Chuyên đề Phương trình mặt phẳng - Hình học Lớp 12

 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 
A. TỔNG HỢP LÝ THUYẾT 
 I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
 Vectơ n 0 là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của n vuông góc với mặt phẳng 
 () 
 Chú ý: 
  Nếu n là một VTPT của mặt phẳng () thì kn (k 0) cũng là một VTPT của mặt 
 phẳng () . 
  Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một 
 VTPT của nó. 
  Nếu uv, có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng () thì n [,] u v là một 
 VTPT của () . 
 II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng 
  Trong không gian Oxyz , mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình: 
 Ax By Cz D 0 với ABC2 2 2 0 
  Nếu mặt phẳng () có phương trình Ax By Cz D 0 thì nó có một VTPT là 
 n(;;) A B C . 
  Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0(;;) x 0 y 0 z 0 và nhận vectơ n(;;) A B C 
 khác 0 là VTPT là: A( x x0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0 . 
 Các trường hợp riêng 
 Xét phương trình mặt phẳng () : Ax By Cz D 0 với ABC2 2 2 0 
  Nếu D 0 thì mặt phẳng () đi qua gốc tọa độ O . 
  Nếu ABC 0, 0, 0 thì mặt phẳng () song song hoặc chứa trục Ox . 
  Nếu ABC 0, 0, 0 thì mặt phẳng () song song hoặc chứa trục Oy . 
  Nếu ABC 0, 0, 0 thì mặt phẳng () song song hoặc chứa trục Oz . Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó. 
Phương pháp giải 
 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm M0 x 0;; y 0 z 0 và song song với 1 
mặt phẳng  :0Ax By Cz D cho trước. 
Phương pháp giải 
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau: 
 1. VTPT của  là n A;;. B C 
 2. //  nên VTPT của mặt phẳng là n  n A;;. B C 
 3. Phương trình mặt phẳng : A x x0 B y y 0 C z z 0 0. 
Cách 2: 
 1. Mặt phẳng //  nên phương trình P có dạng: Ax By Cz D 0 (*), với 
DD . 
 2. Vì P qua 1 điểm M0 x 0;; y 0 z 0 nên thay tọa độ M0 x 0;; y 0 z 0 vào (*) tìm được D 
. 
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A , B , C không thẳng hàng. 
Phương pháp giải 
 1. Tìm tọa độ các vectơ: AB,. AC 
 2. Vectơ pháp tuyến của là : n AB,. AC 
 3. Điểm thuộc mặt phẳng: (hoặc hoặc ). 
 4. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT n . 
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng 
Phương pháp giải 
 1. Tìm VTCP của là u . 
 2. Vì  nên có VTPT nu . 
 3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT n . Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau và . 
Phương pháp giải 
 1. Tìm VTCP của và là u và u '. 
 2. VTPT của mặt phẳng là: n u;. u 
 '
 3. Lấy một điểm M trên . 
 4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 
Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 song song và . 
Phương pháp giải 
 1. Tìm VTCP của và là và u , lấy MN ,. 
 2. VTPT của mặt phẳng là: n u;. MN 
 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 
Dạng 11:Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm M và song song với hai 
đường thẳng và chéo nhau cho trước. 
Phương pháp giải 
 1. Tìm VTCP của và ’ là và u '. 
 2. VTPT của mặt phẳng là: n u;. u 
 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 
Dạng 12:Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt 
phẳng PQ , cho trước. 
Phương pháp giải 
 1. Tìm VTPT của P và Q là nP và nQ. 
 2. VTPT của mặt phẳng là: n n;. n 
 PQ
 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 
Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng  và cách 
  :0Ax By Cz D một khoảng k cho trước. 
Phương pháp giải 
 1. Trên mặt phẳng  chọn 1 điểm M. Vậy phương trình mặt phẳng ()P là: x y 2 z 3 0 . 
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm 
M (0;1;3) và song song với mặt phẳng (Q ) : 2 x 3 z 1 0 . 
Lời giải 
Mặt phẳng song song với mặt phẳng nên mặt phẳng có 
phương trình dạng: 2x 3 z D 0 ( D 1) . 
Mặt phẳng đi qua điểm nên thay tọa độ điểm M vào phương trình 
mặt phẳng phải thỏa mãn. Ta được: 2.0 3.3 DD 0 9 (thỏa mãn D 1 ). 
Vậy phương trình mặt phẳng là: 2xz 3 9 0 . 
