Chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên - Toán Lớp 9

 CHUYÊN ĐỀ 
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
 +=
Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x 13y 156 (1). 
 Hướng dẫn giải 
 - Phương pháp 1: Ta có 13y 13 và 156 13 nên 2x 13⇒ x 13 (vì (2,3) = 1). 
Đặt x= 13k (k ∈ Z) thay vào (1) ta được: y=−+ 2k 12 
 =x 13k
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:  (k∈ Z). 
 y=−+ 2k 12
 156− 13y 13y
 - Phương pháp 2: Từ (1)⇒=x =78 − , 
 22
 13y
Để xZ∈⇒ ∈ Z Mà (13,2) = 1 ⇒ y2 Đặt y= 2t(t ∈ Z) ⇒= x 78 − 13t 
 2
 =x 78 − 13t
 Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:  (t∈ Z). 
 y= − 2t
Chú ý: Phương trình có dạng ax+= by c với a,b,c là các số nguyên.
 * Phương pháp giải: 
- Phương pháp 1: Xét tính chia hết của các hạng tử. 
- Phương pháp 2: Khử ẩn, sử dụng tính chia hết tìm điều kiện để một phân số trở thành số 
nguyên. 
Bài toán 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 23x+= 53y 109 . 
 Hướng dẫn giải 
 109− 53y 23(4 − 2y) +− 17 7y 17− 7y
 Ta có x = = =−+4 2y 
 23 23 23
 17− 7y
Ta phải biến đổi tiếp phân số để sao cho hệ số của biến y là 1. 
 23
Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số một bội thích hợp của 23 
17− 7y 17 − 7y +− 46 46 7(9 −− y) 46 7(9 − y)
 = = =−+2 
 23 23 23 23
 7(9− y) 9y−
Từ đó x=−+ 2 2y , Để xZ∈⇒ ∈ Z, do (7,23) = 1. 
 23 23
Đặt 9−= y 23t (t ∈ Z) ⇒=− y 9 23t 
 =−x 9 23t
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:  (t∈ Z). 
 y= 53t − 16
Bài toán 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6x22+= 5y 74 
 Hướng dẫn giải 
 Ta có: 6x22+ 5y = 74 ⇔ 6( x2 −= 4) 5( 10 − y2) ( 2) 
Từ (2) suy ra 6x( 2 − 4) 5 , mặt khác (6,5) =⇒− 1( x2 4) 5 ⇒=+x2 5t 4( t ∈ N) 
Thay x2 −= 4 5t vào (2) ta có: 30t= 5( 10 − y22) ⇔=− y 10 6t 
  4
  +> t >−
 22 5t 4 0  5 45
Ta có: x> 0,y > 0 ⇔ ⇔ ⇔− <t < ,t ∈ N .Suy ra: t∈{ 0;1} 
 10t−> 6 0 5 53
   t <
  3
Với t = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
 x92 = =±x3
 ⇔
Với t = 1 ta có: 2 . Mặt khác x, y nguyên dương nên x = 3, y = 2. 
 y4= y2= ±
Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (3, 2). 
 Dạng 2: Phương pháp đưa về phương trình ước số 
* Cơ sở phương pháp: 
 Ta tìm cách đưa phương trình đã cho thành phương trình có một vế là tích các biểu thức có 
giá trị nguyên, vế phải là hằng số nguyên. 
 Thực chất là biến đổi phương trình về dạng: A(x; y).B(x; y)= c trong đó A(x; y),B(x; y) 
là các biểu thức nguyên, c là một số nguyên. 
 Xét các trường hợp A(x; y),B(x; y) theo ước của c. 
* Ví dụ minh họa: 
Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2xy−+ x y = 3 
 Hướng dẫn giải 
 2xy−+ x y = 3
 ⇔4xy −+ 2x 2y = 6
 ⇔2x( 2y −+ 1) ( 2y −=− 1) 6 1 
 ⇔(2y − 1)( 2x += 1) 5.
