Chuyên đề Phương trình mặt cầu - Hình học Lớp 12

 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 
 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 1/ Định nghĩa: 
 Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả 
 I R
nh2/ữ Cácng đi dểạmng M phương trong không trình gian m cáchặt c Iầ mu ộ: t khoảng R được gọi A B
làD mạặngt c 1ầu : tâm Phương I, bán kínhtrình R. Dạng 2 : Phương trình tổng 
 chínhKí tắ chi ệu: quát 
 2 2 2
 Mặt cầu (S) có tâm I a;; b c , ():S x y z 2 ax 2 by 2 czd 0 
 (2) 
 bán kính R 0 . 
 Điều kiện để phương trình 
 (2) là phương trình mặt cầu: 
 S : x a2 y b 2 z c 2 R2 
 a2 b 2 c 2 d 0 
 (S) có tâm . 
 (S) có bán kính: 
 R a2 b 2 c 2 d . 
 3/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng : 
 Cho mặt cầu SIR ; và mặt phẳng P . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên 
 d IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng . Khi đó : 
 + Nếu dR : Mặt cầu và + Nếu dR : Mặt phẳng tiếp + Nếu dR : Mặt phẳng 
 mặt phẳng không có điểm xúc mặt cầu. Lúc đó: là cắt mặt cầu theo thiết 
 chung. mặt phẳng tiếp diện của mặt diện là đường tròn có tâm I' 
 cầu và H là tiếp điểm. 22
 và bán kính r R IH 
 M1
 R I I I
 R d
 R I'
 M2 r
 H P H α
 P 
 Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết 
 diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn. 
 4/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng : 
 Cho mặt cầu và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của I lên . Khi đó : 
 + IH R : không cắt mặt + IH R : tiếp xúc với mặt + IH R : cắt mặt cầu tại 
 cầu. cầu. là tiếp tuyến của (S) và H hai điểm phân biệt. 
 là tiếp điểm. 
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN 
Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 
Phương pháp: 
 * Thuật toán 1: Bước 1: Xác định tâm I a;; b c . 
 Bước 2: Xác định bán kính R của (S). 
 Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm và bán kính . 
 2 2 2
 (S ) : x a y b z c R2 
 * Thuật toán 2: Gọi phương trình ():S x2 y 2 z 2 2 ax 2 by 2 czd 0 
 Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b , c , d . ( a2 b 2 c 2 d 0 ) 
Bài tập 1 : Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau: 
 a) S có tâm I 2;2; 3 và bán kính R 3. 
 b) có tâm I 1;2;0 và (S) qua P 2; 2;1 . 
 c) có đường kính AB với AB 1;3;1 , 2;0;1 . 
Bài giải: 
a) Mặt cầu tâm và bán kính , có phương trình: 
 (S): x 2 2 y 2 2 z 3 2 9 
b) Ta có: IP 1; 4;1 IP 3 2 . 
Mặt cầu tâm và bán kính R IP 32, có phương trình: 
 (S): x 1 22 y 2 z2 18 
c) Ta có: AB 3; 3;0 AB 3 2 . 
 13
Gọi I là trung điểm AB I ; ;1 . 
 22
 13 AB 32
Mặt cầu tâm I ; ;1 và bán kính R , có phương trình: 
 22 22
 22
 1 3 2 9
 (S): x y z 1 . 
 2 2 2
Bài tập 2 : Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau: 
 a) (S) qua AB 3;1;0 , 5;5;0 và tâm I thuộc trục Ox . 
 b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng : 16x 15 y 12 z 75 0. 
 x 11 y z
 c) (S) có tâm I 1;2;0 và có một tiếp tuyến là đường thẳng :. 
 1 1 3
Bài giải: 
a) Gọi I a;0;0 Ox . Ta có : IA 3 a ;1;0, IB 5 a ;5;0 . 
Do (S) đi qua A, B IA IB 3 a 22 1 5 a 25 4 a 40 a 10 
 I 10;0;0 và IA 52. 
Bài giải: 
Gọi I t; 1; t là tâm mặt cầu (S) cần tìm. 
 15 tt 15 tt 
Theo giả thiết: d I,  d I , t 3. 
 33 15 tt
 2 2 2 2 4
Suy ra: I 3; 1; 3 và RI d, . Vậy (S) : x 3 y 1 z 3 . 
 3 9
Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm AB 2;6;0 , 4;0;8 và có tâm thuộc d: 
x 15 y z
 . 
 1 2 1
Bài giải: 
 xt 1
Ta có d:2 y t . Gọi I 1 t ;2 t ; 5 t d là tâm của mặt cầu (S) cần tìm. 
 zt 5 
Ta có: IA 1 t ;62;5 t t , IB 3 t ;2;13 t t . 
Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B AI BI 
 1t 2 6 2 t 2 5 t 2 3 t 2 4 t2 13 t 2
 29
 62 32t 178 20 t 12 t 116 t 
 3
 2 2 2
 32 58 44 32 58 44 
 I ;; và R IA 2 233 . Vậy (S): x y z 932 . 
 3 3 3 3 3 3 
Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I 2;3; 1 và cắt đường thẳng 
 x 11 y z
 : tại hai điểm A, B với AB 16 . 
 1 4 1
Bài giải: 
Chọn M 1;1;0 IM 3; 2;1 . Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là u 1; 4;1 . 
 IM, u
Ta có: IM, u 2;4;14 d I , 2 3 . 
 u 
 2
 2 AB
Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết : RI d , 2 19. 
 4
Vậy (S): x 2 2 y 3 2 z 1 2 76. 
Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng P : 5 x 4 y z 60, Q : 2 x y z 70 và đường thẳng 
 x 11 y z
 : . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và sao cho 
 7 3 2
(Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là 20 . 
Bài giải: 
Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): x2 y 2 z 2 4 x 4 y 4 z 0 và điểm A 4;4;0 . 
Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều. 
Bài giải : 
 (S) có tâm I 2;2;2 , bán kính R 23. Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S). 
 OA 42
Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp R/ . 
 33
 2 2
Khoảng cách : d I; P R2/ R . 
 3
Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng : ax by cz 0 a2 b 2 c 2 0 * 
Do (P) đi qua A, suy ra: 4a 4 b 0 b a . 
 2 abc 22cc2
Lúc đó: d; IP 
 a2 b 2 c 222 a 2 c 2 a 2 c 2 3
 2 2 2 ca 
 23a c c . Theo (*), suy ra P :0 x y z hoặc x y z 0. 
 c 1
Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian. 
 Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C). 
 Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P). 
 Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P). 
 2
 2 
 Bước 3: Gọi r là bán kính của (C): r R d I ; P 
Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu (S ) : x2 y 2 z 2 2 x 3 0 cắt mặt phẳng (P): x 20 
theo giao tuyến là một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C). 
Bài giải : 
* Mặt cầu (S) có tâm I 1;0;0 và bán kính R 2 . 
Ta có : d IPR , 1 2 mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn. (đ.p.c.m) 
* Đường thẳng d qua và vuông góc với (P) nên nhận nP 1;0;0 làm 1 vectơ chỉ 
 xt 1
phương, có phương trình dy:0 . 
 z 0
 xt 1
 x 2
 / y 0 /
+ Tọa độ tâm I đường tròn là nghiệm của hệ : yI 0 2;0;0 . 
 z 0
 z 0
 x 20
 2
 2 
+ Ta có: d I,1 P . Gọi r là bán kính của (C), ta có : r R d I, P 3. 
Dạng 2 : SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC 
Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc: 
 + Đường thẳng là tiếp tuyến của (S) d I ; R .