Chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên (Phần 1) - Bồi dưỡng HSG Toán 8

 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa phép chia hết
Với a,b Z(b 0);q,r Z sao cho a bp r(0 r b ) 
+) Nếu r 0 ab
+) Nếu r 0 a  b
2. Một số tính chất: a,b,c,d Z
+) Nếu a 0 aa;0a 
+) Nếu ab;bc ac
+) Nếu ab;ba a b 
+) Nếu ab;ac aBCNN[b,c]
+) Nếu ab;ac;(b,c) 1 abc 
+) Nếu ab acb(c Z)
3. Một số định lý thường dùng
+) Nếu ac;bc (a b)c 
+) Nếu ac;bd abcd
+) ab an bn (n Z )
4. Một số hệ quả áp dụng
+) a,b Z;n Z an bn a b
+) a,b Z và n chẵn n Z an bn a b 
+) a,b Z và n lẻ n Z an bn a b 
B. Các dạng toán
 Dạng 1: Đưa về dạng tổng các bình phương
- Cơ sở của phương pháp này thường sử dụng với các phương trình có các biểu thức chứa ẩn viết được 
dưới dạng tổng các bình phương
- Biến đổi phương trình về dạng một vế là một tổng bình phương của các biểu thức chứa ẩn, vế còn 
lại là tổng bình phương của các số nguyên (số số hạng của hai vế là bằng nhau)
 1 Ta có: m2 n2 m n 8 4m2 4n2 4m 4n 32 4m2 4m 1 4n2 4n 1 24
 2m 1 2 2n 1 2 34 62
Do đó 2m 1 và 2n 1 là hai số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 6 có tổng bình phương là 34. Có 3 số tự nhiên lẻ 
nhỏ hơn 6 là: 1, 3, 5
 2 2 2m 1 3 2m 1 5
Ta có: 3 5 34 , do đó: hoặc 
 2n 1 5 2n 1 3
 m 2 m 3
Suy ra hoặc 
 n 3 n 2
 Bài 5: HSG Nam Định, năm học 2015 - 2016
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 y2 xy x y 1
 Hướng dẫn giải
Ta có: x2 y2 xy x y 1 x y 2 x 1 2 y 1 2 4
Từ đó tìm được các số x; y cần tìm là: 1;1 ; 1;1 ; 1; 1 
 Bài 6: Chuyên Long An, năm học 2017 - 2018
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 3x2 4y2 12x 3y 5 0
 Hướng dẫn giải
Ta có: 3x2 4y2 12x 3y 5 0 48 x 2 2 8y 3 2 121
Chú ý rằng 8y 3 có dạng lẻ nên ta có các trường hợp và kết luận nghiệm của phương trình là: 2;1 
 Bài 7: Chuyên Hải Dương, năm học 2017 - 2018
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 5y2 4xy 4y 3 0
 Hướng dẫn giải
Ta có: x2 5y2 4xy 4y 3 0 x 2y 2 2 y 2 2 5 12 22
Vậy nghiệm của phương trình là: 
 6; 1 , 2; 1 , 6; 3 , 10; 3 , 1;0 , 3;0 , 9; 4 , 11; 4 
 Bài 8: Chuyên Đồng Nai, năm học 2017 - 2018
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 2y2 2xy 4x 8y 7 0
 Hướng dẫn giải
 3 9x2 3y2 6xy 6x 2y 35 0 3x y 1 2 2 y 1 2 38 3x y 1 2 38 2 y 1 2
 2 y 1 2 19 *
Vì 3x y 1 2 0 y 1 2 19
 2
Mà y 1 2 là số chính phương với y nguyên nên 2 y 1 19 phải là số chính phương
 2 2 y 0
Từ * 2 y 1 19 36 y 1 1 
 y 2
 7
 x 
 3
- Với y 0 (loại)
 5
 x 
 3
 x 3
- Với y 2 (thỏa mãn)
 x 1
Vậy nghiệm của phương trình là: 3; 2 ; 1; 2 
 Bài 12: Chuyên Cà Mau, năm học 2015 - 2016
Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 3x2 18y2 2z2 3y2 z2 18x 27
 Hướng dẫn giải
Ta có: 3x2 18y2 2z2 3y2 z2 18x 27 3 x 3 2 18y2 2z2 3y2 z2 54 1 
+) Lập luận để z2 3 z3 z2 9 z2 9 * 
Từ 1 3 x 3 2 2z2 3y2 z2 6 54 2 
 2 54 3 x 3 2 2z2 3y2 z2 6 3 x 3 2 2.9 3y2.3 
hay x 3 2 3y2 12 y2 4 y2 1; y2 4 vì y nguyên dương
 2 72
- Nếu y2 1 y 1 1 :3 x 3 5z2 72 5z2 72 z2 z2 9 z 3 (do *)
 5
Khi đó y2 4 y 2 (vì y nguyên dương) thì (1) có dạng: 
3 x 3 2 14z2 126 14z2 126 z2 9 z2 9 z 3 (vì z nguyên dương)
Suy ra x 3 2 0 x 3 (vì x nguyên dương)
 5 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 10x2 50y2 42xy 14x 6y 57 0
 Hướng dẫn giải
Ta có 10x2 50y2 42xy 14x 6y 57 0 
 9x2 49y2 42xy x2 14x 49 y2 6y 9 1 0
 (3x 7y)2 (x 7)2 (y 3)2 1
 x 7 0
 x 7
 y 3 0 
 y 3
 3x 7y 0
 Bài 16: HSG Việt Yên, năm học 2018 - 2019
Tìm số nguyên x, y biết y2 2(x2 1) 2y(x y)
 Hướng dẫn giải
Ta có: y2 2(x2 1) 2y(x 1) y2 2x2 2 2xy 2y 0
 4x2 4xy y2 y2 4y 4 0
 (2x y)2 (y 2)2 0 (1)
Vì (2x y)2 0 ; (y 2)2 0
 (2x y)2 0 2x y 0 x 1
Nên (1) 
 2 
 (y 2) 0 y 2 0 y 2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) (1;2)
 Bài 17: HSG Lục Nam, năm học 2018 - 2019
Tìm tất cả các số x, y, z nguyên thoả mãn: x2 y2 z2 xy 3y 2z 4 0 .