Ví dụ 3. Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm 
A(1;0; 2), B(1;1;1), C(0; 1;2) . 
Lời giải 
Ta có: AB (0;1;3), AC ( 1; 1: 4) AB, AC (7; 3;1) . 
Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ()ABC ta có 
 n AB
 nên n cùng phương với AB, AC . 
 n AC
Chọn n (7; 3;1) ta được phương trình mặt phẳng là: 
7(x 1) 3( y 0) 1( z 2) 0 
 7x 3 y z 5 0 . 
Ví dụ 4. Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm O 
 xt 
và vuông góc với đường thẳng d: y 1 2 t 
 zt 2.
Lời giải 
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ud (1;2;1). 
Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nên có một vectơ pháp tuyến là: 
nu d (1;2;1) . 
Đồng thời đi qua điểm nên có phương trình là: x 20 y z . nu ()P
 1 nên cùng phương với uu, . 
 12
 nu 2 Oxyz
Chọn n ( 6;1;2) . 
Mặt phẳng đi qua điểm M1(1;1;1) và nhận vectơ pháp tuyến n ( 6;1;2) có 
phương trình: 
 6(x 1) 1( y 1) 2( z 1) 0 
 6x y 2 z 3 0. 
Thay tọa độ điểm M 2 vào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn. 
Vậy phương trình mặt phẳng là: 6x y 2 z 3 0 . 
Ví dụ 8. Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng chứa đường 
 x 1
thẳng d: y 1 2 t và điểm M ( 4;3;2). 
 zt 1
Lời giải 
Đường thẳng d đi qua điểm N(1;1;1) vectơ chỉ phương ud (0; 2;1) . 
 n
MN 5; 2; 1 . 
Mặt phẳng chứa đường thẳng d và điểm M nên có một vectơ pháp tuyến 
là: n u, MN 4;5;10 . 
 d 
Phương trình mặt phẳng là: 4x 5 y 10 z 19 0 . 
 () 
Ví dụ 9. Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng chứa đường 
 x 1 xt 13
thẳng d1 : y 1 2 t và d2 : y 1 2 t . 
 zt 1 zt 1
Lời giải 
Đường thẳng d1 đi qua điểm vectơ chỉ phương u1(0; 2;1) . 
Đường thẳng d2 đi qua điểm M 2 (1;1;1) vectơ chỉ phương u2 (3; 2;1) . 
Ta có uu, 0;3;6 , MM 0;0;0 
 12 12 
Do M M u,0 u nên đường thẳng dd, cắt nhau. 
 1 2 1 2 12 6x y 2 z 10 0 . ()P
Ví dụ 12 : Trong không gianOxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm 
M(;;) 1 2 5 và vuông góc với hai mặt phẳng (Q ) : x 2 y 3 z 1 0 và 
(R ) : 2 x 3 y z 1 0 . 
Lời giải 
VTPT của ()Q là nQ (1;2; 3) , VTPT của ()R là nR (2; 3;1). 
Ta có nn, ( 7; 7; 7) nên mặt phẳng nhận là một VTPT và đi 
 QR n(1;1;1)
qua điểm nên có phương trình là: x y z 20 . 
Ví dụ 13: Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng song song với 
mặt phẳng (Q ) : x 2 y 2 z 1 0 và cách ()Q một khoảng bằng 3. 
Lời giải 
Trên mặt phẳng (Q ) : x 2 y 2 z 1 0chọn điểm M(;;) 1 0 0 . 
Do song song với mặt phẳng ()Q nên phương trình của mặt phẳng (P) có 
dạng: x 2 y 2 z D 0với D 1. 
 | 1D | D 8
Vì d(( P ),( Q )) 3 d( M ,( P )) 3 3 | 1D | 9 
 12 2 2 ( 2) 2 D 10
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x 2 y 2 z 8 0 và 
x 2 y 2 z 10 0. 
Ví dụ 14 : Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng song song 
với mặt phẳng và cách điểm M(;;)1 2 1 một khoảng bằng 
3. 
Lời giải 
Do song song với mặt phẳng nên phương trình của mặt phẳng có 
dạng: với . 
 |1 4 2D | D 4
Vì d( M ,( P )) 3 3 | 5D | 9 
 12 2 2 ( 2) 2 D 14
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x 2 y 2 z 4 0 và 
x 2 y 2 z 14 0. (423) x y 943 z 321430 
(423) x y 943 z 321430