 Ta gọi phương trình trên là phương trình ước số: vế trái là một tích các thừa số 
nguyên, vế trái là hằng số. Ta có x và y là các số nguyên nên 2x + 1 và 2y – 1 là các số 
nguyên và là ước của 5. 
(2x + 1) và (2y - 1) là các ước số của 5 nên ta có: 
 2x + 1 1 -1 5 -5 
 2x − 4y −= 7 1 =−x2 2x − 4y −=− 7 7 =x2
1)  ⇔  2)  ⇔  
 2x−=− 3 7 y3= − 2x−= 3 1 y1=
 2x − 4y −=− 7 1 =x5 2x − 4y −= 7 7 =x1
3)  ⇔  4)  ⇔  
 2x−= 3 7 y1= 2x−=− 3 1 y3= −
Vậy các nghiệm nguyên (x;y) của phương trình là: (-2; -3); (2; 1); (5; 1);(1; -3). 
 *Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã s ử dụng phương pháp biến đổi tam thức bậc hai
(ax2+ bxy + cy22 ,ax ++ bx c) ): trước hết ta ch ọn một biến để đưa về hằng đẳng thức (Bình 
phương của một tổng, hoặc một hiệu) chứa biến đó: ở đây ta chọn biến x là : 
 (2y+ 5)2
x2 − x(2y ++ 5) , phần còn lại của đa th ức ta lại làm như v ậy với biến y: 
 4
−+(2y 5)2 4y2 +− 8y 3 4(y+− 1)2 7
 ++3y 7 = − = − . 
 4 4 4
 Các bạn có thể tư duy tìm hướng giải như sau: 
x22− 2xy +−+=⇔− 3y 5x 7 0 x( 2y + 5) x +++= 3y 7 a a( *) 
Xét phương trình: x2 −( 2y5x3y7a0** +) + ++= ( ) 
Với a là số chưa biết cần thêm vào, xác định a như sau: 
 2
 ∆ = + − ++
 (**) (2y 5) 4( 3y 7 a)
 =4y2 + 20y +− 25 12y −− 28 4a 
 =4y2 + 8y −− 3 4a
 −7
Chọn a để ∆ là số chính phương nên −−3 4a = 4 ⇒ a = .khi đó : 
 (**) 4
 2 2y+− 5 2( x + 1) 3 2y++ 5 2( x + 1) 4y+ 7
∆=4( x + 1) ⇒= x =,x = = 
 (**) 1222 2 2
 374y + 7
Vậy: (*) ⇔ x − x − =−⇔−(2x 3)( 2x − 4y − 7) =− 7 
 2 24
Vì x, y nguyên nên ta có các trường hợp sau: 
 2x − 4y −= 7 1 =−x2 2x − 4y −=− 7 7 =x2
1)  ⇔  2)  ⇔  
 2x−=− 3 7 y3= − 2x−= 3 1 y1=
 2x − 4y −=− 7 1 =x5 2x − 4y −= 7 7 =x1
3)  ⇔  4)  ⇔  
 2x−= 3 7 y1= 2x−=− 3 1 y3= −
Vậy các nghiệm nguyên (x;y) của phương trình là: (-2; -3); (2; 1); (5; 1);(1; -3). 
Bài toán 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x22+= 12x y( 1) 
 Dạng 3: Phương pháp tách ra các giá trị nguyên. 
* Cơ sở phương pháp: 
 Trong nhiều bài toán phương trình nghiệm nguyên ta tách phương trình ban đầu thành các 
phần có giá trị nguyên để dễ dàng đánh giá tìm ra nghiệm, đa số các bài toán sử dụng phương pháp 
này thường rút một ẩn (có bậc nhất) theo ẩn còn lại. 
