Chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 DẠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
1. Một số định nghĩa, định lí, tính chất và kiến thức liên quan đến các phương 
pháp giải phương trình nghiệm nguyên
1. Phương trình ax2 + bx + c = 0
 Nếu có nghiệm nguyên là x0 thì c x0
 Phương trình có nghiệm nguyên khi ( ') là số chính phương, hoặc ( ') 
không âm.
2. Phương trình được đưa về dạng f(x).g(x) = k với f(x) và g(x) là các đa thức hệ 
số nguyên. Ta phân tích k ra thừa số nguyên tố rồi giải các hệ phương trình.
 f (x) m
 với m.n = k.
 g(x) n
2. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
Phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú. Không có cách giải chung 
cho mọi phương trình, tuy nhiên để giải các phương trình đó ta thường dựa vào 
một số phương pháp giải như sau:
Phương pháp I : Phương pháp đưa về dạng tích
 Biến đổi phương trình về dạng: Vế trái là tích của của các đa thức chứa ẩn, vế 
phải là tích của các số nguyên.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2(x y) 5 3xy
 Lời giải:
Ta có: 2(x y) 5 3xy 3xy 2x 2y 5
 2 4
 y(3x 2) (3x 2) 5 (3x 2)(3y 2) 19
 3 3
Do x, y nguyên dương nên 3x 2 1; 3y 2 1 mà 19 = 1.19 = 19.1 nên ta có 
 3x 2 1 3x 2 19
các khả năng sau: (I) ; (II)
 3y 2 19 3y 2 1
Giải các hệ phương trình trên, ta đươc 2 nghiêm nguyên của phương trình là
 (x; y) (1; 7); (7; 1) y - x = 1 và x2 + xy + y2 = 91 (II) 
y - x = 3 và x2 + xy + y2 = 7 (III) 
y - x = 7 và x2 + xy + y2 = 13 (IV) 
Đến đây, bài toán coi như được giải quyết. 
 Phương pháp II : Sử dụng tính chất chia hết
 -Sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm hoặc tìm 
nghiệm của phương trình.
- Hai vế của phương trình nghiệm nguyên khi chia cho cùng một số có số dư khác 
nhau thì phương trình đó không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : xy + x - 2y = 3 (3)
 Lời giải
 Ta có (3) tương đương y(x - 2) = - x + 3. Vì x = 2 không thỏa mãn phương 
 x 3 1
trình nên (3) tương đương với: y y 1 
 x 2 x 2
Ta thấy: y là số nguyên nên x - 2 là ước của 1 hay x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 
với x = 1 hoặc x = 3. Từ đó ta có nghiệm nguyên (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0). 
Chú ý: Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình 
(3) về dạng : x(y + 1) - 2(y + 1) = 1 tương đương (x - 2)(y + 1) = 1. 
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau. x2 2y2 (4)
 Lời giải
 Ta thấy: x = y = 0 là nghiệm của (4).
 x0 y0 
Nếu x0 , y0 0 và (x0 , y0 ) là nghiệm của (4). Gọi d (x0 , y0 ) , suy ra , 1. (*)
 d d 
 2 2 2
 2 2 x0 y0 x0 y0 
Ta có: x0 2y0 2 chẵn và 2 4 (mâu thuẫn với (*) )
 d d d d 
Vậy phương trình (4) chỉ có nghiệm nguyên duy nhất là (0; 0).
Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2
 Lời giải: x 2y 0 x 2y 13 x 2y 5 x 2y 12
 hoặc hoặc 
 y 13 y 0 y 12 y 5
 Giải ra ta được các nghiêm nguyên của phương trình là 
(x, y) {(29, 12); (19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); 
(-26, -13); (-13. 0); (13, 0)}
Phương pháp VIII: Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2 
Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc 2 của một ẩn coi các ẩn khác là 
tham số, sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác định giá 
trị của tham số.
Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 
 Lời giải
Ta có phương trình: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0
 y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + 5 = 0 (*) 
Coi x là tham số của phương trình bậc 2 (*) với ẩn y, ta có:
 ' '
y = -(2x + 1) x . Do y nguyên, x nguyên x nguyên 
 ' 2 2 2 2 2
Mà x = (2x + 1) – (3x + 4x + 5) = x – 4 x – 4 = n (n ¢ ) 
 (x- n) (x+ n) = 4 x = 2 (do x - n và x + n cùng tính chãn lẻ)
 Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên là (x; y) {(2; -5); (-2, 3)}
Ví dụ 2 :Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0
 Lời giải
Ta có: x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x. 
Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2
 x1 x2 y 5 5x1 5x2 5y 25
Theo định lý Viet, ta có : 
 x1x2 5y 2 x1x2 5y 2
 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23