chỉ khi cú hai nghiệm t1 , t2 thỏa tt12 0 
 S 0 m 20
 khụng tồn tại m . 
 P 0 m 0
Vậy khụng tồn tại m thoả món yờu cầu bài toỏn. 
b) Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt khi và chỉ khi 2 cú 2 nghiệm phõn biệt trỏi dấu
 ac 00 m 
Vậy m 0 thoả món yờu cầu bài toỏn.