* Ví dụ minh họa: 
Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: xy2y3y10− − += 
 Hướng dẫn giải 
 Ta có xy− 2y − 3y +=⇒ 1 0 y( x − 3) = 2x − 1. 
 2x− 1
Ta thấy x = 3 không là nghiệm nên x3≠ do đó: y = 
 x3−
 2x− 1
Tách ra ở phân thức các giá trị nguyên: 
 x3−
 2x− 1 2x( −+ 3) 5 5
y2= = = + 
 x3−− x3 x3 −
 5
Do y là số nguyên nên cũng là số nguyên, do đó (x – 3) là ước của 5. 
 x3−
+) x – 3 = 1 thì x = 4, y = 2 + 5 = 7 
+) x -3 = -1 thì x = 2, y = 2 – 5 = -3 (loại) 
+) x – 3 = 5 thì x = 8, y = 2 +1 = 3 
+) x – 3 = -5 thì x = -2 (loại) 
Vậy nghiệm (x, y) là (4, 7) , (8, 3). 
Bài toán 2. Tìm các số nguyên x và y thoả mãn phương trình: x2 + xy2yx50 − −−= 
 Hướng dẫn giải 
 Nhận xét: trong phương trình này ẩn y có bậc nhất nên rút y theo x. 
 Ta có: x22+ xy2yx50 − −−=⇔ yx2( −) =−++ x x5( *) 
 Với x = 2 thì: (*) ⇔= 03 (vô lý) 
 −x2 ++ x2 3 3
Với x2≠ ta có: (*) ⇔ y = + =−−+x1 
 x2−− x2 x2 −
Để y nguyên thì 3x2( − ) . Vậy (x – 2) là ước của 3 do đó:
(x− 2) ∈−{ 3, − 1, 1, 3} ⇒ x ∈−{ 1,1,3,5} 
Vậy phương trình có nghiệm: (x, y) = (3; - 1) ; (5; -5); (1; -5); (-1; - 1) 
* Cơ sở phương pháp: 
 Chúng ta dựa vào tính chẵn lẻ của ẩn hoặc xét số dư hai vế của phương trình 
nghiệm nguyên với một số nguyên nào đó rồi dùng luận luận để giải bài toán. 
* Ví dụ minh họa: 
 Dạng 1: Sử dụng tính chẵn lẻ 
Bài toán 1. Tìm x, y nguyên tố thoả mãn y22−= 2x 1 
 Hướng dẫn giải 
 Ta có y22− 2x =⇒ 1 y 2 = 2x 2 +⇒ 1 y là số lẻ 
Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + 1 
 x2 = 2 k2 + 2k x chẵn , mà x nguyên tố x = 2, y = 3 
⇔ Vậy nghiệm⇒ của phương trình là (x, ⇒y) = (2, 3). 
Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 
 (2x+ 5y + 1)( 2x ++ y x2 + x) = 105 
 Hướng dẫn giải 
 Ta có: (2x+ 5y + 1)( 2x ++ y x2 + x) = 105 
Ta thấy 105 lẻ 2x + 5y + 1 lẻ 5y chẵn y chẵn, 2|x| + y + x2 + x = 2|x| + y + x(x+ 1) lẻ 
 |x| |x|
có x(x+ 1) chẵn,⇒ y chẵn 2 lẻ⇒ 2 = 1⇒ x = 0 
Thay x = 0 vào phương⇒ trình ta ⇒được ⇒
 26
(5y + 1) ( y + 1) = 105 5y2 + 6y – 104 = 0 y = 4 hoặc y = − ( loại) 
 5
Thử lại ta có x = 0; y =⇔ 4 là nghiệm của phương⇒ trình. 
Vậy nghiệm của phương trình là (x, y) = (0, 4). 
 Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ và xét số dư từng vế 
Bài toán 1. Chứng minh rằng các phương trình sau không có nghiệm nguyên: 
a) x22−= y 1998 b) x22+= y 1999 
 Hướng dẫn giải