 Hướng dẫn giải
 2
 2 2 2 2 y 2 3 2 
Ta có: x y z xy 3y 2z 4 0 x xy z 2z 1 y 3y 3 0
 4 4 
 2
 y 2 3 2
 x z 1 y 2 0 1 
 2 4
 y
 x 0
 2 x 1
Phương trình 1 0 z 1 0 z 1
 y 2 0 y 2
Vậy x, y, z 1;2;1 .
 Bài 18: HSG Quế Võ, năm học 2020 - 2021
 7 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
 Bài 1:
Tìm x, y, z Z thỏa mãn: x2 y2 x y 8(1) 
 Lời giải
 2 2
 (2x 1) 3 x 2; x 1
 2 2 
 (2y 1) 5 y 3; y 2
(1) 4x2 4x 4y2 4y 32 (2x 1)2 (2y 1)2 52 32 
 2 2 
 (2x 1) 5 x 3; x 2
 2 2 y 2; y 1
 (2y 1) 3 
Vậy (x, y) (2,3),(2; 2),( 1;3),( 1; 2),(3,2),(3; 1),( 2,2),( 2; 1)
 Bài 2:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 4xy 5y2 169
 Lời giải
Ta có: x2 4xy 5y2 169 x 2y 2 y2 169 02 132 52 122
Do đó phương trình thỏa mãn trong 4 khả năng:
 x 2y 0 x 2y 13 x 2y 5 x 2y 12
 hoặc hoặc hoặc 
 y 13 y 0 y 12 y 5
Giải ra ta được các nghiệm nguyên của phương trình là:
 x; y 29;12 , 19;12 , 29; 12 , 19; 12 , 22;5 , 2;5 , 2; 5 
 22; 5 , 26;13 , 26; 13 , 13;0 , 13;0 
 Bài 3:
Tìm x, y, z Z thỏa mãn: 5x 2 4xy y2 169(1) 
 Lời giải
 (2x y)2 x2 122 52 (1)
(1) 4x2 4xy y2 x2 144 25 169 0 
 2 2 2 2
 (2x y) x 13 0 (2)
 9 Lời giải
Ta có:
2x2 y2 2xy 2y 6x 5 0 (x2 2xy y2 ) 6x 2y x2 5 0 (x y)2 2(x y) 4x x2 5 0
 (x y 1)2 (x 2)2 0
 Bài 9:
Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x2 2y2 2z2 4xy 4xz 2yz 6y 10z 34 0 1 
 Lời giải
Ta có: 1 (2x)2 4x(y z) (y2 2yz z2 ) (y2 6y) (z2 10z) 34 0
 (2x x y)2 (y2 6y 9) (z2 10z 25) 0 (2x y z)2 (y 3)2 (z 5)2 0
 11 Bài 3 (khó): HSG TPHCM, năm học 2016 - 2017
Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x2 x 3y 1 2y2 5 0
 Lời giải
Ta có: x2 x 3y 1 2y2 5 0 x y x 2y x 5 x y 1 x 2y 2 3
Xét từng trường hợp và kết luận được nghiệm của phương trình: 5;5 , 3;1 , 1;1 , 9;5 
 Bài 4: HSG Vũng Tàu, năm học 2015 - 2016
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 2xy 5x y 19 0
 Lời giải
Ta có: 2x2 2xy 5x y 19 0 x 2x 1 y 2x 1 2 2x 1 17 2x 1 x y 2 17
Xét các trường hợp và để ý rằng 2x 1 là số lẻ
Từ đó tìm được nghiệm nguyên của phương trình: 0; 19 , 1;16 , 8; 11 , 9;8 
 Bài 5: Chuyên Đồng Nai, năm học 2017 - 2018
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: x2 4xy x 4y 5
 Lời giải
Ta có: x2 4xy x 4y 5 x 1 x 4y 2 3
Xét các trường hợp và nhận thấy phương trình không có nghiệm nguyên
Vậy phương trình vô nghiệm
 Bài 6: HSG Thừa Thiên Huế, năm học 2016 - 2017
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: x2 y2 x2 y xy x 14
 Lời giải
Ta có: x2 y2 x2 y xy x 14 x2 y2 x2 y xy x 14 0 x2 y2 1 x y 1 15
Xét các trường hợp và tìm được nghiệm nguyên của phương trình là: 3;2 , 2;2 , 3;4 , 2;4 
 Bài 7: HSG Bình Phước, năm học 2016 - 2017
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 3x2 2y2 5xy x 2y 7 0
 Lời giải
Ta có: 3x2 2y2 5xy x 2y 7 0 3x2 6xy 2y2 xy x 2y 7
 3x x 2y y x 2y x 2y 7 x 2y 3x y 1 7 1.7 7.1 1 . 7 7 . 1 
 13